1、苏教版普通高中数学课程标准实验教材数学(必修 4)向量的加法 向量的加法 授课教师：江苏省盐城中学 侯爱娟 教材：普通高中课程标准实验教科书（必修 4）（苏教版）一教学目标 知识目标：理解向量加法的含义，会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作出两个向量的和；掌握向量加法的交换律与结合律，并会用它们进行向量运算 能力目标：经历向量加法概念、法则的建构过程，感受和体会将实际问题抽象为数学概念的过程和思想，培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力 情感目标：经历运用数学描述和刻画现实世界的过程，体验探索的乐趣，激发学生的学习热情培养学生勇于探索、创新的个性品质 二重点难点 二重点难点 重点：向
2、量加法运算的意义和法则 难点：向量加法法则的理解 三三教学方法 采用“启发探究”式教学方法，结合多媒体辅助教学 四教学过程 四教学过程 创设情境 直观感知 创设情境 直观感知 斜拉斜拉 A A O O B B索塔柱斜拉桥示意图梁索塔柱斜拉桥示意图梁OF1F 2 F斜拉塔柱斜拉桥示意图索斜拉塔柱斜拉桥示意图索斜拉塔柱斜拉桥示意图索斜拉塔柱斜拉桥示意图索OFF1 2 F 1苏教版普通高中数学课程标准实验教材数学(必修 4)以杭州湾大桥为整体背景，设计两个问题情境如下：问题：以杭州湾大桥为整体背景，设计两个问题情境如下：问题：建桥之前如何从嘉兴到达宁波？建桥之后可以从嘉兴直达宁波，此时的位移与前面两
3、次位移的结果有何关系？两次位移的结果可称为两次位移的和，如何用等式来刻画这三个位移的关系？问题 2：问题 2：这是大桥南端的 A 型独塔斜拉桥，其中两根拉索对塔柱的拉力分别为、，则它们对塔柱的共同作用效果如何？合力可称为力与1F2FF1F 2F 的和，如何用等式来刻画这三个力的关系？力与位移都是物理中的矢量，既有大小又有方向，若去掉它们的物理属性，就是数学中的向量它们的和也就可以抽象成向量与向量之间的一种运算向量的加法（引出课题）抽象概括 形成定义（一）建立数学模型 力与位移都是物理中的矢量，既有大小又有方向，若去掉它们的物理属性，就是数学中的向量它们的和也就可以抽象成向量与向量之间的一种运算
4、向量的加法（引出课题）抽象概括 形成定义（一）建立数学模型 若记则向量OB叫做向量,OAa ABb a与b的和，记为abOAABOB 问题 3：问题 3：如图所示的三个向量，你们能给出它们所满足的等式吗？ABBOAO ，即向量AO为向量与AB BO 的和 OABOABOABOABOABOAB （二）抽象数学概念 问题 4：（二）抽象数学概念 问题 4：由此，你们能概括出一般的两个向量a与b和的定义吗？学生活动：学生活动：在平面内任取一点 O，平移a使其起点为点 O，平移b使其起点与a向量的终点重合，再连接向量的起点与向量的终点 ab（1）平移的目的是什么？平移后使得两个向量能在同一个三角形中；
5、（2）平移后两个向量的终点与起点有何关系？使得第二个向量的终点与第一个向量的起点重合；（3）和向量又是什么？连接向量a的起点与向量b的终点，并指向b的终点，得到的向量OB 即为向量与的和；ab（4）借助于几何直观，用自然简洁的语言给出两个向量和的定义 2苏教版普通高中数学课程标准实验教材数学(必修 4)和的定义：和的定义：已知向量，在平面内任取一点 O，作,a b,OAa ABb ，则向量叫做向量的和记作：即a OB,a b abbABOB OA向量的加法的定义：向量的加法的定义：求两个向量和的运算叫做向量的加法 向量加法的法则：向量加法的法则：和的定义给出了求向量和的方法，称为向量加法的三角
6、形法则 问题问题 5：用三角形法则求向量和的过程中要注意什么？平移两个向量使它们首尾顺次相连 问题问题 6：还可以用什么方法求两个向量的和呢？向量加法的平行四边形法则 问题问题 7：平行四边形法则有何特点？平移两个向量至共起点 两种方法求和的结果是一样的，可见，向量加法的三角形法则与平行四边形法则在本质上是一致的 在具体求和时，应根据情况灵活地选择两种方法求和的结果是一样的，可见，向量加法的三角形法则与平行四边形法则在本质上是一致的 在具体求和时，应根据情况灵活地选择（三）尝试运用法则（三）尝试运用法则 试一试：试一试：如图，已知a、b，作出ab 向量加法的三角形法则对共线向量的求和仍然是适用
7、的，反映了三角形法则具有广泛的适用性 类比猜想 探究性质 问题类比猜想 探究性质 问题 8：加法其实我们并不陌生，从小就开始学习数、字母、式的加法，实数的加法有哪些运算性质？向量的加法是否也满足类似的性质？如果满足，具体形式是什么？实数的加法 向量的加法 性性 质质 0aa()0aa abba()(a b c a b c )0aa()aa0 abba()(abcabc)交换律的验证让学生通过画图自己验证，结合律的验证师生借助于多媒体共同完成 研究结果表明：向量的加法也满足交换律和结合律，这与数的加法是一致的有了交换律与结合律，向量的加法就可以按任意的组合与任意的次序进行，从而丰富了向量加法的内
8、涵研究结果表明：向量的加法也满足交换律和结合律，这与数的加法是一致的有了交换律与结合律，向量的加法就可以按任意的组合与任意的次序进行，从而丰富了向量加法的内涵 数学运用 深化认识 数学运用 深化认识 abb a a b ba 3苏教版普通高中数学课程标准实验教材数学(必修 4)例 1如图，O为正六边形A1A2A3A4A5A6的中心，作出下列向量：（1）（2）（3）13OAOA 36OAA A 52365A AA A （4）134634A AA AA A （5）1223344556A AA AA AA AA A 5A4A6A1A2A3AO推广 1：推广 1：1 223341nn1 nAAAAAA
9、A AAA 推广 2：推广 2：12233411nnnAAA AA AA AA A0 墩的状况，已知艇的速度是 25km/h，若艇要沿着与桥平行的方向由南向北航行，则艇的航向如何确定？并以北京 08 奥运圣火的传递提供了现实原型 最后我们再回到这座宏伟壮观的大桥来解决这样一个实际问题：例 2已知桥是南北方向，受落潮影响，海水以 12.5km/h 的速度向东流，现有一艘工作艇，在海面上航行检查桥 北东北东V水水BV实实V船船ADC图 1图 1CV水水BV船船DV实实A图 2图 2V船船北东北东北东北东V水水BV实实V船船ADC图 1图 1V水水BV实实V船船ADV船船AV船船V船船ADC图 1图
10、 1CV水水BV水水V水水BV船船DV船船V船船DV实实AV实实V实实A图 2图 2V船船V船船 4苏教版普通高中数学课程标准实验教材数学(必修 4)分析：首先将实际问题数学化，把三个速度分别用向量来表示：如图，设AB 表示水流速度，AD表示游谁度？艇的速度，那是游艇的实际速AC，三个向量应满足什么关系？ACABAD ，设表示游艇的速度，解：如图B 表示水流速度，AADAC表示游艇的实际速度，因为，所以四边形为平行四边形在ACABAD ABCD Rt ACD中，5090ACD|12.5DCAB|2AD，的方向由南向北航行，其航向应为北偏西 展延伸展延伸 一、课时小结：留给你印象最深的是什么？作
11、为课堂的延伸，你课后还想作些什么探究？最后应用到生活实践中去再一次告诉我们，数学源于生活，又服务于生活 2、马克思说过：一种科学只有在成功地运用数学时，才算达到完善的地步 我们今天所学习的向量随着对向量研究的逐步深入，向量作为一种新的数学 二、拓展延伸：同学后完成（所以030CAD 030答 若艇要沿着与桥平行回顾反思回顾反思 拓拓1、同学们想一想：本节课你有些什么收获呢？知识内容：向量加法的定义、二个运算法则以及二个运算律本节课我们从物理原型抽象出数学模型，在此基础上去研究数学模型，物理原型物理原型数学模型数学模型研究模型研究模型应用模型应用模型物理原型物理原型数学模型数学模型研究模型研究模
12、型应用模型应用模型 的加法为研究物理的相关问题提供了一种数学工具，工具被越来越广泛的应用（1）作业：P66 习题 22 的 1，2，3 （2）拓展探究：请们课下面的拓展探究题：向量和的模与模的和之间有什么关系？,a b 是任意两个向量，则ab与ab之间有什么关系？并根据自己感兴趣的话题进行拓展探究 5苏教版普通高中数学课程标准实验教材数学(必修 4)关于“向量的加法教案”的说明 关于“向量的加法教案”的说明 数学课程要讲逻辑推理，更要讲道理，通过典型例子的分析和学生自主探索活动，使学生理解数学概念、结论逐步形成的过程，体会蕴涵在其中的思想方法，追寻数学发展的历史足迹，把数学的学术形态转化为学生
13、易于接受的教育形态这是新课程理念中特别强调的，也是我备课过程始终如一的追求 说明一：关于目标定位 说明一：关于目标定位 景抽象出的一种数学运算在课程标准中，对平面向量运算的总的要求是：了解向量丰富的实际背景，算，并理解其几何意义根据课标的要求结合学生的认知特点，确定了本节课的多元化教学目标（详见教案）说明二：关于地位作用 说明二：关于地位作用“旧”，一方面，在物理中学生已经学习了力、位移等矢量的合成，并且通过上节课的学习，学生已掌握另一方面，数的加法运算为向量的加法运算提供了可类比的对象，这些都是学习本节内容的基础 矩阵的运算等等）创造了条件，起着承上启下的作用，并加强了代数、几何、三角的联系
14、，体现了近现代向量还是重要的物理模型，体现了数学与物理的完美结合，为解决实际问题提供了有效的工具说明三：关于学情诊断 说明三：关于学情诊断 本节内容总体来说比较简单，学生理解接受的难度也不大因为学生在物理中已经认识了矢量与标量则通过与数的加法的类比，学生也能够较容易的猜想出向量加法的交换律与结合律 示不是很规范有些学生对向量加法法则的运用还停留机械模仿的水平，表现在平移向量时，不能够根据不能在同一个图形中来研究这个问题，这就给说明两个向量的相等带来了困难对向量式的化简过程中，向量是近代数学中重要和基本的数学概念，它是沟通代数、几何、三角的一种工具其工具作用主要体现在向量的运算方面向量的加法运算
15、是向量运算的基础，它以位移的合成、力的合成等物理模型为背理解平面向量及其运算的意义，发展运算能力 对本节内容的具体要求是通过实例，掌握向量加法的运向量的加法不同于数的加法，运算中包含大小与方向两个方面，向量加法的法则图上作业法，是一种全新的数学技术，从这个角度来看，研究向量加法是学生学习过程中的一种突破但在“新”中又有了向量的相关概念及表示方法，知道向量可以自由移动的；向量的加法运算是继实数运算、集合运算之后，学生学习的另一种形式的运算，是学习向量的减法、数乘以及平面向量的坐标运算等内容的知识基础，为进一步理解其他的数学运算（如函数、映射、变换、数学的一些重要思想同时，的区别，在生活中对位移与
16、路程也有了一定的体验所以对数学中向量与数量的概念是比较容易理解接受的并能够从物理的矢量合成中去感受向量的加法的含义，总结出向量加法的三角形法则和平行四边形法但是由于学生对向量的理解还没有根深蒂固，会有部分学生忽略零向量与数零的区别，以及向量的表情况灵活地选择起点对交换律与结合律的验证，学生也存在一定的误区，在具体操作过程中，他们往往 6苏教版普通高中数学课程标准实验教材数学(必修 4)7对交换律、结合律运用不够灵活，不善于抓住向量式的特点来解决问题这些都需要教师在课堂教学过程中具备灵活的教学机智，给学生以适时的点拨与提醒 说明四：关于教法设计 说明四：关于教法设计 基于以上对教材内容的认识和学
17、生客观情况的分析，结合新课标的教学理念，本课主要采用“启发探究式”教学法，遵循由具体到抽象、由特殊到一般的原则并结合多媒体手段，为学生营造一个充满着观察、发现、归纳、猜想的可“再创造”环境，使其能够充分实现自主探究、合作交流，生动活泼地获取知识具体表现为如下几个方面：（1）讲背景、重过程、强调本质 本课开始从学生已有的生活经验和物理知识出发，以杭州湾大桥为背景创设问题情境，从而让学生在位移合成、力的合成的基础之上，抽象出向量加法的概念，进而引导学生总结出向量加法的三角形法则和平行四边形法则，以及各自的操作方法与要领，使学生体会到向量加法的实际背景，经历了概念形成的过程，领悟到数学概念的本质，体
18、现了“数学教学是数学思维活动的过程教学”（2）讲方法、重能力、渗透思想 向量加法运算律的教学，是引导学生通过与数的加法进行类比得到的，并让学生自主探索，构图进行验证这样不仅体现了学生的主体地位，同时还培养了学生科学的探究能力，归纳推理能力，渗透了数形结合、类比等思想（3）设计问题、加强联系、关注学生的发展 教学中采用了“以问题为中心”的讨论式教学模式把问题作为教学的出发点，精心设计问题情境，组织相关的数学成分，加强相关内容的联系，使问题处于学生思维的最近发展区，以此激发学生的好奇心与求知欲并能够较好地培养学生数学地发现问题、提出问题、解决问题的能力 总体来说，本课围绕学生的发展进行教学设计，使问题贯穿始终，思想贯穿始终，探究贯穿始终，联系，发展贯穿始终学生在老师的启发下发现当前所面临的问题，成为探究活动的主线，沿着这条主线带领学生找区别、找联系关注学生的成长发展的全过程，使他们在过程中形成能力，在过程中掌握方法，在过程中发展基本数学能力，在过程中培养健康向上的情感、态度和价值观 通过本节课教学，可使不同层次的学生都能掌握给定任意两个向量求和的基本方法，能够视具体情况灵活地作出两个或者多个向量的和；能运用向量加法的交换律和结合律解决向量式的化简和计算问题；并能运用向量的加法法则解决了一些实际问题
