1、苏教版选修 第章第节“平均变化率”教案2211 1 平均变化率平均变化率 江苏省南京外国语学校 严青 一、教材：苏教版普通高中课程标准实验教科书（选修 22）数学第 1 章。二、地位和作用：导数及其应用在整个高中教材中的地位和作用是非常重要的，它既是对函数知识的补充和完善，也为今后进一步学习微积分奠定基础。通过本章的学习，使学生对变量数学的思想方法有新的感悟，促进学生全面认识数学的价值（应用价值、科学价值、文化价值），从而进一步发展学生的数学思维能力。新课标对“导数及其应用”内容的处理有了较大的变化，它不介绍极限的形式化定义及相关知识，也有别于以往教材将导数仅仅作为一种特殊的极限、一种“规则”
2、来学习的处理方式，而是按照：平均变化率瞬时变化率导数的概念导数的几何意义这样的顺序来安排，用“逼近”的方法定义导数，这种概念建立的方式形象、直观、生动又容易理解，突出了导数概念的本质。平均变化率是是本章的一个重要的基本概念，本节课是导数及其应用的起始课，对导数概念的形成起着奠基作用。三、教学目标 通过丰富的实例，让学生经历平均变化率概念的形成过程，体会平均变化率是刻画变量变化快慢程度的一种数学模型；理解平均变化率的概念，了解平均变化率的几何意义，会计算函数在某个区间上的平均变化率；感受数学模型在刻画客观世界的作用，进一步领会变量数学的思想，提高分析问题、解决问题的能力。四、教学重点 平均变化率
3、概念 教学难点 平均变化率概念的形成过程 五、教学方法与教学手段 启发式教学与探究式学习相结合。通过生活中的实例，引导学生分析和归纳，让学生在已有认知结构的基础上建构新知识，从而达到概念的自然形成，进而从数学的外部到数学的内部，启发学生运用概念探究新问题。这样学生不会感到突兀，并能进一步感受到数学来源于生活，生活中处处蕴含着数学化的知识，同时可以提高他们学习数学的主观能动性。教师在教学中应遵循五“W”原则（who，what，why，when，how），尤其要关注其中的三个原则,即“谁在学？为什么要学？怎么学？”利用多媒体辅助教学，突出重点、突破难点，提高教学效率。苏教版选修 第章第节“平均变化
4、率”教案2211 六、教学过程 问题情境，感受概念 问题情境，感受概念 情境 1 GDP“猛增”胡锦涛同志在党的十七大报告中提出：“增强发展协调性，努力实现经济又好又快发展。转变发展方式取得重大进展，在优化结构、提高效益、降低消耗、保护环境的基础上，人均国内生产总值（GDP）到 2020 年比 2000 年翻两番”。（2000 年中国人均 GDP 为 856 美元，2020年约为 3500 美元）尤其令人振奋的是：十六大以来，我国国民经济保持平稳快速发展，2002 年我国人均 GDP首次超过 1000 美元，达到 1100 美元，在短短的 4 年内于 2006 年又超过 2000 美元，达到
5、2010美元。我国已经由低收入国家步入了中等收入国家行列，标志着我国在向全面建设小康社会的进程中又迈出了坚实的一步。时间 x(年)2000 2002 2006 2020 人均GDP y(美元)856 1100 2010 3500 问题 1 如何从数学角度刻画 2002 年至 2006 年这 4 年我国人均 GDP“猛增”？情境 2 房价“暴涨”南京龙江小区近十来年的房价变化如下图所示：问题 2 如何从数学角度刻画房价“暴涨”？情境 3 股指“跳水”2007 年 9 月 25 日沪市 A 股走势图 5390539654605510时间时间上证指数上证指数9:3011:15 11:25时间相差时间
6、相差180分钟分钟AB时间时间上证指数上证指数9:3011:15 11:25时间相差时间相差180分钟分钟AB 问题 3 如何从数学角度刻画股指“跳水”？2苏教版选修 第章第节“平均变化率”教案2211 情境 4 气温“陡升”现有某市 2004 年 3 月和 4 月某天日最高气温记载如下列图表所示：时间 t(d)3 月 18 日 4 月 18 日 4 月 20 日 日最高气温 T()3.5 18.6 33.4 2030342102030A(1,3.5)B(32,18.6)0C(34,33.4)210T()t(d)2030342102030A(1,3.5)B(32,18.6)0C(34,33.4
7、)210T()2030342102030A(1,3.5)B(32,18.6)0C(34,33.4)2102030342102030A(1,3.5)B(32,18.6)0C(34,33.4)210T()t(d)问题 4 如何从数学角度刻画气温“陡升”？建立模型，形成概念 建立模型，形成概念 问题 5 用怎样的数学模型刻画函数值变化的快慢程度？思考 1 你能给出函数f(x)在区间x1，x2上平均变化率的定义吗？定义 函数f(x)在区间x1，x2上平均变化率为2121()()f xf xxx。思考 2 平均变化率有怎样的几何意义？平均变化率的几何意义就是函数f(x)图象上两点(x1,f(x1)、(x
8、2,f(x2)所在直线的斜率。探究活动，感悟概念 探究活动，感悟概念 活动 1 (1)在经营某商品中，甲挣到 10 万元，乙挣到 2 万元，据此，你能评价甲、乙两人的 经营成果吗？(2)甲、乙两人投入相同的资金经营某商品，甲用 5 年时间挣到 10 万元，乙用 5 个月时间挣到 2 万元，你能评价甲、乙两人的经营成果吗？活动 2 试举出生活中与平均变化率有关的例子。3 例题讲解，运用概念 例题讲解，运用概念 例 1 某婴儿从出生到第 12 个月的体重变化如图所示，试分别计算从出生到第 3 个月与第 6个月到第 12 个月该婴儿体重的平均变化率。例 2 已知函数 f(x)=2x+1，g(x)=2
9、x，分别计算在区间3，1、0，5上 f(x)及 g(x)苏教版选修 22 第 1 章第 1 节“平均变化率”教案 的平均变化率。想一想 一次函数 y=kx+b(k0)在区间m，n上的平均变化率有什么特点？例 3 求函数1yx在区间 00,x xx 0(0 x)上的平均变化率。反馈练习，巩固概念 反馈练习，巩固概念 一运动质点的位移S与时间t满足S(t)=t2，分别计算S(t)在下列区间上的平均变化率。(位移单位为 m,时间单位为 s)(1)1，3；(2)1，2；(3)1，1.1；(4)1，1.001；(5)1，1.0001；(6)0.999，1；(7)0.99，1；(8)0.9，1。思考 3
10、如何刻画t=1 这一时刻质点运动的快慢程度呢？回顾反思，理解概念 回顾反思，理解概念 定义：函数()f x在区间x1，x2上的平均变化率为2121()()f xf xxx。七、分层作业 必做作业 第 7 页 2，3 题 选做作业 我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?思考作业 一运动质点的位移S与时间t满足S(t)=t2,如何刻画t=1 这一时刻质点运动的快 慢程度呢？(位移单位为 m,时间单位为 s)八、板书设计 列式 例1解：平均变化率平均变化率 一、问题情境 1.GDP“猛增”2.房价“暴涨”3.股
11、指“跳水”4.气温“陡升”二、建立概念 三、应用拓展 4苏教版选修 22 第 1 章第 1 节“平均变化率”教学说明 关注概念生成过程，促进学生主动建构 关注概念生成过程，促进学生主动建构 江苏省南京外国语学校 严青 一、创设情境，引导探索 一、创设情境，引导探索【教学安排】四个情境提出问题：如何刻画变量变化的快慢程度？情境 1：师生合作，共同计算出平均每年增长的 GDP；师生探究，得出“比值”反映了在某一时间段内我国人均 GDP 变化的快慢程度。情境 2：师生合作，共同计算出平均每年增长的房价；师生探究，得出“比值”反映了在某一时间段内房价变化的快慢程度。情境 3：师生合作，共同计算出平均每
12、分钟股指下跌的点数；师生探究，得出“比值”反映了在某一时间段内股指变化的快慢程度。情境 4：师生合作，共同计算出平均每天气温升高的度数；师生探究，得出“比值”反映了在某一时间段内气温变化的快慢程度。【设计意图】通过 GDP“猛增”、房价“暴涨”、股指“跳水”、气温“陡升”等贴近学生的实例，让学生感知客观世界存在着变化快慢不同的现象，而这种快慢程度可以用某种比值来刻画。通过生活中的实例分析从而达到概念的自然形成，学生不会感到突兀，并能体会数学来源于生活，生活中处处蕴含着数学化的知识，有利于提高他们学习数学的主观能动性。紧密联系实际，创设丰富情境，通过启发诱导，激发学生的求知欲，形成“认知冲突”，
13、让学生尝试学习，并经历数学化的过程，体现数学素材与学生已有的知识和生活经验之间的密切联系，对发展学生从数学角度认识问题的能力，以及认识数学的应用价值和文化价值都十分重要。二、分析归纳，建立概念二、分析归纳，建立概念【教学安排】通过图表分析形式概念【设计意图】通过生活中的实例，引导学生分析和归纳，让学生在已有认知结构的基础上建构新知识，从而达到概念的自然形成，并建立数学概念，进而从数学的外部到数学的内部，启发学生运用概念探究新问题。在讨论和研究中引导学生寻找一种数学模型来刻画函数值的“变化快慢程度”，即由特殊到一般得出函数 f(x)的平均变化率的定义，解决原先提出的问题，并了解它的几何意义。目的
14、是充分发挥学生的学习主动性，经历和体验概念的建立过程。三、辨析讨论，领会内涵三、辨析讨论，领会内涵【教学安排】交流讨论，突出知识的理解过程【设计意图】通过这些活动，让学生用“平均变化率”模型解释生活中的数学问题，丰富了对“平均变化率”模型的认识，同时启发学生运用“平均变化率”概念探究新问题，提高了学生学习数学的主观能动性使学生加深了对“平均变化率”的理解再通过模仿举例，使学生进一步理解平均变化率概念在生活中的应用价值。在得出“平均变化率”概念后，为了加深学生对概念内涵的理解和掌握教师又安排了以下的交流讨论活动，从而使学生进一步理解“平均变化率”的概念，这其中活动 1 和活动2 是由教材中的练习
15、 1 改编而成。1苏教版选修 22 第 1 章第 1 节“平均变化率”教学说明 四、例题讲解，尝试应用四、例题讲解，尝试应用【教学安排】讲解例题 1，2，3【设计意图】数学概念形成之后，通过具体例子，说明概念的内涵，认识概念的“原型”，引导学生 利用概念解决数学问题和发现概念在解决问题中的作用，是数学概念教学的一个重要环节，此环节操作的成功与否，将直接影响学生的对数学概念的巩固，以及解题能力的形成。例题 1 问题尽管简单，但需要规范地表达，以培养学生好的解答习惯，同时师生合作，共同感悟平均变化率这个数学模型的实际意义。例题 2 可以运用概念计算得出结论，从“数”的角度理解“平均变化率”概念；同
16、时也可从“形”的角度通过平均变化率的几何意义得出解答，两者殊路同归。启发学生运用概念探究新问题，提高学习数学的主观能动性。例题教学的过程加深了学生对平均变化率概念的认识，提高了学生运用概念解决问题的能力例 3是概念的代数形式的应用。五、反馈练习，巩固提炼五、反馈练习，巩固提炼【教学安排】学生练习【设计意图】利用几何画板进行数与形相结合教学，感悟瞬时变化率可以刻画质点在某一时刻运动的快慢程度由区间长度的缩小，通过计算从数的角度观察相应的平均变化率变化的趋势，通过几何画板的演示，从形的角度进一步感悟变量数学的思想，通过逼近的思想方法为瞬时变化率的学习作好铺垫，也达到承上启下的作用。在师生共同完成例
17、题教学后，教师提供思维拓展材料和变式训练，目的是为了提高学生的认知水平以及及时进行知识的反馈矫正，使学生始终面对适度的挑战，并进一步巩固所学的知识。【教学安排】作业 1，2，3【设计意图】设置必做题、选做题和拓展题目的是为了实施因材施教，选择不同层次的练习，有利于不同层次的学生巩固知识，提升思维能力 教师通过这些练习和作业，及时回授评定的结果，以期有针对性地进行答疑和讲解，突出了知识的巩固过程，在此基础上，可以帮助学生克服思维障碍。六、回顾反思，感悟升华六、回顾反思，感悟升华【教学安排】开放式小结【设计意图】通过开放式小结，使学生学会学习，培养学习的主动性。这个小结意在提炼今天这节课的主要内容
18、，通过回顾反思，关注了学生的情感态度价值观，也梳理了学生学习的情意过程。七、教学效果分析：七、教学效果分析：微积分的创立是数学发展中的里程碑，它的发展和广泛应用开创了数学的新时代，为研究变量和函数提供了重要的方法和手段。由于新教材不介绍极限的形式化定义及相关知识，而是按照“平均变化率瞬时变化率导数的概念导数的几何意义”这样的顺序来安排，用形象直观的“逼近”方法定义导数。学生通过大量实例，经历由平均变化率到瞬时变化率刻画现实问题的过程，理解导数概念。作为本章的起始课，“平均变化率”这一课学生学得怎样，将对后续学习微积分产生重大影响。本节课通过 4 个情境、3 个思考、2 个活动、3 个例题、1
19、个练习构成一个及时反馈的学习体系，不断调整和改善学生的学习进程。从问题情境出发到数学概念的建立，通过应用再拓展概念，从而更深层次的理解概念，体现了从传统的讲授式教学向探究式教学的转变，从而使学生经历、体验、感悟概念，达到教学目的。本课中，教师精选了大量丰富多彩的的问 2苏教版选修 22 第 1 章第 1 节“平均变化率”教学说明 3题情景，紧密联系生活实际，内容的选择和呈现关注现实意义和学生的经验及兴趣，使学生体会“平均变化率”知识的发生、发展过程，加深了学生对“平均变化率”的感受和理解。本课中，教师对学生学习的评估上追求评价主体和方式的多样化，关注学生的学习过程，关注学生的感受、体验，关注学生参与活动的程度，如在学习过程中的主动性、独立思考与认真程度，在活动中表现出来的思维水平，如学生在活动中的投入程度以及学生在活动中思考问题的准确性、广阔性、灵活性等大大增强了教学的情意性。总之，突出学习过程可以为学生提供充分的机会，让学生亲历建构知识的过程，逐步掌握认识事物、发现真理的方法，对培养学生的创新意识、提高学生的数学素养确实具有重要意义。
