1、二元函数的极限与连续第6章：多元函数微分学 内容提要6.1 二元函数的极限与连续 6.1.1 空间直角坐标系简介 6.1.2 曲面与方程 6.1.3 二元函数 6.1.4 二元函数的极限与连续6.1 二元函数的极限与连续 一元函数：含有一个自变量的函数。许多实际问题中，一个函数往往依赖于多个自变量。)(xfy 例如：某种商品的市场需求量与 其市场价格有关 消费者的收入有关 这种商品的其它代用品的价格等因素有关即决定该商品需求量的因素不止一个而是多个，要全面研究这类问题，就需要引入多元函数的概念。6.1.1 空间直角坐标系简介 一元函数：引入了平面直角坐标系平面上的点 有序实数对(x,y)平面上
2、的曲线 方程F(x,y)=0 二元函数：引入了空间直角坐标系过空间中一点O，分别作三条互相垂直的数轴Ox，Oy，Oz，规定O为原点，三条数轴为三个坐标轴，分别记为x轴（横）、y轴（纵）和z轴（立）。xoyz一、空间解析几何简介6.1.1 空间直角坐标系简介 三个坐标轴的正方向,遵循右手系法则O y轴(纵轴)z轴(立轴)(坐标)原点 x轴(横轴)x 1 y 1 z 1拇指方向四指转向右手规则即:将右手伸直，拇指向上的方向为Oz轴的正向。四指的指向为Ox轴正向，四指弯曲90后的指向为Oy轴的正向。6.1.1 空间直角坐标系简介 三条坐标轴中的任意两条都可以确定一个平面坐标平面x轴及y轴确定的平面
3、xy平面；x轴及z轴确定的平面 xz平面；y轴及z轴确定的平面 yz平面。xyozxy面yz面zx面 三个坐标面把空间分成八个部分，每一部分叫做一个卦限6.1.1 空间直角坐标系简介 二、空间一点的坐标 设M为空间一已知点过点 M 作三个平面分别垂直于x轴y 轴和z轴，三个平面在x轴、y轴和 z轴的交点依次为P、Q、R，O x y z PRx z yMQ 在 x 轴、y 轴和 z 轴上的坐标依次为x、y、z，我们称这组数为点M的坐标，并把x、y、z分别称为点M的横坐标、纵坐标、立坐标坐标为x、y、z 的点M 记为：M(x，y，z)6.1.1 空间直角坐标系简介 三、空间两点间的距离xyzo 1
4、MPNQR 2M222212NMPNPMd),(),(22221111zyxMzyxM设为空间两点,21NMM 在直角PNM1及直角 中,由勾股定理有:求21MM121xxPM12yyPN122zzNM21221221221zzyyxxMM特殊地：若两点分别为,),(zyxM)0,0,0(OOMd.222zyx6.1.1 空间直角坐标系简介 三、空间两点间的距离例题1：求空间一点(2,4,-1)到坐标轴ox的距离.解：点(2,4,-1)到x轴的距离,显然即为点(0,4,-1)到原点(0,0,0)的距离,y)1,4,2(oxzA)1,4,0(17)1(422d于是其距离为:6.1.2 曲面与方程
5、 定义6.1 如果曲面S上任意一点的坐标都满足方程F(x,y,z)=0，而不在曲面S上的点的坐标都不满足方程F(x,y,z)=0，则方程F(x,y,z)=0称为曲面S的方程，而曲面S称为方程F(x,y,z)=0所对应的图形。oxyzS0),(zyxF 在平面解析几何中，坐标平面上的一条曲线与方程F（x，y）=0相对应；在空间直角坐标系中，可建立空间曲面与含有三个变量的方程F(x，y，z）=0的对应关系。6.1.2 曲面与方程 解：RMM|0根据题意有Rzzyyxx2020202202020Rzzyyxx所求方程为：特殊地：球心在原点时方程为：2222Rzyx设一个球面的球心为M0（x0，y0，
6、z0)，半径为R，求此球面的方程。例题2球面上任意一点，),(设是zyxM6.1.2 曲面与方程 解：设平面上的任意一点为M(x，y，z），则点M到xy平面的距离为c取任意实数yxczczcz和所求平面方程为：思考：byax,求与坐标平面xy距离恒等于c（c 0）的平面方程。例题3xyozc-ccz cz分别表示什么样的平面？6.1.3 二元函数 定义6.2 设D是平面上的一个非空点集，f是一个对应法则，如果对于每个点（x，y）D，都可由对应法则f得到惟一的实数z与之对应，则称z是变量x，y的二元函数，记为：z=f（x，y）变量x，y称为自变量，z称为因变量，集合D称为函数f（x，y）的定义域
7、，对应的函数集合 称为该函数的值域。),(,),(|DyxyxfzzZ注1:该定义可推广到三元以上的函数情形；注2:二元及以上的函数统称为多元函数,可见二元函数是多元函数中最简单的,又因二元函数与其它多元函数有极类似的性质,故我们研究二元函数即可.6.1.3 二元函数 例题4 求函数 的定义域,并画出其所表示的 平面区域.yxz 解：要使该函数有意义,须有yx0则其定义域为yxyxD,0),(其所表示的图形见右图所示xyoD6.1.3 二元函数 例题5 求函数 的定义域,并画出其所表示的平面区域.11422yxz解：要使该函数有意义,须有010422yx则其定义域为11,22),(yxyxD其
8、所表示的图形见右图所示yxo2211D12yx即即6.1.3 二元函数 解 要使该函数有意义,须有0101012222yxyxyx例题6 求函数 的定义域,并画出所表示的平面区域.1)1ln(22 yxyxz1122yxyx即1,1),(22yxyxyxD所以该函数的定义域为xD1 1o6.1.3 二元函数 由上述几例可见,二元函数定义域是平面上的区域,区域往往是由一条或几条曲线围成的,围成区域的曲线称为区域的边界,包含边界在内的区域称为闭区域（例4、5）,不含边界在内的区域称为开区域（例6），包含部分边界的区域称为半开区域（课本例5）。如果一个区域可以全部包含在一个以圆点为圆心,以适当大的正
9、数为半径的圆内的话,则称该区域为有界区域（例5）,否则称为无界区域（例4、6）.6.1.4 二元函数的极限与连续 平面上的邻域为以后研究方便,现引入邻域的概念 0,)()(),(22020yyxxyx),(00yxU yxo),(00yx 设 为平面上一点，以 为圆心，为半径的开圆域：),(00yx),(00yx称为点 的 邻域。),(00yx6.1.4 二元函数的极限与连续 定义6.3 如果函数z=f（x，y）在点（x0，y0）的某一领域内有定义（在（x0，y0）点处可除外），当点（x，y）以任意方式趋近于点（x0，y0）时，对应的函数值f（x，y）就无限趋近于一个常数A，则称当（x，y）趋
10、于（x0，y0）时，函数f（x，y）以A为极限，记作：Ayxfyxyx),(lim),(),(00注：虽二元函数与一元函数极限定义非常相似，但它们有很大的区别。在一元函数极限中，不外乎只有两种方式，即 和 ，当这两个极限只要都存在且相等时的极限就存在。0 xx 0 xx 0 xx0 x0 xx 0 xx 0 xxxx6.1.4 二元函数的极限与连续 注：在二元函数极限中，由于点由于点 和 均是平面上的点，点 趋向于点 会有无数多条路线，因此,只有),(yx),(00yx),(yx),(00yxoxy),(00yx ),(yx),(),(00yxyx当这无数多条路线的极限均存在且都相等时，二元函
11、数的极限才存在。可见二元函数极限比一元函数的极限要复杂的多。6.1.4 二元函数的极限与连续 定义6.4 如果函数 满足 （1）在点 的某一邻域内有定义；（2）极限 存在；（3）则称函数 在点 处连续,否则称 在 点处不连续或间断，点 称为该函数的间断点。),(lim),(),(00yxfyxyx),(),(lim00),(),(00yxfyxfyxyx),(yxf),(yxf),(yxf),(00yx),(00yx),(00yx),(00yx 类似于一元函数，如果二元函数在区域上的每一个点处都连续，则说二元函数在区域上连续。6.1.4 二元函数的极限与连续 二元函数连续性概念与一元函数类似，且具有类似的性质：1.在区域D内连续的二元函数的图形 是空间一个连续曲面；2.二元连续函数经过有限次的四则运算后仍为二元连续函数；3.定义在有界闭区域D上的连续函数f（x，y）一定可以在D上取得最大值和最小值。
