1、刚体的定轴转动 一、掌握一、掌握描述刚体定轴转动的三个物理量描述刚体定轴转动的三个物理量角角位移、角速度、角加速度以及角量与线量的关系；位移、角速度、角加速度以及角量与线量的关系；并能运用匀变速转动方程进行具体计算。并能运用匀变速转动方程进行具体计算。二、理解二、理解转动惯量物理意义，并能进行具体计算。转动惯量物理意义，并能进行具体计算。三、掌握三、掌握刚体刚体转动定律并能具体运用。转动定律并能具体运用。五、了解五、了解陀螺的进动现象。陀螺的进动现象。四、理解四、理解角动量的概念和角动量定理，掌握角动角动量的概念和角动量定理，掌握角动量守恒定律并能具体运用。量守恒定律并能具体运用。第二章第二章
2、 教学基本要求教学基本要求第二章第二章 刚体的转动刚体的转动一、刚体一、刚体第一节第一节 刚体定轴转动的描述刚体定轴转动的描述crij在无论多大的外力作用下形状和大小都保持不变的物体，在无论多大的外力作用下形状和大小都保持不变的物体，即即 。二、刚体运动基本类型二、刚体运动基本类型平动平动转动转动刚体的一般运动刚体的一般运动质心的平动质心的平动绕质心的转动绕质心的转动+一般运动一般运动第一节第一节 刚体定轴转动的描述刚体定轴转动的描述三、刚体定轴转动的特点三、刚体定轴转动的特点定轴转动：定轴转动：刚体上各点都绕同一固定转轴作不同半径刚体上各点都绕同一固定转轴作不同半径的圆周运动，且在相同时间内
3、转过相同的的圆周运动，且在相同时间内转过相同的角度。角度。z1o2oAABB1r2r特点：特点：质点在垂直转轴平面内作圆周运动；质点在垂直转轴平面内作圆周运动；角位移，角速度和角加速度均相同；角位移，角速度和角加速度均相同；质点的线速度，线加速度不一定相同质点的线速度，线加速度不一定相同.四、四、刚体定轴转动的描述刚体定轴转动的描述)()(ttt角位移角位移)(t角坐标角坐标tttddlim0角速度角速度第一节第一节 刚体定轴转动的描述刚体定轴转动的描述角加速度角加速度ddt 物理量物理量pp0 x转动平面转动平面 匀变速转动公式匀变速转动公式 当刚体绕定轴转动的角加速度为恒量时，刚体做当刚体
4、绕定轴转动的角加速度为恒量时，刚体做匀变速转动匀变速转动.刚体刚体绕绕定轴作匀变速转动定轴作匀变速转动质点质点匀变速直线运动匀变速直线运动at0vv22100attxxv)(20202xxa vvt0)(2020222100tt刚体匀变速转动与质点匀变速直线运动公式对比刚体匀变速转动与质点匀变速直线运动公式对比第一节第一节 刚体定轴转动的描述刚体定轴转动的描述 角量与线量的关系角量与线量的关系revanaa第一节第一节 刚体定轴转动的描述刚体定轴转动的描述2rarannerera2rs erv飞轮飞轮 30 s 内转过的角度内转过的角度rad75)6(2)5(22202210srad6srad
5、3050t例例1 一飞轮半径为一飞轮半径为 0.2m、转速为转速为150rmin-1，因受制因受制动而均匀减速，经动而均匀减速，经 30 s 停止转动停止转动.试求：试求：（1）角加）角加速度和在此时间内飞轮所转的圈数；（速度和在此时间内飞轮所转的圈数；（2）制动开始后）制动开始后 t=6 s 时飞轮的角速度；（时飞轮的角速度；（3）t=6 s 时飞轮边缘上一时飞轮边缘上一点的线速度、切向加速度和法向加速度点的线速度、切向加速度和法向加速度.解解（1）,srad510.0 t=30 s 时，时，设设.飞轮做匀减速运动飞轮做匀减速运动00时，时，t=0 s 第一节第一节 刚体定轴转动的描述刚体定
6、轴转动的描述（2）s6t时，飞轮的角速度时，飞轮的角速度110srad4srad)665(t（3）s6t时，飞轮边缘上一点的线速度大小时，飞轮边缘上一点的线速度大小22sm5.2sm42.0rv该点的切向加速度和法向加速度该点的切向加速度和法向加速度22sm105.0sm)6(2.0ra转过的圈数转过的圈数r5.372752N 22220.2431.6narm sm s第一节第一节 刚体定轴转动的描述刚体定轴转动的描述一、转动动能一、转动动能221iiikmEv第二节第二节 转动动能转动动能 转动惯量转动惯量二、转动惯量二、转动惯量 物理物理意义意义：转动惯性的量度：转动惯性的量度质量连续分布
7、质量连续分布mrrmIiiid22 计算方法计算方法：质量离散分布质量离散分布2222112rmrmrmIiii22221)(21Irmiii2 对质量线分布的刚体：对质量线分布的刚体：质量线密度：质量线密度lmdd2 对质量面分布的刚体：对质量面分布的刚体：质量面密度：质量面密度Smdd2 对质量体分布的刚体：对质量体分布的刚体：质量体密度：质量体密度Vmdd：质量元：质量元md 质量连续分布刚体的转动惯量质量连续分布刚体的转动惯量mrrmIiiid22第二节第二节 转动动能转动动能 转动惯量转动惯量lOO 解解 设棒的线密度为设棒的线密度为 ，取一距离转轴，取一距离转轴 OO 为为 处的质
8、量元处的质量元 rrmddlrrI02drd32/02121d2lrrIl231mlrrrmrIddd22例例2 一一质量为质量为 、长为、长为 的均匀细长棒，求通过的均匀细长棒，求通过棒中心并与棒垂直的轴的转动惯量棒中心并与棒垂直的轴的转动惯量.mlrd2l2lOO2121ml如转轴过端点垂直于棒如转轴过端点垂直于棒第二节第二节 转动动能转动动能 转动惯量转动惯量4032d2RrrIR例例3 一质量为一质量为 、半径为、半径为 的均匀圆盘，求通过盘的均匀圆盘，求通过盘中心中心 O 并与盘面垂直的轴的转动惯量并与盘面垂直的轴的转动惯量。mR 解解 设圆盘面密度为设圆盘面密度为 ，在盘上取半径为
9、在盘上取半径为 ，宽为，宽为 的圆环。的圆环。rrd2 Rm而而rrmd2d圆环质量圆环质量221mRI 所以所以rrmrId2dd32圆环对轴的转动惯量圆环对轴的转动惯量ORORr dr第二节第二节 转动动能转动动能 转动惯量转动惯量竿子长些还是短些安全？竿子长些还是短些安全？飞轮的质量为什么飞轮的质量为什么大都分布于外轮缘？大都分布于外轮缘？第二节第二节 转动动能转动动能 转动惯量转动惯量 转动惯量的大小取决于刚体的转动惯量的大小取决于刚体的质量质量、分布及转轴的位置分布及转轴的位置 几种刚体的转动惯量几种刚体的转动惯量第二节第二节 转动动能转动动能 转动惯量转动惯量三、平行轴定理三、平行
10、轴定理P2mdIICO 质量为质量为 的刚体的刚体，如果对其质如果对其质心轴的转动惯量为心轴的转动惯量为 ，则对任一与则对任一与该轴平行该轴平行，相距为相距为 的转轴的转动的转轴的转动惯量惯量CImddCOm2221mRmRIP例如：例如：圆盘对圆盘对P 轴的转动惯量轴的转动惯量RmO四、转动惯量的叠加性四、转动惯量的叠加性CBAIIII第二节第二节 转动动能转动动能 转动惯量转动惯量例例4 右图所示刚体对经过棒端且与棒垂直的轴的转动惯右图所示刚体对经过棒端且与棒垂直的轴的转动惯量如何计算？量如何计算？(棒长为棒长为L、圆盘半径为圆盘半径为R）221RmIoo2002dmIIL222)(213
11、1RLmRmLmIooL2131LmILL解：解：第二节第二节 转动动能转动动能 转动惯量转动惯量LmOmFdFrMsinFrM 对转轴对转轴 Z 的力矩的力矩 F 一一 力矩力矩 Pz*OMFrdM 第三节第三节 转动定律转动定律 1）若力若力 不在转动平面内不在转动平面内F讨论讨论sin rFMzFrkMzzOkFrzFFjiijMM3）刚体内作用力和刚体内作用力和反反作用力的力矩互相作用力的力矩互相抵消抵消jririjijFjiFdOijMjiM2）合）合力矩等于各分力矩的力矩等于各分力矩的矢量和矢量和321MMMM 第三节第三节 转动定律转动定律二二 转动定律转动定律2ieiiiirm
12、MM质量元受质量元受外外力力 ，内内力力iFeiFi外外力矩力矩内内力矩力矩OzimiriFeiFi2ieiiiiiirmMM)rmMiiii2e(转动定律转动定律IM 刚体定轴转动的角加速度与它所受的刚体定轴转动的角加速度与它所受的合外力矩合外力矩成成正比正比，与刚体的，与刚体的转动惯量转动惯量成反比成反比.第三节第三节 转动定律转动定律iiiieiamFF 例例5 质量为质量为 的物体的物体 A 静止在光滑水平面上，静止在光滑水平面上，和一质量不计的绳索相连接，绳索跨过一半径为和一质量不计的绳索相连接，绳索跨过一半径为 R、质、质量为量为 的圆柱形滑轮的圆柱形滑轮 C，并系在另一质量为，并
13、系在另一质量为 的物的物体体 B 上上.滑轮与绳索间没有滑动，滑轮与绳索间没有滑动，且滑轮与轴承间的摩且滑轮与轴承间的摩擦力可略去不计擦力可略去不计.问：（问：（1）两物体的线加速度为多少？两物体的线加速度为多少？水平和竖直两段绳索的张力各为多少？水平和竖直两段绳索的张力各为多少？BmCmAmABCAmBmCm 第三节第三节 转动定律转动定律 解解 （1）隔离物）隔离物体分别对物体体分别对物体A、B 及滑轮作受力分析，及滑轮作受力分析，取坐标如图，运用牛取坐标如图，运用牛顿第二定律顿第二定律 、转动、转动定律列方程定律列方程.ABCAmBmCmT1FT2FAPOxT1FNFAmyOT2FBPB
14、mamFAT1amFgmBT2BIRFRFT1T2Ra T2FT1FCPCF 第三节第三节 转动定律转动定律2CBABmmmgma2CBABAT1mmmgmmF2)2(CBABCAT2mmmgmmmF令令 ，得，得0CmBABAT2T1mmgmmFFddddttrFsFrFAddMA 21dMA力矩的功力矩的功三三 力矩作功力矩作功 21222121d21IIMA四四 刚体绕定轴转动的动能定理刚体绕定轴转动的动能定理21dMA2111ddddItI 第三节第三节 转动定律转动定律orvFxvFoxrtFrddoRhmmm2022121II 和和 、分别分别为圆盘终了和起始时的角为圆盘终了和起始
15、时的角坐标和角速度坐标和角速度.0,0dd00TTFRRF 例例6 一质量为一质量为 、半径为、半径为 R 的圆盘，可绕一垂的圆盘，可绕一垂直通过盘心的无摩擦的水平轴转动直通过盘心的无摩擦的水平轴转动.圆盘上绕有轻绳，圆盘上绕有轻绳，一端挂质量为一端挂质量为m 的物体的物体.问物体在静止下落高度问物体在静止下落高度 h 时，时，其速度的大小为多少其速度的大小为多少?设绳的质量忽略不计设绳的质量忽略不计.m 解解 拉力拉力 对圆盘做功，由刚体绕定轴转动的动对圆盘做功，由刚体绕定轴转动的动能定理可得，拉力能定理可得，拉力 的力矩所作的功为的力矩所作的功为TFTFoTFNFPTFPm 第三节第三节
16、转动定律转动定律202TT2121dd00IIFRRF物体由静止开始下落物体由静止开始下落0,000v解得解得ghm2)2(mm2mmmgh2v并考虑到圆盘的转动惯量并考虑到圆盘的转动惯量221RmI202T2121d0vvmmFRmgh由质点动能定理由质点动能定理TTFFoTFNFPTFPmRv 第三节第三节 转动定律转动定律一、角动量定理一、角动量定理 角动量角动量iiiiiiirmrmL)(2v角动量定理角动量定理1221dIItMttOirimivdtdLtIIMd)(dIL z第四节第四节 角动量定理角动量定理 角动量守恒定律角动量守恒定律 角动量守恒定律是自然界的一个基本定律角动量
17、守恒定律是自然界的一个基本定律.内力矩不改变系统的角动量内力矩不改变系统的角动量.守恒条件守恒条件0M若若 不变，不变，不变；若不变；若 变，变，也变，但也变，但 不变不变.IILI二、角动量守恒定律二、角动量守恒定律0M常量IL，则，则若若讨论讨论exinMM 在在冲击冲击等问题中等问题中L常量常量第四节第四节 角动量定理角动量定理 角动量守恒定律角动量守恒定律 例例7 一长为一长为 l ,质量为质量为 的竿可绕支点的竿可绕支点O自由自由转动转动.一质量为一质量为 、速率为、速率为 的子弹射入竿内距支的子弹射入竿内距支点为点为 处，使竿的偏转角为处，使竿的偏转角为30.问子弹的初速率为问子弹
18、的初速率为多少多少?vamm 解解 把子弹和竿看作一个系统把子弹和竿看作一个系统.子弹射入竿的过程系统角动量守恒子弹射入竿的过程系统角动量守恒)31(22malmamvoamv302233malmamv第四节第四节 角动量定理角动量定理 角动量守恒定律角动量守恒定律oamv30mamalmmalmg6)3)(2)(32(22v222)31(21malm)30cos1(2lgm)30cos1(mga 射入竿后，以子弹、细杆和射入竿后，以子弹、细杆和地球为系统地球为系统，机械能守恒，机械能守恒.2233malmamv第四节第四节 角动量定理角动量定理 角动量守恒定律角动量守恒定律 有许多现象都可以
19、用角动量守恒有许多现象都可以用角动量守恒来说明来说明.自然界中存在多种守恒定律自然界中存在多种守恒定律2 动量守恒定律动量守恒定律2能量守恒定律能量守恒定律2角动量守恒定律角动量守恒定律2电荷守恒定律电荷守恒定律2质量守恒定律质量守恒定律2宇称守恒定律等宇称守恒定律等花样滑冰花样滑冰跳水运动员跳水跳水运动员跳水第四节第四节 角动量定理角动量定理 角动量守恒定律角动量守恒定律 被被 中中 香香 炉炉惯性导航仪（陀螺）惯性导航仪（陀螺）角动量守恒定律在技术中的应用角动量守恒定律在技术中的应用 第四节第四节 角动量定理角动量定理 角动量守恒定律角动量守恒定律第五节第五节 陀螺的进动陀螺的进动一、旋进
20、一、旋进高速旋转的物体，其自转轴绕另一个轴转动的现象。高速旋转的物体，其自转轴绕另一个轴转动的现象。MdLmgOL如图，陀螺的角动量就是它绕如图，陀螺的角动量就是它绕自转轴自转轴转动的角动量，其方向沿自转轴。转动的角动量，其方向沿自转轴。tLMdd MtMLdd LM LL d只改变方向而不改变大小，只改变方向而不改变大小，从而产生旋进运动。从而产生旋进运动。LdLOLd sinL 旋进角速度：旋进角速度：tddQ Q W WQ Q dsind LLtLtLMddsinddQ Q W W sinL sinsinIMLM W W，1 W W IM 90 ，时时当当第五节第五节 陀螺的进动陀螺的进
21、动请根据刚体定轴转动的角动量定理，思考下列问题：请根据刚体定轴转动的角动量定理，思考下列问题：（1 1）一个处于平衡状态的回转仪绕水平轴转动，开始时）一个处于平衡状态的回转仪绕水平轴转动，开始时无进动。无进动。如果用手指在与转轴垂直的水平方向上推一下转轴，回转仪的运如果用手指在与转轴垂直的水平方向上推一下转轴，回转仪的运动将会发生什么变化？动将会发生什么变化？第五节第五节 陀螺的进动陀螺的进动38第五节第五节 陀螺的进动陀螺的进动(2)(2)一个回转仪绕水平轴转动，同时绕竖直轴进动。如果在一个回转仪绕水平轴转动，同时绕竖直轴进动。如果在回转仪的一端挂上一重物，进动速率发生什么变化？回转仪的一端挂上一重物，进动速率发生什么变化？39（3）一个学生）一个学生手持一手持一绕竖直轴转动的车轮，绕竖直轴转动的车轮，站在一个可以自由转动站在一个可以自由转动的静止平台上。如果她的静止平台上。如果她将车轮上下颠倒，将会将车轮上下颠倒，将会出现什么情况？出现什么情况？第五节第五节 陀螺的进动陀螺的进动二、章动二、章动（nutation）除了进动以外，还有另一类运动除了进动以外，还有另一类运动章动，刚体在做进动时，章动，刚体在做进动时，它绕自转轴的角动量的倾角在两个角度之间变化。如下图所示。它绕自转轴的角动量的倾角在两个角度之间变化。如下图所示。第五节第五节 陀螺的进动陀螺的进动
