1、 基本不等式基本不等式同学们，你们知道ICM 2002吗？知道会徽的由来吗？ab22ab 4正方形三角形SS22 214()2abab 222abab定理：定理：如果如果 ，那么，那么 （当且仅当（当且仅当 时取时取“=”号）号）Rba,abba222ba 222()0,2.ababab证明：这个定理的证明很简单：220,0,2ababab当在中以a,b分别代替a,b能得到什么结果?2abab(当且仅当当且仅当 时取时取“=”=”号）号）ba 如果如果 是正数，那么是正数，那么 ,a b定理（均值定理）如果、都是正数，我们就称如果、都是正数，我们就称 为、为、的的算术平均数算术平均数，称为、的
2、，称为、的几何平均数。几何平均数。2abab均值定理的代数意义均值定理的代数意义 两个正数的算术平均数不小于（即大于或等于）它两个正数的算术平均数不小于（即大于或等于）它们的几何平均数们的几何平均数算术平均数与几何平均数的概念算术平均数与几何平均数的概念2abab半径不小于半弦O CC DBCEAabD均值定理的几何意义均值定理的几何意义O当且仅当当且仅当 中的中的“=”=”号成立号成立 ba 时，时，这句话的含义是这句话的含义是:ba abba2当当ba abba2当当2aba b成立的条件相同吗？abba2222aba b)5()1(2)5()1(22)5()1(2)5()1(abba22
3、2成立的条件_abba2成立的条件_a，b R，abR和如：成立，不成立而222abcab bcac 例1 求证：基本不等式的相关证明基本不等式的相关证明变式变式1：已知：已知,a b c d都是正数，求证都是正数，求证()()4abcd acbdabcd证明：证明：由,a b c d都是正数，得都是正数，得0,2abcdab cd0,2acbdac bd()(),4abcd acbdabcd()()4abcd acbdabcd即例例2：1 如果 已知yx,都是正数，求证：xy是定值,P求yx 的最小值；2 如果yx 是定值,S求xy的最大值.解：解：Ryx,xyyx21当 xyP（定值）时，
4、2xyP 上式当 yx 时取“=”即xy有最小值2 P2当 xyS(定值)时，2Sxy 214xyS 上式当 yx 时取“=”即：214xyS有最大值yx 2 P利用基本不等式求最值利用基本不等式求最值1 如果积 已知yx,都是正数，xy是定值,P那么当 yx 时,和 yx 有最小值 2 P2 如果和 yx 是定值,S那么当 yx 时,积 xy有最大值 214S 1、最值的含义（最值的含义（“”取最小值，取最小值，“”取最大值）取最大值）2、用极值定理求最值的三个必要条件：用极值定理求最值的三个必要条件：一一“正正”、二、二“定定”、三、三“相等相等”1.巳知x0,y0且xy=100,则x+y
5、的最小值是 _,此时x=_,y=_242.0,xxx已知则6的最小值是_,此时x=_.3.,2.xyx yyx已 知都 是 正 数,求 证:2010102421 求函数y=x例+3的值域.x解解:2121,0)1(xxxxx时当,1,0)2(Rxxx时当2)1()(21xxxx21xx).,22,(y解解：1x，1 0 x，101x，11xx=112111)1(21111xxxx当且仅当当且仅当 111xx即即 0 x时 11xx有最小值有最小值1.例例4.4.若x，则为何值时 11xx有最小值，最小值为几？1(3)821xxxx21、求 函 数 y=的 最 小 值；x-3、求 函 数 y=的 值 域.47(3)3aaa3、求证其中4、已知，求（）的最大值 利用算术平均数和集合平均数定理时一定要注意定理的条件:一正；二定；三相等。有一个条件达不到就不能取得最值.
