1、第5章 数值逼近模型5.25.2节节 数值积分和数值微分数值积分和数值微分数值积分数值积分n如果函数如果函数f(x)在区间在区间a,b上连续，且原函数为上连续，且原函数为F(x)，则可用牛顿，则可用牛顿莱布尼兹公式莱布尼兹公式nn来求得定积分。然而，对有些函数来说，找到原来求得定积分。然而，对有些函数来说，找到原函数往往很困难，有些原函数不能用初等函数表函数往往很困难，有些原函数不能用初等函数表示出来，例如：示出来，例如：n在实际问题中，更多的函数是用表格或图形表示在实际问题中，更多的函数是用表格或图形表示的，对这种函数，更无法用牛顿的，对这种函数，更无法用牛顿莱布尼兹公莱布尼兹公式求积分。式
2、求积分。)()()(aFbFdxxfbadxeax02数值积分数值积分n有必要研究用数值方法求定积分的问题。这种数有必要研究用数值方法求定积分的问题。这种数值积分方法也是微分方程、积分方程数值解法的值积分方法也是微分方程、积分方程数值解法的基础。基础。n数值积分的基本思想是构造一个简单函数（例如数值积分的基本思想是构造一个简单函数（例如多项式）多项式）Pn(x)来近似代替被积分函数来近似代替被积分函数f(x)，然后，然后通过求通过求 求得求得 的近似值。的近似值。bandxxP)(badxxf)(5.2.1 数值积分插值型求积公式插值型求积公式设设插值型求积公式就是构造插值多项式插值型求积公式
3、就是构造插值多项式Pn(x)，使，使称右式为插值求积公式。称右式为插值求积公式。badxxfI)(*bandxxPII)(*两点公式两点公式 n构造以构造以a，b为结点的线性插值多项式为结点的线性插值多项式)()()(1bfabaxafbabxxP)()()(21)(21)()(21)()()()()()()()(221bfafabababbfbabaafdxaxabbfdxbxbaafdxbfabaxafbabxdxxPTbabababa梯形公式梯形公式 复化求积公式复化求积公式 n如果积分区间比较大，直接地使用上述求积公式，如果积分区间比较大，直接地使用上述求积公式，精度难以保证。可将积分
4、区间精度难以保证。可将积分区间a,b分成分成n个小区个小区间，对间，对f(x)用分段线性插值，然后积分。用分段线性插值，然后积分。n常采取的办法是：常采取的办法是：n1）等分求积区间，比如取步长）等分求积区间，比如取步长h=(b-a)/n，分，分a,b为为n等分，分点为等分，分点为 k=0,1,2,nn2）在区间）在区间 xk,xk+1上使用以上求积公式求得上使用以上求积公式求得Ikn3）取和值，作为整个区间上的积分近似值。）取和值，作为整个区间上的积分近似值。n这种求积方法称为这种求积方法称为复化求积方法复化求积方法。khxxk05.2.1 数值积分x0 x1x2x3x40y0y1y2y3y
5、4xy 未 知 函 数 f(x)已 知 结 点线 性 插 值 函 数 S41(x)图图5.9 复化梯形求积公式示意图复化梯形求积公式示意图5.2.1 数值积分5.2.1 数值积分5.2.1 数值积分5.2.1 数值积分5.2.1 数值积分5.2.1 数值积分Trapezoidal numerical integration-8000-6000-4000-200002000400060008000-8000-6000-4000-200002000400060008000图图5.10 卫星轨道和地球表面示意图卫星轨道和地球表面示意图5.2.1 数值积分5.2.1 数值积分5.2.1 数值积分r=6
6、371;d1=439;d2=2384;k=1;a=r+(d1+d2)/2;c=a-d1-r;b=sqrt(a2-c2)y=(x)sqrt(a2.*sin(x).2+b2.*cos(x).2)ezplot(y,0,pi/2)x=linspace(0,pi/2,k+1);s=4*trapz(x,y(x)5.2.2 数值微分5.2.2 数值微分5.2.2 数值微分5.2.2 数值微分5.2.2 数值微分5.2.2 数值微分5.2.2 数值微分5.2.2 数值微分5.2.2 数值微分5.2.2 数值微分5.2.2 数值微分5.2.2 数值微分5.2.2 数值微分5.2.2 数值微分5.2.2 数值微分
7、5.2.2 数值微分5.2.3 水塔流量估计 1.问题提出5.2.3 水塔流量估计 1.问题提出5.2.3 水塔流量估计 2.问题分析5.2.3 水塔流量估计 2.问题分析5.2.3 水塔流量估计 2.问题分析051015202588.599.51010.511水 泵 不 工 作 时 段 的 任 意 时 刻 水 位 图时 刻（小 时）水位（米）图图5.115.2.3 水塔流量估计 2.问题分析5.2.3 水塔流量估计 2.问题分析5.2.3 水塔流量估计 2.问题分析5.2.3 水塔流量估计 3.模型假设5.2.3 水塔流量估计 3.模型假设5.2.3 水塔流量估计 4.符号说明5.2.3 水
8、塔流量估计 4.符号说明5.模型建立和算法设计 第1步5.模型建立和算法设计 第2步5.模型建立和算法设计 第2步5.模型建立和算法设计 第3步5.模型建立和算法设计 第4步5.2.3 水塔流量估计 5.模型建立和算法设计6.模型求解 第1步6.模型求解 第1步6.模型求解 第1步051015202588.599.51010.511水 泵 不 工 作 时 段 的 任 意 时 刻 水 位 图时 刻（小 时）水位（米）图图5.116.模型求解 第2步6.模型求解 第2步6.模型求解 第2步6.模型求解 第2步6.模型求解 第2步051015202530354045505560657075水 泵 不
9、 工 作 时 段 的 任 意 时 刻 流 量 图时 刻（小 时）水流量（立方米/小时）图图5.126.模型求解 第3步6.模型求解 第3步6.模型求解 第4步6.模型求解 第4步6.模型求解 第5步6.模型求解 第5步6.模型求解 第5步6.模型求解 第5步051015202530354045505560657075任 意 时 刻 的 流 量 图时 刻（小 时）水流量（立方米/小时）图图5.136.模型求解 第6步5.2.3 水塔流量估计 7.模型检验5.2.3 水塔流量估计 7.模型检验5.2.3 水塔流量估计 7.模型检验5.2.3 水塔流量估计 7.模型检验5.2.3 水塔流量估计 7.模型检验
