1、一、公式求和法一、公式求和法1.等差数列前等差数列前n项和公式项和公式Sn=Sn=n(a1+an)22.等比数列前等比数列前n项和公式项和公式na1(1-q )1-q =a1-anq 1-q na1（q=1）（q=1）=na1+n(n-1)d2例例1 求和：求和：1+(1/a)+(1/a2)+(1/an)解：解：1，1/a,1/a21/an是首项为是首项为1，公比为，公比为1/a的等比数列，的等比数列，原式原式=原因：原因：上述解法错误在于，当公比上述解法错误在于，当公比1/a=1即即a=1时，前时，前n 项和公式项和公式不再成立。不再成立。111111naa111nnnaaa例例1求和：求和
2、：1+(1/a)+(1/a2)+(1/an)解：当a=1时，S 当a1时，111111naSa1n；111nnnaaa1111nnnSaaan+1，a=1aS2.b2.bn n:Sn=Sn=,)(,21814121n练习练习:求下列各数列的前求下列各数列的前n n项和项和S Sn n:1.a1.an n:1,3,5,2n-1,S:1,3,5,2n-1,Sn n=n n2 212n1-1-,+n 1 例例2.求数列求数列 +2 3 ,+的前的前n和和。,2 2 2 ,3 2 n 2 +1 2 3 n 解：解：=(1+2+3+n)Sn=(1+2)+(2+)+(3+)+(+)2 2 3 2 2 +(
3、2+2 +2 +2 )n23=n(n+1)22(2 -1)2-1n+=n(n+1)2+2 -2n+1二、分组求和法（分组转化法）二、分组求和法（分组转化法）二、分组求和法（分组转化法）二、分组求和法（分组转化法）,+n 1 例例2.求数列求数列 +2 3 ,+的前的前n项和项和。.,2 2 2 ,3 2 n 2 +1 2 3 ncn=an+bn(an、bn为等差或等比数列。）为等差或等比数列。）项的特征项的特征反思与小结：反思与小结：要善于从通项公式中看本质：一个等差要善于从通项公式中看本质：一个等差 n n 一一个等比个等比22n n ，另外要特别观察通项公式，如果通项公，另外要特别观察通项
4、公式，如果通项公式没给出，则有时我们需求出通项公式，这样才能找规式没给出，则有时我们需求出通项公式，这样才能找规律解题。（请见下一张相应的例题）律解题。（请见下一张相应的例题）练习练习:1.求数列求数列 2+3,2+3,2+3,2+3 ,的前的前n项和。项和。.2233nn.Sn=2 +-n+1n+132272.求求Sn=1 +2 +3 +n 。123122n 12.1 23.3.求数列求数列9 9，9999，999999，.的前的前n n项和项和n n通项：通项：1010n n-1-14.4.求数列求数列5 5，5555，555555，.的前的前n n项和项和n n通项通项:5:5(1010
5、n n-1)/9-1)/9aSn=a+2a+3a+(n-1)a+na.234nn+1 解解:由由Sn=a+2a+3a+(n-1)a +na .23n-1n得得两式相减得两式相减得 (1-a)Sn=a+a+a+a +a-na.23n-1nn+1=n+1a(1-a )n1-a 2(1-a)a(1-a )n-naSn=nan+11-a 例例3.求求Sn=a+2a+3a+(n-1)a +na (a1)nn-1.32三、错位相减求和法三、错位相减求和法aSn=a+2a+3a+(n-1)a+na.234nn+1三、错位相减求和法三、错位相减求和法 例例3 求求Sn=a+2a+3a+(n-1)a +na (
6、a=1).23n-1ncn=anbn(an为等差数列为等差数列,bn为等比数列为等比数列)项的特征项的特征练习练习2n1.求求Sn=1+423322nn-1n+12.2 2nSn=3-n+32nn21)121421321232 （5252231 3 5 7P 6.,2 4 8 16123P 7.nnnaaaa n n2 2.第第二二教教材材试试求求的的前前 项项和和.求求和和：S S.四、四、裂裂项相消求和法（裂项法）项相消求和法（裂项法）125例例4Sn=+1251581811.1(3n-4)(3n-1)1(3n-1)(3n+2)1 21 5=-1 3()1251 2=1 7()+1 5=+
7、1 13()1 51 8158=1 19(+)1 81 1118111581 3(-)1 51 8=18111 3(-)1 81 11=.1(3n-4)(3n-1)=13n-413n-113(-)1(3n-1)(3n+2)=13n+213n-113(-)解：解：Sn=+1251581811.1(3n-4)(3n-1)1(3n-1)(3n+2)13n-413n-1-.13n+213n-1-1 81 11-1 51 8-1 21 5-13=(+)12=(-)13n+213n6n+4=1(3n-1)(3n+2)=13n+213n-113(-)cn=1 3()1 81 11-+.=+1 3()1 21
8、 5-1 51 8-1 3()13n-413n-1-13n+213n-1-13n-413n-113(-)13n+213n-113(-)125求求Sn=+1251581811.1(3n-4)(3n-1)1(3n-1)(3n+2)1 21 5=-1 3()1581 3(-)1 51 8=18111 3(-)1 81 11=.1(3n-4)(3n-1)=13n-413n-113(-)1(3n-1)(3n+2)=13n+213n-113(-)（数列（数列an是等差数列）是等差数列）项的特征项的特征四、拆项相消求和法（裂项法）四、拆项相消求和法（裂项法）1111 11()nn nnnca ad aa 练
9、习：练习：求求Sn=+112123134.1 n(n+1)n (n+1)Sn=111(1)1nan nnn注意裂项相消法的关键：注意裂项相消法的关键：将数列的每一项拆成二项或多项使数列中的将数列的每一项拆成二项或多项使数列中的项出现有规律的项出现有规律的抵消项抵消项，进而达到求和的目的。，进而达到求和的目的。常见的拆项公式：1111.(1)1n nnn11112.()()n nkknnk 11115.()(21)(21)2 2121nnnn11116.(1)(2)2(1)(1)(2)n nnn nnn 117.()ababab 211111113.1(1)(1)1kkkkkkkkk 22111
10、114.()1211kkkk2128.2(1)2(1)11nnnnnnnnn 练习：（求和）111(1).112123123nsn 111(2).12231nsnn 答案：答案：12221.2()123(1)1nann nnn （）111112(1)()()2231nsnn 122(1)11nnn 1(2).11nnnn 213211 1nsnnn 五、倒序相加法五、倒序相加法教材P40等差数列前n项的和公式推导即为此法！例例5 5：已知：已知lg(xy)=a,lg(xy)=a,求求lgxlgxn n+lg(x+lg(xn-1n-1y)+lg(xy)+lg(xn-2n-2y y2 2)+)+l
11、gy+lgyn n与首尾两项等距的两项之和等于首尾两项之和，则可与首尾两项等距的两项之和等于首尾两项之和，则可先将先将S Sn n顺着写，再将顺着写，再将S Sn n倒着写，最后将两个倒着写，最后将两个S Sn n相加。相加。lgylgyn n+lg(xy+lg(xyn-1n-1)+lg(x)+lg(x2 2y yn-2n-2)+)+lgx+lgxn n2 2lg(xy)lg(xy)n n+lg(xy)+lg(xy)n n+lg(xy)+lg(xy)n+n+lg(xy)+lg(xy)n n (n+1)lg(xy)(n+1)lg(xy)n n n(n+1)lgxyn(n+1)lgxyn(n+1)
12、a/2n(n+1)a/2项的特征项的特征a1+an=a2+an-1=a3+an-2=12003(),22,(5)(4)(0)(5)(6)xf xnfffff 2.2.（上海）设利用课本（上海）设利用课本中推导等差数列前 项和的方法 求中推导等差数列前 项和的方法 求的值为_.的值为_.111()(1)2222nnfnf n11121221122222222nnnnnn 111(2 22)2212222222nnnn 例例6 6：1-21-22 2+3+32 2-4-42 2+(2n-1)+(2n-1)2 2-(2n)-(2n)2 2=？局部重组转化为常见数列局部重组转化为常见数列6.6.并项求
13、和并项求和交错数列，并项求和交错数列，并项求和（-1）n bn型型函数形式为函数形式为n的一次或二的一次或二次函数形式次函数形式或（或（-1）n+1练习练习1010：已知已知S Sn n=-1+3-5+7+=-1+3-5+7+(-1)+(-1)n n(2n-1),(2n-1),1)1)求求S S2020,S,S21212)2)求求S Sn nS2020=-1+3+(-5)+7+（-37）+39S2121=-1+3+(-5)+7+（-9）+39+（-41）=20=20=-21数列求和方法小结数列求和方法小结一、公式求和法一、公式求和法:二、分组求和法（分组转化法）：二、分组求和法（分组转化法）：
14、三、错位相减求和法：三、错位相减求和法：四、拆项相消求和法（裂项法）：四、拆项相消求和法（裂项法）：cn=an+bn(an,bn为等差或等比数列为等差或等比数列)cn=anbn(an为等差数列为等差数列,bn为等比数列为等比数列)五、倒序相加法五、倒序相加法:（数列（数列an是等差数列）是等差数列）1111 11()nn nnnca ad aa 等差、等比数列等差、等比数列a1+an=a2+an-1=a3+an-2=222112(1)(21)6nn nn222112(1)(21)6nn nn 33332(1)1232n nn 练习：练习：1.1.求数列求数列 前前n n项和项和 2.2.求数列求数列 的前的前n n项和项和 3.3.求和：求和：4.4.求和：求和：1 14+24+25+35+36+6+n n(n n+3)+3)5.5.求数列求数列1 1，(1+(1+a a)，(1+(1+a a+a a2 2)，(1+(1+a a+a a2 2+a an n 1 1)，的前的前n n项和项和.1,4,7,10,(1)(32),nn3232nn 222222(10099)(9897)(21)
