1、2.42.4 无穷小与无穷大无穷小的比较无穷小与无穷大无穷小的比较2 2.4.4.1 1 无穷小无穷小2 2.4.4.2 2 无穷大无穷大2 2.4.4.3 3 无穷小的比较无穷小的比较1x定义定义1.121.12若函数在自变量若函数在自变量的某个变化过程中以零为极限，则称在该的某个变化过程中以零为极限，则称在该变化过程中变化过程中,为为无穷小量无穷小量简称简称无穷小无穷小)(xfy)(xf2.4.1 2.4.1 无穷小无穷小例如，当例如，当 时，是时，是无穷小量；当时，是无穷小量无穷小量；当时，是无穷小量当时，是无穷小量当时，是无穷小量0 xxsin3x3x1x2)1(xx21x21x我们经
2、常用希腊字母，来表示我们经常用希腊字母，来表示无穷小量无穷小量23注意：注意：（1 1）无穷小是以零为极限的变量，）无穷小是以零为极限的变量，常数中只有零是无穷小常数中只有零是无穷小 （2）无穷小总是和自变量的变化趋势相关联的，）无穷小总是和自变量的变化趋势相关联的，例如例如:1()f xx当当 时时,为无穷小为无穷小x 1()f xx当当 时时,就不是无穷小就不是无穷小1()f xx1x 定理定理1.21.2函数函数 以以 为极限的充分为极限的充分必要条件是：可以表示为与一个无穷必要条件是：可以表示为与一个无穷小量之和即小量之和即)(xfA)(xfAAxfAxf)()(lim0lim其中其中
3、4定义定义1.11.10 0如果如果 (或或 )时，相时，相应的函数值的绝对值无限增大，则称应的函数值的绝对值无限增大，则称当当 (或或 )时为无穷大量时为无穷大量无穷大无穷大量量，简称，简称无穷大无穷大.0 xxx ()f x2.4.2 2.4.2 无穷大无穷大()f x0 xxx 560lim()(lim()xxxf xf x 如果函数当时为无如果函数当时为无穷大，按通常意义来说，极限是不存在的，穷大，按通常意义来说，极限是不存在的，但为了便于叙述，我们也说但为了便于叙述，我们也说“函数的极限是函数的极限是无穷大无穷大”并记为并记为)(xf0()xx x700()()lim()lim()x
4、xxxxxf xf x 而且，把限正值的无穷大叫做正无穷大，而且，把限正值的无穷大叫做正无穷大，把限负值的无穷大叫做负无穷大，分别记把限负值的无穷大叫做负无穷大，分别记为为例如，例如，0lim 2lim lnxxxx （1 1）无穷大是个变量，不是常数无穷大是个变量，不是常数 （2 2）无穷大总和自变量的变化趋势相关联无穷大总和自变量的变化趋势相关联 注意：注意：时，时，,时，时，是无穷小是无穷小 x 101x11xx 例例1 1 指出下列函数分别在自变量怎样的变化过指出下列函数分别在自变量怎样的变化过程中是无穷小和无穷大？程中是无穷小和无穷大？2(1)1(2)1yxyx解解 时，时，,时，时
5、，是无穷小是无穷小 0 x 20 x 2x0 x 时，时，,时，时，是无穷大是无穷大 x 2x 2x0 x解解 时，时，,时，时，是无穷大是无穷大 1x 11x 11x1x8913()yx解解 时，时，所以，所以 时，时，是无穷小是无穷小 x 10 x1xx 时，时，,所以所以 时，时，是正无穷大是正无穷大 0 x1x 0 x1x10练习一练习一1 1.下列函数中哪些是无穷小？哪些是是无穷大？下列函数中哪些是无穷小？哪些是是无穷大？221121311411当时，当时，当时，当时，()()()()xyxxyxxyxxyx 是无穷大是无穷大是无穷小是无穷小是无穷大是无穷大是无穷小是无穷小11215
6、0326273183当时，当时，当时，当时，()()()()xxxyxxyxxyxy 是无穷大是无穷大是无穷小是无穷小是无穷小是无穷小是无穷大是无穷大122.2.指出下列函数分别在自变量怎样的变化过指出下列函数分别在自变量怎样的变化过程中是无穷大和无穷小程中是无穷大和无穷小(1)1yx31(2)yx 时，是无穷小 1x 1x 时，是无穷大 x 1x 时，是无穷小 x 31x0 x 时，是无穷大 31x1.什么是传统机械按键设计？传统的机械按键设计是需要手动按压按键触动PCBA上的开关按键来实现功能的一种设计方式。传统机械按键设计要点：1.合理的选择按键的类型，尽量选择平头类的按键，以防按键下陷
7、。2.开关按键和塑胶按键设计间隙建议留0.050.1mm，以防按键死键。3.要考虑成型工艺，合理计算累积公差，以防按键手感不良。传统机械按键结构层图：按键开关键PCBA141(3)1yx 时，是无穷小 x 11x 时，是正无穷大 1x 11x241()xyx 221211时，是无穷小时，是无穷大xxyxxxyx 15226()xyx 5()lgyx 10时，是无穷小或时，是无穷大lglgxyxxxyx 222220或时，是无穷小时，是无穷大xxxyxxxyx 性质性质1 1.4 4无穷小量乘无穷小量仍是无穷无穷小量乘无穷小量仍是无穷小量小量无穷小量的性质无穷小量的性质 性质性质1 1.1 1有
8、限个无穷小量的代数和仍然有限个无穷小量的代数和仍然是无穷小量是无穷小量性质性质1 1.2 2有界变量乘无穷小量仍是无穷有界变量乘无穷小量仍是无穷小量小量性质性质1 1.3 3常数乘无穷小量仍是无穷小量常数乘无穷小量仍是无穷小量16解解因为，所以是有界变因为，所以是有界变量；量；11sinxx1sin例例2 2求求xxx1sinlim0当时，是无穷小量当时，是无穷小量0 xx根据性质根据性质1.21.2，乘积是无穷小量即，乘积是无穷小量即xx1sin01sinlim0 xxx17练习二练习二求下列函数的极限求下列函数的极限2022112234()limsinarctan()limsin()lim
9、cos()limxxnnxxxxxxnn0 0 0 0 1801lim/1/1limlim2xxxxxx，21/2/1limlimxxxx，xxxxxx2lim/1/2limlim2x我们记，它们我们记，它们都是都是x1x221x时的无穷小量但时的无穷小量但2.4.3 2.4.3 无穷小的比较无穷小的比较19，趋于零的情况，趋于零的情况x121xx2xx/1x/22/1 x1 10 100 1 000 10 0001 10 100 1 000 10 000 1 0.1 0.01 0.001 0.000 11 0.1 0.01 0.001 0.000 1 0002 0.2 0.02 0.002
10、0.000 22 0.2 0.02 0.002 0.000 21 0.01 0.00 01 0.000 001 0.000 000 011 0.01 0.00 01 0.000 001 0.000 000 0120定义定义1.141.14设、是同一变化过程中设、是同一变化过程中的两个无穷小量，的两个无穷小量，(2)(2)若若(是不等于零的常数是不等于零的常数)，则称与是则称与是同阶无穷小量同阶无穷小量若，则称若，则称与是与是等价无穷小量等价无穷小量climc1c0lim(1)(1)若若,则称是比则称是比高阶的高阶的无穷小量无穷小量也称是比也称是比低阶的无穷小量低阶的无穷小量2122关于等价无穷
11、小，有下面重要的性质关于等价无穷小，有下面重要的性质定理定理44 44 设设 ，且，且 存在，存在，则则证明：证明：limlimlimlimlimlim23在求极限时，利用定理，分子分母的无穷小因在求极限时，利用定理，分子分母的无穷小因子可用其等价无穷小替换，使计算简化，这种子可用其等价无穷小替换，使计算简化，这种方法称为等价无穷小替换法方法称为等价无穷小替换法常用的无穷小替换有：常用的无穷小替换有：xx sinxx tanxx arcsinxx arctan2cos12xxxex1xx)1ln()0(x24例例432 432 求极限求极限 xxx5sin2sinlim0 xxx52lim052例例433 433 求极限求极限 20sinsintanlimxxxxx20sinsintanlimxxxxxxxxxxxcossin)cos1(sinlim20 xxxxxxcos2lim22021
