1、概率论与数理统计-考研春季基础班主讲：朱祥和第第6.16.2节节 数理统计学中的基本概念数理统计学中的基本概念 数理统计的任务数理统计的任务:观察现象观察现象,收集资料收集资料,创创 建方法建方法,分析推断。分析推断。统计推断统计推断:伴随着一定概率的推测。其特点伴随着一定概率的推测。其特点是是:由由“部分部分”推断推断“整体整体”。总体总体:研究对象的全体研究对象的全体(整体整体)。个体个体:每一个研究对象每一个研究对象。实际上是对总体的。实际上是对总体的一次观察。一次观察。有限总体有限总体无限总体无限总体第六章第六章 随机样本及抽样分布随机样本及抽样分布总体总体等等同同于于相相应应的的随随
2、机机变变量量的的全全体体研研究究对对象象体体现现为为量量指指标标值值的的全全体体研研究究对对象象的的某某项项数数可可看看作作取取值值的的全全体体某某个个随随机机变变量量 样本样本:由部分个体构成的集合。经常说,来自(或取自)某总体的样本。样本具有二重性样本具有二重性:在抽样前,它是随机向量,在抽样后,它是数值向量(随机向量的取值)。样本选择方式样本选择方式:(1)有放回抽样.(2)无放回抽样特别特别,样本容量总体数量时,无放回抽样可近似看作有放回抽样.简单随机样本简单随机样本(s.r.s):具有两个特点的样本:代表性(组成样本的每个个体与总体同分布),独立性(组成样本的个体间相互独立)。样本容
3、量样本容量:样本中所含个体的个数。如如,检验一批灯泡的质量检验一批灯泡的质量,从中选择从中选择100100只只,则则总体总体:这批灯泡这批灯泡(有限总体有限总体)个体个体:这批灯泡中的每一只这批灯泡中的每一只 样本样本:抽取的抽取的100只灯泡只灯泡(简单随机样本简单随机样本)样本容量样本容量:100样本观测值样本观测值:x1,x2,x100定义定义:设设X为一随机变量为一随机变量,其分布函数为其分布函数为F(x),X1,X2,Xn是一是一组独立且与组独立且与X同分布的随机变量同分布的随机变量,称称X为总体为总体;(X1,X2,Xn)为为来自总体来自总体X(或分布函数或分布函数F(x)的简单随
4、机样本的简单随机样本;n为样本容量为样本容量;在依次观测中在依次观测中,样本的具体观测值样本的具体观测值x1,x2,xn称为样本值称为样本值XX1,X2,X100100样本值样本值注意注意:样本是一组独立同总体分布相同的随机变量样本是一组独立同总体分布相同的随机变量.总体总体选择个体选择个体样本样本观测样本观测样本样本观察值样本观察值(数据数据)数据处理数据处理样本有关结论样本有关结论统计的一般步骤统计的一般步骤:推断总体性质推断总体性质 统计统计量量为了集中简单随机样本所带来的总体信息为了集中简单随机样本所带来的总体信息,考考虑样本的函数虑样本的函数,且不含任何未知参数且不含任何未知参数,这
5、样的这样的“不含未知参数的样本的函数不含未知参数的样本的函数”称为统计量。称为统计量。是来自总体是来自总体例例6.2.1 设设nXXX,21),(2N 未知未知,则则()不是统计量。不是统计量。的的s.r.s,其中其中已知已知,n2122221n1i2Xn1n1i2in1n1i2in1n1iin1.XXX26XX5)(4)X(X3)(X2X1i 统计量统计量 定义定义:设设X X1 1,X,X2 2,X,Xn n是来自总体是来自总体X X的一个样的一个样本本,g(X,g(X1 1,X,X2 2,X,Xn n)是是n n维随机变量的函数维随机变量的函数,若若g g中除中除样本的函数外不含任何未知
6、参数样本的函数外不含任何未知参数,则称则称g(Xg(X1 1,X,X2 2,X,Xn n)为为统计量统计量.统计量的分布称为统计量的分布称为抽样分布抽样分布.样本均值样本均值 常用统计量常用统计量:样本方差样本方差 样本标准差样本标准差 样本样本k阶原点矩阶原点矩 样本样本k阶中心矩阶中心矩 n1iiXn1X n1i2i2)XX(1n1S n1i2i)XX(1n1S n1ikikXn1A n1ikik)XX(n1B第第6.3节节 抽样分布抽样分布一、样本均值的分布一、样本均值的分布定理：设定理：设X1，X2,Xn是来自总体是来自总体N(,2)的样本，的样本，X是样本均值，则有是样本均值，则有
7、n,NX2注：注：在大样本情况下，无论总体服从何种分布均有在大样本情况下，无论总体服从何种分布均有 n,NX2 分布及其性质分布及其性质21.1.定义定义:称称 n n 个相互独立同标准正态分布的随机变量个相互独立同标准正态分布的随机变量的平方和的平方和X X的分布为自由度为的分布为自由度为n n的的 分布分布,记作记作2)n(X2(2)X1,X2,Xk独立独立,Xi (ni),(i=1,2,k),则则2)n.nn(Xk212k1ii 2.2.性质性质:(1)X 1,X2,Xn独立独立,XiN(0,1),(i=1,2,n),则则 )n(X2n1i2i (3)X1,X2,Xn为来自总体为来自总体
8、N(,2)的简单随机样本的简单随机样本,则则 二、二、nX2n1i2i （4）n2)n(D,n)n(E22 例例6.3.2 设设 是来自总体是来自总体 的的s.r.s,则则 服从服从()分布。分布。nXXX,21),(2 N niXi12)(例例6.3.3 设设 是取自总体是取自总体 N(0,4)的的s.r.s,当当a=,b=时时,).2(2 X243221)43()2(XXbXXaX 4321,XXXX解解(1)(1)服从服从)n(2(2)(2)由题意得由题意得 )1,0(N)X4X3(b)1,0(N)X2X(a4321 1)X4X3(bD1)X2X(aD4321a=1/20b=1/1003
9、.的密度曲线的密度曲线)(2nXf(x)n=1n=4n=10随着随着n n的增大的增大,密度曲线逐渐趋于平缓密度曲线逐渐趋于平缓,对称对称.五、五、t 分布及其性质分布及其性质1.1.定义定义 设随机变量设随机变量 ,随机变量随机变量,Y ,Y 且且它们互相独立它们互相独立,则称随机变量则称随机变量的分布为自由度是的分布为自由度是 n n 的的t t 分布分布,记作记作)1,0(NX)n(2).n(ttnY/XT 特点特点:关于关于y轴对称轴对称;随着自由度的逐渐增大随着自由度的逐渐增大,密度曲线逐渐接近于标准正态密度曲线密度曲线逐渐接近于标准正态密度曲线.2.t2.t分布的密度曲线分布的密度
10、曲线:Xf(x)3 3、t t分布的性质分布的性质2tn2e21)t(hlim （1）（2）)2n(2nn)T(D,0)T(E （3）h(t)的图形关于的图形关于Y轴对称轴对称 例例6.3.6 设随机变量设随机变量 X 和和 Y 相相互独立且都服从正态分布互独立且都服从正态分布 ,而而和和 分别是来自总体分别是来自总体 X 和和 Y 的的 s.r.s,则则统统计量计量 服从服从()分布分布,参数为参数为().)9,0(N91,XX 91,YY 292191YYXXU t t9 9解解:),1,0(NX91X91ii )1,0(N3Yi故故)9(Y91)3Y(Y291i2i91i2i 与与 独立
11、独立,YX所以所以)9(t9/YXU 六、六、F 分布及其性质分布及其性质1.1.定义定义 设随机变量设随机变量 随机变量随机变量 且且它们相互独立它们相互独立,则称随机变量则称随机变量 的分布为自的分布为自由度是由度是 的的 F F 分布。记作分布。记作),n(U12),n(V22 21n/Vn/UF)n,n(21)n,n(FF212.F2.F分布的概率密度曲线分布的概率密度曲线3.性质性质:)n,n(FF1),n,n(FX)1(1221则则若若25n,10n21 5n,10n21 yO)y(则则若若),n,n(FX)2(21)2n(2nn)F(E222 )4n(4n2nn4n2n2n)F(
12、D222212122 七、抽样分布基本定理七、抽样分布基本定理1、设 是来自总体 的 s.r.s,表示样本均值，则 nXXX,21),(2 NX),(2nNX)1,0(Nn/X 2、设、设XN(1,12),Y N(2,22),X,Y相互独立相互独立,从中从中分别抽取容量为分别抽取容量为n1,n2的样本的样本,样本均值分别记为样本均值分别记为Y,X)n,(NY),n,(NX22221211 ,)YX(E21 222121nnYDXD)YX(D )nn,(NYX22212121 )1,0(Nnn)()YX(22212121 3、定理定理6.3.3设设X1，X2,Xn是来自总体是来自总体),(N2
13、的样本，的样本，2S,X分别是样本均值和样本方差，则有分别是样本均值和样本方差，则有)1n(S)1n(.1222 相互独立相互独立与与2SX.2注：由注：由)1n(2S)1n(D,1nS)1n(E2222 可得可得 1n2SD,SE4222 4、定理定理6.3.4设设X1，X2,Xn是来自总体是来自总体),(N2 的样本，的样本，2S,X分别是样本均值和样本方差，则有分别是样本均值和样本方差，则有)1n(tnSX 例例6.3.8 设设 是来自总体是来自总体n1X,X 的的s.r.s,是样本均值是样本均值,记记),(N2 X n1i2in124n1i2i1n123n1i2in122n1i2i1n121)X(S,)X(S,)XX(S,)XX(S则服从自由度为则服从自由度为 n-1 的的 t 分布的随机变量分布的随机变量是是()n/SXn/SX1n/SX1n/SX4321TTTT 注注:若22221 记2nnS)1n(S)1n(S212222112w 则有 1n,1nFSS.1212221 )2nn(tn1n1S)()YX(.22121w21
