1、3.23.2立体几何中的向立体几何中的向量方法量方法法向量求二面角1A平面的法向量：平面的法向量：如果表示向量如果表示向量 的有向线段所在的有向线段所在直线垂直于平面直线垂直于平面 ，则称这个向量垂直于平，则称这个向量垂直于平面面 ,记作记作 ，如果，如果 ，那，那 么么 向向 量量 叫做叫做平面平面 的的法向量法向量.n n n n 给定一点给定一点A和一个向量和一个向量 ,那么那么过点过点A,以向量以向量 为法向量的平面是为法向量的平面是完全确定的完全确定的.n n n l法向量求二面角2平面的法向量：平面的法向量：注意：注意：1.法向量一定是非零向量法向量一定是非零向量;2.一个平面的所
2、有法向量都一个平面的所有法向量都互相平行互相平行;n l法向量求二面角3),()1(zyxn 设出平面的法向量为),(),()2(222111cbabcbaa向量的坐标两个不共线的找出（求出）平面内的00,)3(bnanzyx方程组的关于根据法向量的定义建立个解，即得法向量。解方程组，取其中的一)4(求法向量的步骤：求法向量的步骤：法向量求二面角45法向量求二面角5 例例1、在棱长为、在棱长为2的正方体的正方体ABCD-A1B1C1D1中中,O是面是面AC的中心的中心,求面求面OA1D1的法向量的法向量.解：以解：以A为原点建立空间直角坐标系为原点建立空间直角坐标系O-xyz（如图），（如图）
3、，则则O（1，1，0），），A1（0，0，2），），D1（0，2，2），），设平面设平面OA1D1的法向量的法向量为的法向量的法向量为n=(x,y,z),由由 =（-1，-1，2），），=（-1，1，2）得）得 1OA1OD 2020 xyzxyz 20 xzy解得解得取取z=1得平面得平面OA1D1的法向的法向量的坐标量的坐标n=(2,0,1)A A BOzyA1C1B1AxCDD1法向量求二面角6二面角的平面角二面角的平面角二面角的平面角二面角的平面角以二面角的棱上任意一点为端点，以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射
4、线所成的角叫做二面角的平面角这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.O复习：复习：二面角的范围：0,法向量求二面角7ll法向量法法向量法 1n 1n 2n 2n 12n n ，12n n ，12n n ，12n n ，cos12cos,n ncos12cos,n n求二面角的大小可转化为求两个平面法向量的夹角求二面角的大小可转化为求两个平面法向量的夹角.二面角的大小与法向量二面角的大小与法向量n1、n2夹角相等或互补。夹角相等或互补。法向量求二面角8四四、教学过程的设计与实施教学过程的设计与实施总结出利用法向量求二面角大小的一般步骤：总结出利用法向量求二面角大小的一般步骤：1）建立坐标系，写出点
5、与向量的坐标；）建立坐标系，写出点与向量的坐标；2）求出平面的法向量，进行向量运算求出法）求出平面的法向量，进行向量运算求出法向量的夹角；向量的夹角；3）通过图形特征或已知要求，确定二面角是）通过图形特征或已知要求，确定二面角是锐角或钝角，得出问题的结果锐角或钝角，得出问题的结果法向量求二面角9例例2 2：如图，正方体：如图，正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，中，E E，F F，M M，N N分别是分别是A A1 1B B1 1，BCBC，C C1 1D D1 1，B B1 1C C1 1的的中点，求二面角中点，求二面角M-EF-NM-EF-N的大小的
6、大小AD1C1B1A1NMFEDCB(2)法向量求二面角10AD1C1B1A1NMFEDCBxyz解：（解：（1 1）建系如图）建系如图所示，设正方体棱长所示，设正方体棱长为为2,2,则则M M（0 0，1 1，2 2）F F（1 1，2 2，0 0）E E（2 2，1 1，2 2）N N（1 1，2 2，2 2）则则MF=MF=（1,11,1，-2-2）NF=NF=（0 0，0 0，-2-2）EF=EF=（-1-1，1 1，-2-2），），设平面设平面ENFENF的法向量的法向量为为n=(x,y,z),n=(x,y,z),EFn=0NFn=0-x+y-2z=0-2z=0则则x=yz=0令令x
7、=y=1,则则n=(1,1,0)2法向量求二面角11AD1C1B1A1NMFEDCBxyz解：（解：（2）建系如图，）建系如图，由（由（1）得：面）得：面ENF的法向量为的法向量为 n=（1，1，0），又），又MF=（1，1，-2）EF=（-1，1，-2）设面设面EMF的法向量的法向量为为m=（x,y,z)，则，则MF.m=0EFm=0 x+y-2z=0-x+y-2z=0 x=0y=2z令令z=1,则则m=(0,2,1)cos=10/5 由题意可知，所由题意可知，所求二面角为锐角，故所求二面角的求二面角为锐角，故所求二面角的大小为大小为arccos(10/5)法向量求二面角121,2SA 1.
8、2AD AzyxDCBS图5例3 如图5，在底面是直角梯形的四棱锥SABCD中，AD/BC，ABC=900，SA面ABCD，AB=BC=1，求侧面SCD与面SBA所成的二面角的大小。法向量求二面角13解：以A为原点如图建立空间直角坐标系，AzyxDCBS图5则110,0,0,0,0,0,1,0,1,1,0,0,0,22SABCD1,2SA 111.2AD 11(0,0,),(0,1,)22SASB)21,1,1(),21,0,21(SCSD显然平面SBA的一个法向量为1(1 00)n ，2()nxyz，2SCDn 平面设平面SCD的一个法向量为则法向量求二面角14222002,(21 2)22
9、00nSDxzzn,xyznSC 取则则1212121 22cos,1 33|nnn nnn 根据题意知，侧面SCD与面SBA所成的二面角的大小的大小为2arccos3法向量求二面角15 练习：在正方体练习：在正方体AC1中，中，E是是BB1中点，求中点，求（1）二面角）二面角A-DE-B的余弦值；的余弦值；ABCDA1B1C1D1EXYZ112A D EB CE面与 面所 成 二 面 角 的 余 弦；13ADEADE求面与面所成二面角的大小；法向量求二面角161、如图所示、如图所示，正方体正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为棱长为1 ，试用多种方法求二面角试用多种方法求二面角A1BDC1的余弦值的余弦值四四、教学过程的设计与实施教学过程的设计与实施法向量求二面角17法向量求二面角18 已知正方形已知正方形ABCD的边长为的边长为1，PD 平面平面ABCD，且，且PD=1，E、F分别为分别为AB、BC的中点。的中点。求证：求证：PE AF；求点求点D到平面到平面PEF的距离；的距离；求直线求直线AC到平面到平面PEF的距离；的距离；求直线求直线PA与与EF的距离；的距离；求直线求直线PA与与EF所成的角；所成的角；求求PA与平面与平面PEF所成的角；所成的角；求二面角求二面角A-PE-F的大小。的大小。ABCDEFPxyz练习练习法向量求二面角19
