1、第三节第三节 矩阵概念与运算矩阵概念与运算一、矩阵概念的引入二、矩阵的定义三、矩阵的加法六、矩阵的其它运算五、矩阵与矩阵相乘四、数与矩阵相乘第三节 矩阵概念与运算一、矩阵概念的引入二、矩阵的定义三、nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa221122222121112121111.线性方程组线性方程组的解取决于的解取决于 ,2,1,njiaij 系数系数 n,ibi21 常数项常数项一、矩阵概念的引入1.线性方程组的解取决于系数常数项一、矩阵概念的引入（2）只有当第一个矩阵的列数等于第二个同型矩阵与矩阵相等的概念的行数时，两个矩阵才能相乘.的行数时，两个矩阵才能相乘.四城
2、市间的航班图情况常用表格来表示:这个数表反映了四城市间交通联接情况.这个数表反映了四城市间交通联接情况.元素是复数的矩阵称为复矩阵.那末 称为对称阵.是一个 实矩阵,不同阶数的零矩阵是不相等的.矩阵相加与数乘矩阵合起来,统称为矩阵的线性运算.2、数乘矩阵的运算规律 nnnnnnnbaaabaaabaaa21222221111211对线性方程组的对线性方程组的研究可转化为对研究可转化为对这张表的研究这张表的研究.线性方程组的系数与常数项按原位置可排为线性方程组的系数与常数项按原位置可排为2.某航空公司在某航空公司在A,B,C,D四城市四城市之间开辟了若干航线之间开辟了若干航线,如图所示如图所示表
3、示了四城市间的航班图表示了四城市间的航班图,如果如果从从A到到B有航班有航班,则用带箭头的线则用带箭头的线连接连接 A 与与B.ABCD（2）只有当第一个矩阵的列数等于第二个对线性方程组的线性方程四城市间的航班图情况常用表格来表示四城市间的航班图情况常用表格来表示:发站发站到站到站ABCDABCD其中其中 表示有航班表示有航班.为了便于计算为了便于计算,把表中的把表中的 改成改成1,空白地方填上空白地方填上0,就得到一个数表就得到一个数表:四城市间的航班图情况常用表格来表示:发站到站其中 1111111000000000这个数表反映了四城市间交通联接情况这个数表反映了四城市间交通联接情况.AB
4、CDABCD这个数表反映了四城市间交通联接情况.二、矩阵的定义 由由 个数个数排成的排成的 行行 列的数表列的数表nm mn njmiaij,2,1;,2,1 mnmmnnaaaaaaaaa212222111211称为称为 矩阵矩阵.简称简称 矩阵矩阵.nm nm 记作记作二、矩阵的定义 由 个数称为 矩阵.简 mnmmnnaaaaaaaaaA112222111211简记为简记为 .ijnmijnmaaAA 元元的的矩阵矩阵nmA,.,简简称称为为元元的的元元素素个个数数称称为为这这Anm 元素是实数的矩阵称为元素是实数的矩阵称为实矩阵实矩阵,元素是复数的矩阵称为元素是复数的矩阵称为复矩阵复矩
5、阵.主对角线主对角线副对角线副对角线简记为元素是实数的矩阵称为实矩阵,元素是复数的矩阵称为复矩阵例如例如 34695301是一个是一个 实矩阵实矩阵,42 2222222613i是一个是一个 复矩阵复矩阵,33 421是一个是一个 矩阵矩阵,13 9532是一个是一个 矩阵矩阵,41 4是一个是一个 矩阵矩阵.11 例如是一个 实矩阵,是一个 例如例如 2222222613i是一个是一个3 阶方阵阶方阵.几种特殊矩阵几种特殊矩阵(2)(2)只有一行的矩阵只有一行的矩阵 ,21naaaA 称为称为行矩阵行矩阵(或或行向量行向量).(1)(1)行数与列数都等于行数与列数都等于 的矩阵的矩阵 ，称为
6、，称为 阶阶nnA.nA方阵方阵.也可记作也可记作例如是一个3 阶方阵.几种特殊矩阵(2)只有一行的矩阵称为行,21 naaaB只有一列的矩阵只有一列的矩阵称为称为列矩阵列矩阵(或或列向量列向量).).称为称为(或或）.n 00000021（3）形如形如 的方阵的方阵,OO不全为不全为0只有一列的矩阵称为列矩阵(或列向量).（4）元素全为零的矩阵称为元素全为零的矩阵称为零矩阵零矩阵，零零矩阵记作矩阵记作 或或 .nm nmo o注意注意 .00000000000000000000 不同阶数的零矩阵是不相等的不同阶数的零矩阵是不相等的.例如例如记作记作 .,21ndiagA （4）元素全为零的矩
7、阵称为零矩阵，零注(5)方阵方阵 100010001nEE称为称为单位矩阵单位矩阵（或（或单位阵单位阵）.同型矩阵与矩阵相等的概念同型矩阵与矩阵相等的概念OO 1.1.两个矩阵的行数相等两个矩阵的行数相等,列数相等时列数相等时,称为称为同型矩阵同型矩阵.全为全为1(5)方阵称为单位矩阵（或单位阵）.同型矩阵与矩阵相等的 2.2.两个矩阵两个矩阵 为为同型矩阵同型矩阵,并且并且对应元素相等对应元素相等,即即 ijijbBaA与与 ,2,1;,2,1njmibaijij 则称则称矩阵矩阵 相等相等,记作记作BA与与.BA 例如例如 9348314736521与与为为同型矩阵同型矩阵.2.两个矩阵
8、为同型矩阵,例例1之之个个变变量量与与个个变变量量mnyyymxxxn,2121间的关系式间的关系式 .,22112222121212121111nmnmmmnnnnxaxaxayxaxaxayxaxaxay的的到到变变量量表表示示一一个个从从变变量量mnyyyxxx,2121线性变换线性变换.为常数为常数其中其中ija例1 间的关系式线性变换.,22112222121212121111nmnmmmnnnnxaxaxayxaxaxayxaxaxay mnmmnnaaaaaaaaaA112222111211系数矩阵系数矩阵系数矩阵、定义、定义 mnmnmmmmnnnnbababababababa
9、babaBA221122222221211112121111三、矩阵的加法设有两个设有两个 矩阵矩阵 那末矩阵那末矩阵 与与 的和记作的和记作 ，规定为，规定为nm ,bB,aAijij ABBA、定义三、矩阵的加法设有两个 矩阵 说明说明 只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算行加法运算.例如例如 1234569818630915312 1826334059619583112.98644741113 说明 只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进例如2 2、矩阵加法的运算规律矩阵加法的运算规律 ;1ABBA .2CBACBA mnmmnnaaaaaaaaaA
10、1122221112113 .,04BABAAA ,ija .负矩阵负矩阵的的称为矩阵称为矩阵A2、矩阵加法的运算规律1 1、定义、定义.112222111211 mnmmnnaaaaaaaaaAA 四、数与矩阵相乘规规定定为为或或的的乘乘积积记记作作与与矩矩阵阵数数,AAA1、定义四、数与矩阵相乘由 个数同型矩阵与矩阵相等的概念元素是复数的矩阵称为复矩阵.矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘,且矩阵相乘2、数乘矩阵的运算规律复数，记，称为 的共轭矩阵.当 为复矩阵时，用 表示 的共轭（4）元素全为零的矩阵称为零矩阵，零元素是复数的矩阵称为复矩阵.四城市间的航班图情况常用表格来表示:同型矩阵与矩阵相
11、等的概念定义 把矩阵 的行换成同序数的列得到的矩阵相加与数乘矩阵合起来,统称为矩阵的线性运算.是一个 矩阵,四城市间的航班图情况常用表格来表示:矩阵相加与数乘矩阵合起来,统称为矩阵的线性运算.;1AA ;2AAA .3BABA 2 2、数乘矩阵的运算规律、数乘矩阵的运算规律矩阵相加与数乘矩阵合起来矩阵相加与数乘矩阵合起来,统称为矩阵的统称为矩阵的线性运线性运算算.（设（设 为为 矩阵，矩阵，为数）为数）,nm BA、由 个数2、数乘矩阵的运算规律矩阵相加与数乘矩阵合起、定义、定义 skkjiksjisjijiijbabababac12211 ,2,1;,2,1njmi 并把此乘积记作并把此乘积
12、记作.ABC 四、矩阵与矩阵相乘设设 是一个是一个 矩阵，矩阵，是一个是一个 矩阵，那末规定矩阵矩阵，那末规定矩阵 与矩阵与矩阵 的乘积的乘积是一个是一个 矩阵矩阵 ，其中，其中 ijaA sm ijbB ns nm ijcC AB、定义并把此乘积记作四、矩阵与矩阵相乘设 例例222263422142 C22 16 32 816设设 415003112101A 121113121430B例例2 2?例设例2故故 121113121430415003112101ABC.解解 ,43 ijaA ,34 ijbB .33 ijcC5 671026 2 17 10故解注意注意只有当第一个矩阵的列数等于
13、第二个矩阵只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘的行数时，两个矩阵才能相乘.106861985123321例如例如 123321 132231 .10 不存在不存在.注意只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵例如不存在.、矩阵乘法的运算规律、矩阵乘法的运算规律 ;1BCACAB ,2ACABCBA ;CABAACB BABAAB 3（其中（其中 为数）为数）;4AEAAE 若若A是是 阶矩阵，则阶矩阵，则 为为A的的 次幂，即次幂，即 并且并且 5nkAk 个个kkAAAA ,AAAkmkm .mkkmAA 为为正正整整数数k,m、矩阵乘法的运算规律（其中 为数）;注意注
14、意矩阵不满足交换律，即：矩阵不满足交换律，即：,BAAB .BAABkkk 例例 设设 1111A 1111B则则,0000 AB,2222 BA.BAAB 故故注意矩阵不满足交换律，即：例 设则但也有例外，比如设但也有例外，比如设,2002 A,1111 B则有则有,AB22 2 2 BA22 2 2.BAAB 但也有例外，比如设则有例例3 3 计算下列乘积：计算下列乘积：21322 1 解解 213221 12 22 12 22 13 23.634242 例3 计算下列乘积：解 3213332312322211312113212bbbaaaaaaaaabbb 解解332222112baba
15、ba 321bbb.222322331132112233322222111bbabbabbabababa 321333231232221131211321bbbaaaaaaaaabbb331221111bababa =333223113bababa 解=(）解解 0010010010012A.002012222 .0010012AA求设例例4 4解例4定义定义 把矩阵把矩阵 的行换成同序数的列得到的的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做新矩阵，叫做 的转置矩阵，记作的转置矩阵，记作 .AAA例例,854221 A;825241 TA ,618 B.618 TB、转置矩阵、转置矩阵五、矩阵的其它运
16、算定义 把矩阵 的行换成同序数的列得到的例、转转置矩阵的运算性质转置矩阵的运算性质 ;1AATT ;2TTTBABA ;3TTAA .4TTTABAB 转置矩阵的运算性质例例5 5 已知已知,102324171,231102 BA .TAB求求解法解法1 102324171231102AB,1013173140 .1031314170 TAB例5 已知解法1解法解法2 TTTABAB 213012131027241.1031314170 解法22、方阵的行列式、方阵的行列式定义定义 由由 阶方阵阶方阵 的元素所构成的行列式，的元素所构成的行列式，叫做方阵叫做方阵 的行列式，记作的行列式，记作
17、或或nAAA.det A 8632A例例8632 A则则.2 运算性质运算性质 ;1AAT ;2AAn ;3BAAB .BAAB 2、方阵的行列式定义 由 阶方阵 的元素3、对称阵与伴随矩阵、对称阵与伴随矩阵定义定义设设 为为 阶方阵，如果满足阶方阵，如果满足 ，即，即那末那末 称为称为对称阵对称阵.AnTAA n,j,iaajiij21 A.A为对称阵为对称阵例如例如 6010861612.称称为为反反对对称称的的则则矩矩阵阵如如果果AAAT 对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相 等等.说明说明3、对称阵与伴随矩阵定义设 为 阶方阵，如果定义定义行列式行列
18、式 的各个元素的代数余子式的各个元素的代数余子式 所所构成的如下矩阵构成的如下矩阵AijA nnnnnnAAAAAAAAAA212221212111性质性质.EAAAAA 证明证明 ,ijaA 设设 ,ijbAA 记记则则jninjijiijAaAaAab 2211,ijA 称为矩阵称为矩阵 的的伴随矩阵伴随矩阵.A定义行列式 的各个元素的代数余子式 所性4 4、共轭矩阵、共轭矩阵定义定义当当 为复矩阵时，用为复矩阵时，用 表示表示 的共轭的共轭复数，记，称为复数，记，称为 的共轭矩阵的共轭矩阵.ijaA ijaija ijaA AA故故 ijAAA ijA .EA 同理可得同理可得 nkkj
19、kiaAAA1 ijA ijA .EA 4、共轭矩阵定义当 为复矩阵时，;2AA .3BAAB 运算性质运算性质 ;1BABA （设（设 为复矩阵，为复矩阵，为复数为复数,且运算都是可行的）且运算都是可行的）:BA,运算性质（设 为复矩阵，为复数,且运算都是七、小结(1)(1)矩阵的概念矩阵的概念 mnmmnnaaaaaaaaaA112222111211列的一个数表列的一个数表行行nm七、小结(1)矩阵的概念(2)特殊矩阵特殊矩阵 方阵方阵 ;nm 行矩阵与列矩阵行矩阵与列矩阵;单位矩阵单位矩阵;零矩阵零矩阵.100010001 ,21 naaaB ,21naaaA n 00000021(2)
20、特殊矩阵方阵行矩阵与列矩阵;单位矩阵;对角矩阵;零矩七、小结矩阵运算矩阵运算 加法加法数与矩阵相乘数与矩阵相乘矩阵与矩阵相乘矩阵与矩阵相乘转置矩阵转置矩阵对称阵与伴随矩阵对称阵与伴随矩阵方阵的行列式方阵的行列式共轭矩阵共轭矩阵七、小结矩阵运算加法数与矩阵相乘矩阵与矩阵相乘转置矩阵对称阵（2）只有当第一个矩阵的列数等于第二个）只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘,且矩阵相乘且矩阵相乘不满足交换律不满足交换律.（1）只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能）只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算进行加法运算.注意注意 （3）矩阵的数乘运算与行列式的数乘运算不同）矩阵的数乘运算与行列式的数乘运算不同.（2）只有当第一个矩阵的列数等于第二个（1）只有当两
