1、矩 阵 分 析东北大学信息科学与工程学院井元伟教授二六年五月第一章 线性空间与线性变换第二章 内积空间第三章 矩阵的标准形与若干分解形式第四章 矩阵函数及其应用第五章 特征值的估计与广义逆矩阵第六章 非负矩阵第四章第四章 矩阵函数及其应矩阵函数及其应用用第四章第四章 矩阵函数及其应用矩阵函数及其应用1 1 向量范数向量范数2 2 矩阵范数矩阵范数3 3 向量和矩阵的极限向量和矩阵的极限4 4 矩阵幂级数矩阵幂级数5 5 矩阵函数矩阵函数6 6 矩阵的微分与积分矩阵的微分与积分7 7 常用矩阵函数的性质常用矩阵函数的性质8 8 矩阵函数在微分方程组中的应用矩阵函数在微分方程组中的应用9 9 线性
2、系统的能控性与能观测性线性系统的能控性与能观测性第四章第四章 矩阵函数及其应用矩阵函数及其应用1.向量范数,0;|Vx yVRVxxxxxyxy先让我们回顾一下：若 是时内积空间，为任意向量，为实数域中任一元素，则 中向量的长度具有下列基本性质：（1）当时，都有（2）；（3）。1.向量范数向量范数第四章第四章 矩阵函数及其应用矩阵函数及其应用1.向量范数|0|,|VPVxxxxPxxx yVxy 设 是数域上的线性空间。若对于 中任一向量，有一非负实数与之对应，满足下列三个条件：（1）正定性：当时，都有；（2）齐次性：对于任何，有；（3）三角不等式：对任何，都有定义1|xyxx则称非负实数为向
3、量 的范数。对于一般的线性空间，没有长度概念。引入某种度量，满足三个性质。第四章第四章 矩阵函数及其应用矩阵函数及其应用1.向量范数11111|max|-|-|(|)ii nniinpppiixxpx 几种常见的范数：（1）无穷范数（2）1 范数 （3）范数对于内积空间，向量的长度是一种范数。2-范数第四章第四章 矩阵函数及其应用矩阵函数及其应用1.向量范数ab1212|,|abbaVxxxCCVxxCxxCx 对于任何有限维向量空间 上定义的任意两种向量范数及，都存在两个与 无关的正的常数，使得对 中任一向量，都有 （1）满足（1）的两个不等式的两种向量范数称为等价有限定维的向注量。：定空间
4、上理1可叙述为的不同向量范：数是理 1 等价的。第四章第四章 矩阵函数及其应用矩阵函数及其应用2.矩阵范数|,0|0|1|n nn nn nAPPAA BPAAPAAA BABABABAn n：对每个,在上定义一个非负实值函数，若对任意的，满足下列条件：（1）正定性：若（矩阵），则；（2）齐次性：对任意，有；（3）三角不等性：；（4）则非负定义实函数称为方阵的范数。对于矩阵，既可以看作向量，又有不同于向量的运算。2.矩阵范数矩阵范数第四章第四章 矩阵函数及其应用矩阵函数及其应用2.矩阵范数|2|n nnAPnxPxAxAxAx：若对任何及 维列向量，方阵范数满足关系式则称方阵范定义数与向量范数
5、是相容的。矩阵范数与向量范数的联系每一种矩阵范数都有与之相容的向量范数任意两种矩阵范数都是等价的第四章第四章 矩阵函数及其应用矩阵函数及其应用2.矩阵范数2,1221F-()|tr()|FrobeniusF-|n nijn nnHFiji jnniiFFFACAA AxxCUAAAU范数：若，则是一种与向量范数（）相容的方阵范数，称为范数。范数的优点之一是乘以酉矩阵后不变（在实矩阵的情形下是乘以正交矩阵后不变）,即 第四章第四章 矩阵函数及其应用矩阵函数及其应用2.矩阵范数111112F-|max|max|nijj niniji njHHHAAAA AA AA A 除范数外，下列三种也是比较常
6、见的矩阵范数。（1）（列模和最大者）（2）（行模和最大者）（3）（是的最大特征值）第四章第四章 矩阵函数及其应用矩阵函数及其应用3.向量和矩阵的极限3.向量和矩阵的极限向量和矩阵的极限定义定义1 对于向量若存在极限()()()()12()(,),1,2,lim,1,2,mmmmnnmiimxCmin则称酉空间 的向量序列 收敛于向量记为nC)(mx),(21nxxxxxmmm)()(or ,lim向量序列的极限是按坐标序列的极限来定义的第四章第四章 矩阵函数及其应用矩阵函数及其应用3.向量和矩阵的极限定义定义2 对于矩阵若存在极限()()()(),1,2,1,2,lim,1,2,mmn nij
7、mijijmAaCmi jnaai jn则称酉空间 的方阵序列 收敛于方阵记为n nC()mA()n nijAaC()()lim,or mmmAAAA方阵序列的极限是按元素序列的极限来定义的第四章第四章 矩阵函数及其应用矩阵函数及其应用3.向量和矩阵的极限()()()()()()()()()()()11lim lim0lim lim0lim lim(),limlim()mmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmxxxxAAAAAAAa Ab BaAbBABABAA有界第四章第四章 矩阵函数及其应用矩阵函数及其应用4.矩阵幂级数01201200020,()2mmmmNNmNmmmmijmA A
8、AAAAAAASASSSSAnAn方阵序列则和式称为方阵级数，缩写为记，若方阵序列收敛于方阵，则称方阵级数收敛,且其和为 记为个数值级数收敛。当这个数值级数绝对收敛时，称方收敛的充要条件:绝阵级数 对收敛。4.矩阵幂级数矩阵幂级数收敛敛，和也不改变的次序所得的新级次序收敛敛，且任意交换各绝对收敛，则他它一定 阵级数1)0mmA若方收敛敛，和也不改变的次序所得的新级次序收敛敛，且任意交换各绝对收敛，则他它一定 阵级数1)0mAm若方0mmA第四章第四章 矩阵函数及其应用矩阵函数及其应用4.矩阵幂级数方阵级数的收敛性质方阵级数的收敛性质：和也不改变。所得的新级数仍收敛，且任意交换各项的次序敛，绝对
9、收敛，则它一定收若方阵级数 0)1mmA第四章第四章 矩阵函数及其应用矩阵函数及其应用4.矩阵幂级数收敛。正项级数，是对任意一种方阵范数绝对收敛的充要条件，方阵级数00)2mmmmAA方阵级数的收敛性质方阵级数的收敛性质：第四章第四章 矩阵函数及其应用矩阵函数及其应用4.矩阵幂级数3),0().00n nP QCAmmoPA QmmPA QPAQmmmm若为给定矩阵，如果方阵级数收敛（或绝对收敛），则级数也收敛（或绝对收敛）且有等式方阵级数的收敛性质方阵级数的收敛性质：第四章第四章 矩阵函数及其应用矩阵函数及其应用4.矩阵幂级数10,().,()max|ii nmmmn nACAAAAAC A
10、 谱半径若则对于任给则对于任给正数，都有某一方阵范数，使得其中称为 的方阵幂级数的定理定理1：第四章第四章 矩阵函数及其应用矩阵函数及其应用4.矩阵幂级数发散。方阵幂级数时）当（绝对收敛；方阵幂级数时）（）当（则：）（的谱半径为而方阵的收敛半径为若复变数幂级数0,)(20,1,0mzCRAmzCRAACARmzCmmmmnnmm定理定理2第四章第四章 矩阵函数及其应用矩阵函数及其应用4.矩阵幂级数推论推论1 12()00,n nnmCzRmmAC，若复数幂级数的收敛半径是，则对于方阵当其特征值满足),2,1(0niRi,0()00|RiimCAEmm时，方阵幂级数绝对收敛；若有某一使得|则方阵
11、幂级数收敛。第四章第四章 矩阵函数及其应用矩阵函数及其应用4.矩阵幂级数推论推论2也收敛。方阵幂级数对任意的方阵，则在整个复平面上都收敛若复变数幂级数0,0mACCAmzCmmnnmm定XmCm 0X 1，幂级数若对任一方阵定理第四章第四章 矩阵函数及其应用矩阵函数及其应用5.矩阵函数002121111122110e e!sin(1)sin(1)(21)!(21)!cos1(1)cos(1)(2)!(2)!()mmxAmmmmmmmmmmmmmmmmmxAmmxAxAmmxAxAEmmf xC x 0 ()mmmf AC A5.矩阵函数矩阵函数定XmCm 0X 1，幂级数若对任一方阵定理第四章
12、第四章 矩阵函数及其应用矩阵函数及其应用5.矩阵函数m 0m 01212(),()()()()mmmmkkXC Xf XC XXXXXXf Xf Xf Xf X若对任方阵，幂级数都收敛，和为则当 为分块对角形矩阵时，即有定理定理1定XmCm 0X 1，幂级数若对任一方阵定理第四章第四章 矩阵函数及其应用矩阵函数及其应用5.矩阵函数00000000(),11,mmmmmmf(z)C zzRRJnRC J若是收敛半径为 的复变幂级数 又是 阶约当块 则当时 方阵幂级数绝对收敛 其和为定理定理2定XmCm 0X 1，幂级数若对任一方阵定理第四章第四章 矩阵函数及其应用矩阵函数及其应用5.矩阵函数00
13、0000(1)(2)0000()000()()001()()00()2!11()()()()(1)!(2)!nnffffff Jffffnn定XmCm 0X 1，幂级数若对任一方阵定理第四章第四章 矩阵函数及其应用矩阵函数及其应用5.矩阵函数1211,()1 .(1,2,)niAf AAAPPAPJPAin现在 我们可以用矩阵 的标准形来计算矩阵函数，我们分两个情形来讨论。）若 相似于对角形矩阵：简记为这里 是 的特征值定XmCm 0X 1，幂级数若对任一方阵定理第四章第四章 矩阵函数及其应用矩阵函数及其应用5.矩阵函数1211211()()()(),()()()()nnfff(A)PpftA
14、tf Atftftf AtPPft由定理，我们可以得到在实用上，我们遇到的往往是变量 的函数矩阵的矩阵函数，类似 我们可以得到定XmCm 0X 1，幂级数若对任一方阵定理第四章第四章 矩阵函数及其应用矩阵函数及其应用5.矩阵函数112212)()()()1()1iikkiiiiinnAAJJAPPJJ 当 不能与对角形矩阵相似，这时，必可与约当标准形相似 其中约当块 定XmCm 0X 1，幂级数若对任一方阵定理第四章第四章 矩阵函数及其应用矩阵函数及其应用5.矩阵函数121121)()()()()()(2)()()()(1PtJftJftJfPAtfAfJfPJfJfJfPAfkik类似地有。
15、，从而便可得到的公式计算出每个再由定理，我们可以得到由定理定XmCm 0X 1，幂级数若对任一方阵定理第四章第四章 矩阵函数及其应用矩阵函数及其应用5.矩阵函数11p174110430.()102:001111012210111100200010011AAePPP APJ ：设,求解 我们已求得 及且易得 例定XmCm 0X 1，幂级数若对任一方阵定理第四章第四章 矩阵函数及其应用矩阵函数及其应用5.矩阵函数021112222()!0010011101200210111010001110 032210430210032mzmAzf zemeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee 因此，考虑定
16、XmCm 0X 1，幂级数若对任一方阵定理第四章第四章 矩阵函数及其应用矩阵函数及其应用5.矩阵函数220000000000.AttttAteeeeeteeeete若在计算 的第一个等式中，用去代替我们就可求得含变量 的矩阵函数定XmCm 0X 1，幂级数若对任一方阵定理第四章第四章 矩阵函数及其应用矩阵函数及其应用5.矩阵函数112210002121)(1)()()(,)()()()(321mmkkkkkksnsnnAAAEAfmAAfAACAfzCzfAmAns次多项式的可以表示成函数的收敛幂级数，则矩阵是相应的收敛的复变数幂级数值。又与的所有互不相同的特征是其中式次多项的最小多项式为阶方
17、阵设定理方法要简便些。上述绍多项式表示法，比起具体计算问题，下面介法及数来表示方阵函数的方以上讨论了用方阵幂级定XmCm 0X 1，幂级数若对任一方阵定理第四章第四章 矩阵函数及其应用矩阵函数及其应用5.矩阵函数方程组为的的函数，而确定这些是其中，有类似的方法，这时的方阵函数对于含变数出：由下列方程组的系数给系数)()1,2,1)()()()()()()(),2,1,()()1()1()!1()()1(2)(,112210)1(1121211122101210ttmitAtAtAtEtAtfAtftsifnmmnfmfiimmiinnmiminiimimiimimiimiii定XmCm 0X
18、1，幂级数若对任一方阵定理第四章第四章 矩阵函数及其应用矩阵函数及其应用5.矩阵函数),2,1,()()()1()2)(1()()!1()()()1()(2)()()()()(111121211110sidtfdtnmmmtndtdftmtttftttiinnnmiminiimimiimimiiiii第四章第四章 矩阵函数及其应用矩阵函数及其应用6.矩阵的微分与积分0()()()()()()()()ijm nijijm nijm nA zazazzzzA zddA zazA zazdzdz的每个元素都是复变量的函数，且都在或变量 的某个区域内可导，则定义的导数为：或 A(z)导数的定义导数的定
19、义6.矩阵的微分与积分矩阵的微分与积分第四章第四章 矩阵函数及其应用矩阵函数及其应用6.矩阵的微分与积分11)()()()(),2)()()()()()(),0,()().3)()()()()().4)()()()ijm nA zB zA zB zA zB zA zB zA zB zCCCA zCA zA ua uzuf zddA uduA zdzdudznA zA zAzdAdz 性质：当 为常数矩阵时，有且如及变量 的函数都可导，则若 阶函数矩阵可逆，且及其逆矩阵都可导，则111()()()().dzAzA zAzdz 第四章第四章 矩阵函数及其应用矩阵函数及其应用6.矩阵的微分与积分.)
20、()()()()()(4)()()(3),()()()()()2;)()()1dxxBxAxBxAdxxBxACdxxACdxxACbadxxBbdxxAadxxbBxaATdxxAxTA）；为非零常数矩阵）；为非零实数积分性质：积分性质：第四章第四章 矩阵函数及其应用矩阵函数及其应用7.常用矩阵函数的性质性质：性质：.)3.,)2.)1BAeAeBeBeAeBAABAtBeBAteBAABAAteAtAeAtedzd则，若则若.sin)sin(,cos)cos(),(21sin),(21cos,sincos)4AAAAiAeiAeiAiAeiAeAAAAte第四章第四章 矩阵函数及其应用矩阵
21、函数及其应用7.常用矩阵函数的性质.2,cos)2cos(,sin)2sin(,2cos2sin)6sincoscossin)sin(,sinsincoscos)cos()5AeEiAeAEAAEAEBABABABABABABABAAB时，则有：当第四章第四章 矩阵函数及其应用矩阵函数及其应用8.矩阵函数在微分方程组中的应用)0()0(),0(),0()0(21XeXxxxXAXdtdXAtTn解为：由定理我们知道其唯一定解问题：的常系数齐次微分方程组首先我们讨论一阶线性第四章第四章 矩阵函数及其应用矩阵函数及其应用8.矩阵函数在微分方程组中的应用)()()(|0)(000tXetXtXXAxdtdXttAtt其唯一解是同理可得到定解问题：第四章第四章 矩阵函数及其应用矩阵函数及其应用8.矩阵函数在微分方程组中的应用00000()()0()|()()()()t ttA t tA t ttdXAxF tdtXX tX teX teFd最后考虑一阶线性常系数非齐次微分方程组的定解问题：其解是:第四章第四章 矩阵函数及其应用矩阵函数及其应用8.矩阵函数在微分方程组中的应用的解。：例211102113)1,1,1()0(1AXAXdtdXT
