1、空间向量的数乘运算空间向量的数乘运算 空间向量与平面向量没有本质区别，都是表示具有大小和方向的量，它们的运算：加法，减法，数乘，数量积也完全相同。因此，在学习过程中，我们要注意空间向量与平面向量的类比。a)0(aa)0(a二、向量数乘运算满足的运算律：问题1：结论：结论：问题2：0/aabab 思考思考1 1：为什么要强调：为什么要强调?0a思考思考2 2：这个定理有什么作用？：这个定理有什么作用？1 1、判定两个向量是否共线、判定两个向量是否共线2 2、判定三点是否共线、判定三点是否共线lAPa BOatOAOPRt使唯一实数,ABtOAOPRt使唯一实数,DCBAABCDAACA,cCCb
2、CBaCDcba,CA CA CM CG DACBDABCMGabc共面向量共面向量:平行于同一平面的向量平行于同一平面的向量,叫做共面向量叫做共面向量.OAaa注意：注意：空间任意两个空间任意两个向量是共面的向量是共面的，但空，但空间任意三个向量就不间任意三个向量就不一定共面的了。一定共面的了。1、如果向量、如果向量e e1 1和和e e2 2是一平面内的两个不共是一平面内的两个不共线的向量，那么，该平面内的任一向量线的向量，那么，该平面内的任一向量a与与 e1,e2有什么关系有什么关系?如果如果e1和和e2是一平面内的两个不平行的向是一平面内的两个不平行的向量，那么，该平面内的任一向量量，
3、那么，该平面内的任一向量a，存在惟一存在惟一的一对实数的一对实数x x，y y，使使 a x e1 y e22、平面向量基本定理、平面向量基本定理复习：复习：问题3：？有什么位置关系时，与向量来，向量有什么位置关系？反过，与向量向量，那么，如果，的向量对空间任意两个不共线byaxpbapbapbyaxpba。使的有序实数对的充要条件是存在惟一共面，与向量不共线，那么向量，如果两个向量byaxp,bapbayx共面向量定理的剖析共面向量定理的剖析 如果两个向量如果两个向量 a a，b b 不共线不共线,向量向量c c与向量与向量a a，b b共面共面存在唯一的一对实数存在唯一的一对实数x x，y
4、 y，使，使 c cx xa ay yb b c cx xa ay yb b向量向量c c与向量与向量a a，b b共面共面(性质性质)(判定判定)OAabBCPp ACyABx,APyx使惟一有序实数对ACyABxO,OAPyx使惟一有序实数对即，P,A,B,C四点共面。或表示为：1zyxOCzOByOAxOP其中OAabBCPp ACyABx,APyx使惟一有序实数对ACyABxO,OAPyx使惟一有序实数对例例1、已知、已知A，B，C三点不共线，对平面三点不共线，对平面ABC外的外的任一点任一点O，确定在下列条件下，确定在下列条件下，M是否与是否与A，B，C三点共面：三点共面：111(1
5、);333(2)2.OMOAOBOCOMOAOBOC 例例2(课本例课本例)如图，已知平行四边形如图，已知平行四边形ABCD,从平从平面面AC外一点外一点O引向量引向量 ,求证：求证：四点四点E、F、G、H共面；共面；OEkOA OFkOBOGkOCOHkOD 分析分析:证证E,F,G,H四四点共面，只需证点共面，只需证EGEFEH,共面共面例例2(课本例课本例)已知已知 ABCD，从平面，从平面AC外一点外一点O引向量引向量 A,OEkOA OFkOB OGkOC OHkOD 求证：四点求证：四点E、F、G、H共面；共面；BCDOEFGH证明：证明：四边形四边形ABCD为为 ACABAD （
6、）EGOGOE kOCkOA ()k OCOA kAC（）代入）代入()k ABAD ()k OBOAODOA OFOEOHOE 所以所以 E、F、G、H共面。共面。EFEH 例例2(课本例课本例)已知已知 ABCD，从平面，从平面AC外一点外一点O引向量引向量 A,OEkOA OFkOB OGkOC OHkOD 求证：四点求证：四点E、F、G、H共面；共面；BCDOEFGH证明：证明：四边形四边形ABCD为为 ACABAD （）EGOGOE kOCkOA ()k OCOA kAC（）代入）代入()k ABAD ()k OBOAODOA OFOEOHOE 所以所以 E、F、G、H共面。共面。EFEH 选择恰当的向量表示问题中的几何元素，通过向量运算得出几何元素的关系，这是解决立体几何问题的常用方法平面向量数乘运算运算律空间向量小结类比思想 数形结合思想 共线向量共线向量 共面向量共面向量定义定义向量所在直线互相平向量所在直线互相平行或重合行或重合平行于同一平面的向量平行于同一平面的向量,叫做共面向量叫做共面向量.定理定理推论推论运用运用判断三点共线，或两判断三点共线，或两直线平行直线平行判断四点共线，或直线判断四点共线，或直线平行于平面平行于平面)0(/ababapabbyxpABtOAOPACyABxOAOP共面共面)1(APyxOByOxO)1(0zyxOCzOByOAxOP
