1、第四章 多分辨率分析与正交小波变换概述多分辨率是小波分析中的最重要的概念之一，它从函数空间的高度研究函数的多分辨率表示将一个函数表示为一个低频成分与不同分辨率下的高频成分。更重要的是，多分辨率能够提供一种构造小波的统一框架，并且能够提供函数分解与重构的快速算法。本章主要内容多分辨率分析尺度函数和小波函数二尺度方程及多分辨率滤波器组二进正交小波变换的Mallat算法4.1 多分辨率分析定义：多分辨率分析（Multiresolution Analysis,MRA）是用小波函数的二进伸缩和平移表示函数这一思想的更加抽象复杂的表现形式，它重点处理整个函数集，而非侧重处理作为个体的函数。基本思想：将L2
2、（R）用它的子空间Vj，Wj表示，其中Vj，Wj分别称为尺度空间和小波空间。性质尺度空间Vj具有以下递归嵌套关系：将Vj，Vj1相关联的关键性质是：2.小波空间Wj是Vj，Vj+1之间的差，即 ，它捕捉Vj+1逼近Vj时丢失的信息。101VVV。都属于、及所有的则若1)2()()2(,)(jjVktfktftfVtfjjjVWV1比喻类似于人的视觉系统。例如：人在观察某一目标时，不妨设他所处的分辨率为j（或2j），观察目标所获得的信息是Vj，当他走近目标，即分辨率增加到j-1（或2j-1），他观察目标所获得的信息为Vj-1，应该比分辨率j下获得的信息更加丰富，即 ，分辨率越高，距离越近；反之，
3、则相反。1jjVV在分辨率分析中，Vj称为逼近空间，我们把平方可积的函数f(t)L2(R)看成是某一逐级逼近的极限情况。每次逼近都是用一低通平滑函数（t）对f(t)做平滑的结果，在逐级平滑时平滑函数（t）也做逐级逼近，这就是多分辨率，即用不同分辨率来逐级逼近待分析函数f(t)。补充：直和设E是线性空间，L1，L2，Ln是E的子空间，如果任一元素xE可以惟一表示成x=x1+x2+xn,其中xk Lk(k=1,2,n),则称E是L1，L2，Ln的直和，记为：nkknLELLLE121或我们把空间做逐级二分解产生一组逐级包含的子空间：j是从-到+的整数，j值越小空间越大。如，当j4时，,112211
4、10jjjWVVWVVWVV空间的剖分是完整的，即当j-，VjL2（R），包含整个平方可积的实变函数空间。当j+，Vj 0，即空间最终剖分到空集为止。这种剖分方式使得空间Vj与空间Wj正交，各个Wj之间也正交，即：22)(jjRLV,;jjWWWVjjjj这种函数空间的部分有如下特性：（1）位移不变性：函数的时移不改变其所属空间，即如果f(t)Vj，则f(t-k)Vj。（2）二尺度伸缩性：即f(t)Vj，则f(t/2)Vj+1,f(2t)Vj-1。各空间内的结构做进一步分析：（1）设V0中有低通平滑函数（t），它的整数移位集合 是V0中的正交归一基。我们称为尺度函数，所以有：Zkkt)()2(
5、21)(0)()()()()(),(200kttjttktkkktktjjjkkk时的为式中，V0中的任意函数f(t)均可表示为 的线性组合，我们设P0f(t)代表f(t)在V0上的投影，则有：是线性组合的权重，其求法如下：我们称P0f(t)为f(t)在V0处的平滑逼近，也就是f(t)在j=0下的概貌，称为f(t)在分辨率j=0下的离散逼近。Zkkt)()()()(000ttxtfPkkk)(),()(),(000)0(ttfttfPxkkk)0(kx)0(kx（2）根据二尺度伸缩性，如果（t）V0，则（t/2）V1，而且，如果 是V0中的正交归一基，则Zktk)(0)2(21)(1kttk)
6、()()(2,)2()2(21)2(21)2(21)(),(11ttdtktktttdtktktdtktktttkk当所以 必是V1中的正交归一基。因此V1中的任意函数，如P1f(t)，据可以表示为 的线性组合。即 权重为：我们称P1f(t)为f(t)在V1处的平滑逼近，也就是f(t)在分辨率j=1下的概貌，称为f(t)在分辨率j=1下的离散逼近。Zkkt)(1Zkkt)(1kkktxtfP)()(1)1(1)(),()(),(111)1(ttfttPxkkk)1(kx（3）如果在子空间W0中能找到一个带通函数 ，其整数位移的集合 构成W0中的正交归一基，我们根据二尺度的伸缩性，可得W1中的任
7、意函数f(t)均可以表示为 的线性组合。)(tZkkt)(ZkkkttWtWt)2(21)()2(,)(110且，则Zkkt)(我们设D1f(t)代表f(t)在W1上的投影，有 是线性组合的权重，其求法：)()()(,)(),()(,11011011)(1)1(tfDtfPtfPWVVttftDdkktfk所以因为)()(1)1(1tdtfDkk)1(kd进行类推，可得：Pjf(t)是f(t)在Vj中得投影，是f(t)在分辨率j下得平滑逼近，称为f(t)在分辨率j下得离散逼近。Djf(t)是f(t)在Wj中得投影，反映了Pjf(t)和Pj-1f(t)之间的细节差异。就是 。)()()(11tf
8、DtfPtfPjjj)(jkx)(jkd),(kjWTf多分辨率概念1.单调性。2.逼近性。3.伸缩性。4.平移不变性。5.Riesz基存在性。4.2 尺度函数和小波函数4.2.1 尺度函数及其空间定义：函数 为尺度函数，若其经过整数平移k和尺度j上的伸缩，得到一个尺度和位移均可变化的函数集合：称每一个尺度j上的平移系列jk（t）所组成的空间Vj为尺度为j的尺度空间。)()(2RLt)2(2)(2kttjjjkZktspanjk,)(V_j对于任意函数所以，尺度函数在不同尺度下其平移系列组成了一系列的尺度空间。j的变化的影响：kjkjkjkkjktatatfVtf)2(2)()(,)(2有4.
9、2.2 小波函数及其小波空间尺度函数的特点：范函空间中的正交分解理论：jjjjijjjjjjjjijWRLWVVVRLVWVVVVV)(,)(,22可得及的正交补空间。根据即为记为将均正交，表示该空间中任意元素其中L2（R）的正交基就是把直和的子空间的正交基合并起来。所以L2（R）的标准正交基为：比较二进小波的函数形式。Zkjktjj,),2(22Znknttkknk,),2(2)(2,4.2.3 尺度函数和小波函数的性质Possion公式，其表现了正交归一性在频域的表现：1.设f(t-k),kZ是一组正交归一的函数集合：则正交归一性在频域的表现为：21)()()(2121kkRkkdtktf
10、ktf1|)2(|2kkF2.设f1(t-k1),f2(t-k2)；k1，k2 Z是两组正交的函数集合：此正交性质的频域表示为：ZkkdtktfktfR2121,0)()(ZkkFkFk,0)2()2(21尺度函数和小波函数性质：（1）尺度函数（2）小波函数Zkjkttjjjk,),2(2)(2,2)(,)2(2)(kkjjkjjkjjjkdttZkjktt都是互相正交的。对所有的（3）同一尺度下，因为WjVj，所以小波函数和尺度函数之间是正交的，即：0)(dttjkjk4.3 二尺度方程及多分辨率 滤波器组即 组合，即：的线性可以表示为归一基，所以空间的正交又是由于)2(21)()()(,)
11、2(21)(12,101,11201ktttVtVVVttjkjjjkjjjjjjjjkkjkjtht)()(,100kjjkjjktht)2(21)2(2112102kjkjktht)2(2)2(10整理后得：类推到Wj和Vj-1之间，得：上面二式就是二尺度差分方程，其中，h0k和h1k是线性组合的权重。由于 是正交归一基，它们值为：kjkjktht)2(2)2(11)(,1tkj)(),()(),()(),(0100010,100tthtttthkkkkjjk类似可得：二尺度关系存在于任意相邻尺度j和j-1之间，即设H0()为h0k的傅立叶变换，H1()为h1k的傅立叶变换，它们都是以2为
12、周期的周期函数。kkjkjkkjkjthttht)(2)2()(2)2(,110,100kkjkkkjkehHehH1100)()()()()2(2)()()2(210HH4.3.2 滤波器系数h0k和h1k的性质（1）h0k和h1k的总和分别为（2）频域初值nknkhh02100)0(2)0(10HH（3）递推关系10110110010)2()2()()2()()(21)(),(21)()()()()(jjjjHHHHHHHHH，则令之间存在下述关系：、与、（4）滤波器H0（），H1（）特性：前两个式子是设计H0（），H1（）的主要依据，第三个式子给出了H0（）与 H1（）之间的内在联系。它
13、在时域中的表达式为：0)()()()(2|)(|)(|2|)(|)(|)()(10021212020001HHHHHHHHHH满足下式：、滤波器)()(01HeHj)1(01)1(kkkhh4.4 二进正交小波变换的 Mallat算法根据多分辨率理论，Mallat提出了小波分解与重构的快速算法，称为Mallat算法，其在小波分析中的作用相当于FFT在傅立叶分析中的作用。它标志着小波分析走上了宽阔的应用领域。4.4.1 Mallat算法的信号分解过程在多分辨率分析中，我们得出一个重要结论：01010)0()1(11111011)1(0)0(0)()(),()(),(0)(),()(),()(),
14、()(),()()(0)()(nnknknnkkkkkkknnnnjnjnjxttttxxttfDttfDttfPttfPxtxtfPjtxtfP所以正交，所以因为由于时，当可推得：我们称上式为离散平滑逼近，下式是离散细节信号。nnknknnknkxhdxhx)0()2(1)1()0()2(0)1(分解算法图例4.4.2 Mallat算法的信号重建过程由前面所以jjjWVV1kjkkjkkjkknkjkknjnnjjjnjkkjkjkkjkjjjdkngxkngdhxhxttfPxtdtxtfDtfPtfP)(1)(0)()2(1)()2(0)1(,11)1()()(1)2()2()(),()
15、()()()()(所以又 是由它们重建得到的第j-1级离散平滑信号。G0(k)、G1(k)为：如果从设计滤波器的角度考虑，设输入信号为x(k)，重建输出信号为y(n)，我们将x(k)进行二插值，得x(k/2)，k为偶数，所以：)(),()(,)(),()(01010100ttkgttkgkk)1(jnx为偶数，kknhkxknhkxnykkkk)2()()()2()(2重构算法图例Mallat算法得分解与重构比较：（1）在分解算法中信号是先滤波后抽取，而在重建算法中是先插值后滤波。（2）在重建公式中，是对k求和，而在分解式中，是对n求和。（3）综合滤波器和分析滤波器中的系数不一定相等。4.4.3 Mallat算法的频带分解特点如果将空间进行三层分解，得在Mallat算法中，是通过算子H0、H1来实现的，数据 表示 ，则在Mallat算法中，从而实现了 3321221110WVWWWVWVWV jkx表示，数据)()(jkjjdVtfPjjWtfD)(1110jjjjDHDXHX，jjjjjWVWVV,1
