1、2 第二型曲线积分 第二型曲线积分与第一型曲线积分不同的是在有方向的曲线上定义的积分,这是由于第二型曲线积分的物理背景是求变力沿曲线作的功,而这类问题显然与曲线的方向有关.三、两类曲线积分的联系 一、第二型曲线积分的定义 二、第二型曲线积分的计算 一 第二型曲线积分的定义在物理中还遇到过另一在物理中还遇到过另一种类型的曲线积分问题种类型的曲线积分问题.例如一质点受力例如一质点受力 (,)F x y的作用沿平面曲线的作用沿平面曲线 L 从从点点 A 移动到点移动到点 B,求力求力 (,)F x y所作的功所作的功,见图见图 20-2.202 图图OyxA M0()(,)x yM1M2nM1nB
2、M()FLPQAB1n121,nMMM为此在曲线为此在曲线 内插入内插入 个分点个分点0,nAMBM它它们们与与AB 一起把有向曲线一起把有向曲线 分成分成 n个个有向小曲线段有向小曲线段 1(1,2,).iiMM in 若记小曲线若记小曲线 1|max.ii nTs(,)F x yxy轴轴和和设力设力 在在轴方向的投影分别为轴方向的投影分别为(,)(,),P x yQ x y与与那么那么(,)(,),(,).F x yP x yQ x y1iiMM,isT的弧长为的弧长为 则分割则分割 的细度为的细度为段段1iiMMxy轴轴和和又设小曲线段又设小曲线段 在在 轴上的投影分别为轴上的投影分别为
3、 11(,)iixy1iiMM与与 分别为点分别为点 的坐标的坐标.记记 1(,),iiMMiiLxy(,)F x y1iiMM于是力于是力 在小曲线段在小曲线段 上所作的功上所作的功1(,)(,)(,),iiiiiMMiiiiiiWFLPxQy (,)ii 1iiMM其中其中 为小曲线段为小曲线段 上任一点上任一点.因而力因而力(,)F x yAB 沿曲线沿曲线 所作的功近似地等于所作的功近似地等于11,iiiiiixxxyyy与与 其中其中(,)iixy与与111(,)(,).nnniiiiiiiiiiWWPxQy 当细度当细度|0T 时时,上式右边和式的极限就应该是上式右边和式的极限就应
4、该是 所求的功所求的功.这种类型的和式极限就是下面所要讨论这种类型的和式极限就是下面所要讨论 的第二型曲线积分的第二型曲线积分.定义定义1 设函数设函数 (,)(,)P x yQ x y与与定义在平面有向可定义在平面有向可:L ABL,TL 求长度曲线求长度曲线 上上.对对 的任一分割的任一分割 它把它把 分分 成成n个小曲线段个小曲线段1(1,2,),iiMM in0,.nMA MB1iiMM其中其中 记个小曲线段记个小曲线段 的弧长的弧长 ,isT 1|max.ii nTsT为为 分割分割 的细度的细度 又设又设 的分点的分点1,iiixxx1,(1,2,).iiiyyyin 1iiMM(
5、,),ii 在每个小曲线段在每个小曲线段 上任取一点上任取一点 若极限若极限|0|011lim(,)lim(,)nniiiiiiTTiiPxQy 存在且与分割存在且与分割 T 与点与点(,)ii 的取法无关的取法无关,则称此极则称此极限限为函数为函数(,),(,)P x y Q x y 沿有向曲线沿有向曲线 L 上的上的第二型第二型iM 的坐标为的坐标为 并记并记(,),iixy曲线积分曲线积分,记为记为 (,)d(,)dLP x yxQ x yy(,)d(,)d(1)ABP x yxQ x yy或或(,)d(,)dLLP x yxQ x yy(,)d(,)dABABP x yxQ x yy上
6、述积分上述积分(1)也可写作也可写作或或为书写简洁起见为书写简洁起见,(1)式常简写成式常简写成ddLP xQ ydd.ABP xQ y 或或 式可写成向量形式式可写成向量形式dd.(2)LP xQ y若若L为封闭的有向曲线为封闭的有向曲线,则记为则记为 若记若记(,)(,),(,),d(d,d),F x yP x y Q x ysxy 则则(1)dLFsd.(3)ABFs 或或 于是于是,力力(,)(,),(,)F x yP x y Q x y 沿有向曲线沿有向曲线:L AB对质点所作的功为对质点所作的功为(,)d(,)d.LWP x yxQ x yy(,),P x y z(,),Q x y
7、 z若若L为空间有向可求长曲线为空间有向可求长曲线,(,)R x y z为定义在为定义在L上的函数上的函数,则可按上述办法类则可按上述办法类 似地定义沿空间有向曲线似地定义沿空间有向曲线L上的第二型曲线积分上的第二型曲线积分,并记为并记为(,)d(,)d(,)d,(4)LP x y zxQ x y zyR x y zz或简写成或简写成ddd.LP xQ yR z(,)(,),(,),(,)F x yP x y Q x y R x y 与与d(d,d,d)sxyz 当把当把看作三维向量时看作三维向量时,(4)式也可表示成式也可表示成(3)式的向量形式式的向量形式.第二型曲线积分与曲线第二型曲线积
8、分与曲线 L 的方向有关的方向有关.对同一曲线对同一曲线,当方向由当方向由 A 到到 B 改为由改为由 B 到到 A 时时,每一小曲线段的每一小曲线段的方向方向改变改变,从而所得的从而所得的,iixy 也随之改变符号也随之改变符号,故故 有有 dddd.(5)ABBAP xQ yP xQ y 而第一型曲线积分的被积表达式只是函数而第一型曲线积分的被积表达式只是函数(,)f x y与与 弧长的乘积弧长的乘积,它与曲线它与曲线L的方向无关的方向无关.这是两种类型这是两种类型曲线积分的一个重要区别曲线积分的一个重要区别.类似与第一型曲线积分类似与第一型曲线积分,第二型曲线积分也有如下第二型曲线积分也
9、有如下一些主要性质一些主要性质:1 dd(1,2,)iiLP xQ yik若若存存在在，则则11()d()dkkiiiiLiic Pxc Qy 也存在也存在,且且 111()d()d(dd);kkkiiiiiiiLLiiic Pxc QycP xQ yL12,kL LL2.若有向曲线若有向曲线 由有向曲线由有向曲线 首尾衔接而首尾衔接而 成成,dd,(1,)iLP xQ y ik 都存在都存在,则则 1dddd.ikLLiP xQ yP xQ y ddLP xQ y 也存在也存在,且且 二第二型曲线积分的计算第二型曲线积分也可化为定积分来计算第二型曲线积分也可化为定积分来计算.设平面曲线设平面
10、曲线(),:,(),xtLtyt 其中其中(),(),tt 在在 上具有一阶连续导函数上具有一阶连续导函数,且且 AB与与(),()(),().与与 点点 的坐标分别为的坐标分别为 又设又设(,)(,)P x yQ x yL与与为为上的连续函数上的连续函数,则沿则沿 L AB从从到到的第二型曲线积的第二型曲线积分分(,)d(,)dLP x yxQ x yy(),()()(),()()d.(6)PtttQtttt (,)d(),()()d,LP x yxPtttt (,)d(),()()d,LQ x yxQtttt 读者可仿照读者可仿照1中定理中定理20.1的方法分别证明的方法分别证明由此便可得
11、公式由此便可得公式(6).对于沿封闭曲线对于沿封闭曲线L的第二型曲线积分的第二型曲线积分(2)的计算的计算,可可 在在 L 上任意选取一点作为起点上任意选取一点作为起点,沿沿L所指定的方向前所指定的方向前 进进,最后回到这一点最后回到这一点.203 图图Oyx1A(1,1)B(2,3)23123D(2,1)C例例1 计算计算 d()d,Lxy xyxy其中其中 L 分别沿图分别沿图 20-3中的路线中的路线:(i)直线段直线段 ;AB(ii)22(1)1;ACByx抛抛物物线线:(iii)ADBA(三角形周界三角形周界).解解(i)直线直线 L 的参数方程为的参数方程为1,0,1.12,xtt
12、yt故由公式故由公式(6)可得可得 d()dABxy xyxy10(1)(12)2 dtttt12025(152)d.6tttACB22(1)1,12,yxx(ii)曲线曲线 为抛物线为抛物线 d()dACBxy xyxy2221 2(1)1 2(1)14(1)dxxxxxx 232110(10323512)d.3xxxx(iii)这里这里L是一条封闭曲线是一条封闭曲线,故可从故可从 A开始开始,应用上段应用上段加即可得到所求之曲线积分加即可得到所求之曲线积分.由于沿直线由于沿直线:,1(12)AD xx yx的线积分为的线积分为所以所以的性质的性质2,分别求沿分别求沿 上的线积分然后相上的线
13、积分然后相 ,AD DB BA213d()ddd.2ADADxy xyxyxy xx x沿直线沿直线 :2,(13)DB xyyy的线积分为的线积分为 31d()d()d(2)d0.DBDBxy xyxyyxyyy25d()dd()d.6BAABxy xyxyxy xyxy 所以所以 3258d()d0.263Lxy xyxy 沿直线沿直线 的线积分可由的线积分可由(i)及公式及公式(5)得到得到:BA 例例2 计算计算dd,Lx yy x 这里这里 L 为为:(i)沿抛物线沿抛物线22,yxOB从从到到 的一段的一段(图图20-4);(ii)沿直线沿直线:2;OByx(iii)沿封闭曲线沿封
14、闭曲线.OABO120(4)2dxxxx12066d2.3xxddLx yy x解解(i)204图图Oy(1,2)B1(1,0)A2x142.210dd(22)dLx yy xxxx(ii)(iii)在在OA一段上一段上,0,01;yxAB在在 一段上一段上,1,02;xyBO在在 2yx 从从一段上与一段上与(ii)一样是一样是10 xx到到的一段的一段.所以所以10dd0d0,OAx yy xx20dd1d2,ABx yy xydddd2.BOOBx yy xx yy x (见见(ii)dddd0220.LOAABBOx yy xx yy x沿空间有向曲线的第二型曲线积分的计算公式也与沿空
15、间有向曲线的第二型曲线积分的计算公式也与(6)式相仿式相仿.设空间有向光滑曲线设空间有向光滑曲线 L 的参量方程为的参量方程为 (),:(),(),xx tLyy ttzz t 因此因此 (),(),(),xyz (),(),(),xyz 起点为起点为 终点为终点为则则 dddLP xQ yR z(),(),()()(),(),()()P x ty tz tx tQ x ty tz ty t (),(),()()d.(7)R x ty tz tz tt这里要注意曲线方向与积分上下限的确定应该一致这里要注意曲线方向与积分上下限的确定应该一致.2d()dd,LIxy xxyyxzcos,sin,x
16、at yat zbt0t从从到到L是螺旋线是螺旋线:例例3 计算第二型曲线积分计算第二型曲线积分t 上的一段上的一段(参见图参见图 205).解解 由公式由公式(7),32222220(cos sincossin coscos)dIattatatta btt3332201111sinsin(1)(sin2)3222atatab tt 21(1).2ab例例4 求在力求在力(,)F yx xyz作用下作用下,A1LB到到(i)质点由质点由 沿螺旋线沿螺旋线所作的功所作的功(图图20-5),其中其中 1:cos,sin,02;Lxat yat zbtt(ii)质点由质点由A沿直线沿直线2LB到到所
17、作的功所作的功.解解 如本节开头所述如本节开头所述,在空间曲线在空间曲线 L上力上力F所作的功所作的功为为ddd()d.LLWFsy xx yxyzz(i)由于由于 dsin d,dcos d,dd,xat tyat tzb t2222220(sincoscossin)dWatatabtabtb tt222().ba(ii)2L的参量方程的参量方程,0,02.xa yzttb由于由于d0,d0,dd,xyzt所以所以20()d2().bWattb ab2222xyza 0 xyz 例例5 设设L为球面为球面和平面和平面的交线的交线,若面对若面对 x 轴正向看去轴正向看去,L是沿逆时针方向的是沿
18、逆时针方向的,求求ddd;Lx xy yz z (i)ddd.Lz xx yy z (ii)cossin,62aaxttcos,6ayt cossin,0,2.62aaztt t(i)2202dcos sin d0.3Ly yatt t 由对称性，由对称性，dd0,LLx xz z 解解 L的参数方程为的参数方程为因此，因此，ddd=0.Lx xy yz z (ii)202dcossincosd662Laaay ztttt 23.3a 由对称性，由对称性，2ddd3.Lz xx yy za ()x ,a b*例例6 设设G是是 R2 中的有界闭域，中的有界闭域，是是 上的连续上的连续 可微函数
19、可微函数,(,),(,)P x yQ x y是在是在G上的连续函数上的连续函数.(,(),int,Lxxxa bG 0 0,则对任意则对任意,存在存在 对于任意分割对于任意分割01:,nT axxxb 只要只要1max:1,iiTxxin 必有必有dddd,LlP xQ yP xQ y 其中其中(,(),1,2,iiiilAA xxin 是是以以 为端点为端点的折线的折线.,P Q 0,M 证证 由由的有界性的有界性,存在存在使得使得sup(,)(,),P x yx yGMsup(,)(,),Q x yx yGMsup(),.xxa bM 0,.(12)()Mba 令令 由由P,Q在在 G 的
20、一致连续性的一致连续性,存在存在0.使得使得(,),(,),A x yB x yG yy 就有就有(,)(,),P x yP x y(,)(,).Q x yQ x y,a b0,由由在在上的一致连续性上的一致连续性,存在存在 使得使得,x xa bxx 就有就有()(),()()xxxx.任意分割任意分割 01:nT axxxb ,满足满足1max:1,.iiTxxin 令令(,(),iiiiAA xx il1iA iA 设设 为连接为连接与与 的线段的线段,其斜率为其斜率为111()()(),1,2,.iiiiiiiixxxxinxx 1,niill l(),.l xxa b 设设 的方程为
21、的方程为则则,xa b ()().l xx(,()(,(),P xxP x l x(,()()(,()()iQ xxxQ x l x (,()()(,()()iQ xxxQ xx (,()()(,()()iiQ xxQ x l x 2,M 于是于是L1iA iA,1,2,.iL in 设设在在 到到的那段曲线为的那段曲线为 则则 1.niiLL ddddLlP xQ yP xQ y1ddddiiniLlP xQ yP xQ y 11(,()()(,()()diinxixiQ xxxQ x l xx 11(,()(,()diinxxiP xxP x l xx 因此因此11112nniiiiiix
22、xM xx(12)().M ba 注注 例例6 告诉我们曲线上的积分可用折线上的积分来告诉我们曲线上的积分可用折线上的积分来逼近逼近.*三.两类曲线积分的联系在规定了曲线方向之后在规定了曲线方向之后,可以建立它们之间的联系可以建立它们之间的联系.LAB设设为为从从到到的有向光滑曲线的有向光滑曲线,它以弧长它以弧长s为参数为参数,虽然第一型曲线积分与第二型曲线积分来自不同的虽然第一型曲线积分与第二型曲线积分来自不同的物理原型物理原型,且有着不同的特性且有着不同的特性,但在一定条件下但在一定条件下,如如于是于是(),:0,(),xx sLslyy s其中其中l为曲线为曲线L的全长的全长,且点且点A
23、B与与 的坐标分别为的坐标分别为(0),(0)(),().xyx ly l与与 曲线曲线L上每一点的切线方上每一点的切线方 向指向弧长增加的一方向指向弧长增加的一方.现以现以(,),(,)t xt y分别表示分别表示 切线方向切线方向txy与与轴轴与与 轴正向的夹角轴正向的夹角,则在曲线上的则在曲线上的 每一点的切线方向余弦是每一点的切线方向余弦是ddcos(,),cos(,).(8)ddxyt xt yss(,),(,)P x y Q x yL若若为为曲曲线线上的连续函数上的连续函数,则由则由(6)式得式得ddLP xQ y0(),(),cos(,)(),()cos(,)dlP x sy s
24、t xQ x sy st ys(,)cos(,)(,)cos(,)d,(9)LP x yt xQ x yt ys最后一个等式是根据第一型曲线积分化为定积分的最后一个等式是根据第一型曲线积分化为定积分的公式公式.注注 当当(9)式左边第二型曲线积分中式左边第二型曲线积分中L改变方向时改变方向时,积积 分值改变符号分值改变符号,相应在相应在(9)式右边第一型曲线积分中式右边第一型曲线积分中,曲线上各点的切线方向指向相反的方向曲线上各点的切线方向指向相反的方向(即指向弧即指向弧 长减少的方向长减少的方向).这时夹角这时夹角(,)(,)t xt y和和分别与原来分别与原来,cos(,)cos(,)t
25、xt y和和 的夹角相差一个弧度的夹角相差一个弧度 从而从而 都都 要变号要变号.因此因此,一旦方向确定了一旦方向确定了,公式公式(9)总是成立的总是成立的.复习思考题 1.设设(,)f x y在光滑曲线在光滑曲线L上连续上连续,L满足满足(,)(,).x yLx yL 若若(,)f x y(,)(,),fx yf x y 满足条件满足条件:是否有是否有(,)d0?Lf x yx (,)f x y(,)(,),fx yf x y 又若又若满足满足 是否有是否有(,)d2(,)d?LLf x yxf x yx 其中其中 (,):0.Lx yL x 2.第二型曲面是否也有轮换对称性？第二型曲面是否
26、也有轮换对称性？设设(,)f x y 在光滑曲线在光滑曲线 L上连续上连续,L满足满足(,)(,).x yLy xL (,)f x y(,)(,),f x yf y x 若若 满足条件满足条件:是否亦有是否亦有(,)d(,)d?LLf x yxf y xy 3.设设(,)f x y z 在空间光滑曲线在空间光滑曲线L上连续上连续,L满足满足(,)(,)(,).x y zLy z xLz x yL (,)f x y z(,),x y zL 若若 满足条件满足条件:(,)(,)(,),f x y zf y z xf z x y (,)d(,)d(,)d?LLLf x y zxf y z xyf z x yz是否亦有是否亦有
