1、第二课时指数函数图象与性质的综合应用1.进一步熟练掌握指数函数的图象、性质进一步熟练掌握指数函数的图象、性质.2.会求指数型函数的定义域、值域、最值，以及能判断与证明单调性会求指数型函数的定义域、值域、最值，以及能判断与证明单调性.3能用指数函数解决实际问题能用指数函数解决实际问题.课标要求素养要求借助指数函数的性质，研究指数型函数的有关问题，发展数学抽象素借助指数函数的性质，研究指数型函数的有关问题，发展数学抽象素养、逻辑推理素养和数学运算素养；通过指数函数解决实际问题，发养、逻辑推理素养和数学运算素养；通过指数函数解决实际问题，发展数学建模素养展数学建模素养.课前预习课堂互动分层训练内容索
2、引课前预习知识探究11.在实际问题中，经常遇到指数增长模型，形如在实际问题中，经常遇到指数增长模型，形如ykax(kR，且，且k0；a0，a1)的函数是刻画指数增长或指数衰减变化规律的非常有用的函数模型的函数是刻画指数增长或指数衰减变化规律的非常有用的函数模型.2.指数函数指数函数yax(a0，a1)的图象与性质的图象与性质a10a0时时，_；当当x0时时，_；当当x0时时，_当当x10y10y1增增减减y轴轴点睛如何判断形如如何判断形如yaf(x)(a0，a1)的单调性？的单调性？(1)定义法，即定义法，即“取值作差变形定号取值作差变形定号”.”.其中，在定号过程中需要用到其中，在定号过程中
3、需要用到指数函数的单调性；指数函数的单调性；(2)利用复合函数的单调性利用复合函数的单调性“同增异减同增异减”的规律的规律.1.思考辨析，判断正误思考辨析，判断正误(1)y21x是是R上的增函数上的增函数.()(2)某企业生产总值的月平均增长率为某企业生产总值的月平均增长率为p，则年平均增长率为，则年平均增长率为(1p)121.()(3)当当a1时，函数时，函数yaf(x)与与yf(x)的单调性相反的单调性相反.()提示提示由复合函数单调性由复合函数单调性“同增异减同增异减”知知yaf(x)与与yf(x)在在a1时具有相同的时具有相同的单调性单调性.(4)若若2x11，则，则x1.()C解析解
4、析由由x10可得可得x1，A.(，1)B.(，1C.1，)D.(1，)3.已知某种细菌在培养过程中，每已知某种细菌在培养过程中，每20 min繁殖一次，经过一次繁殖繁殖一次，经过一次繁殖1个细菌变个细菌变成成2个，经过个，经过3 h，这种细菌由，这种细菌由1个可繁殖成个可繁殖成()A.511个个 B.512个个C.1 023个个 D.1 024个个解析解析因为因为3 h(920)min，所以所以这种细菌由这种细菌由1个可繁殖成个可繁殖成29512(个个).B2课堂互动题型剖析2题型一指数型函数的定义域、值域解解由由x40，得，得x4，解解由由12x0，得得2x1，x0，由由02x1，得，得12
5、x0，012x0，y1，故函数的值域为故函数的值域为y|y1.思维升华对于对于yaf(x)(a0，a1)这类函数，这类函数，(1)定义域是使定义域是使f(x)有意义的有意义的x的取值范围；的取值范围；(2)求值域问题，有以下三种方法：求值域问题，有以下三种方法：由定义域求出由定义域求出uf(x)的值域；的值域；利用指数函数利用指数函数yau的单调性求得此函数的值域的单调性求得此函数的值域.求形如求形如yAa2xBaxC类函数的值域一般用换元法，设类函数的值域一般用换元法，设axt(t0)，再转，再转化为二次函数求值域化为二次函数求值域.A题型二指数函数单调性应用题型二指数函数单调性应用3x11
6、，x0，故原不等式的解集是，故原不等式的解集是x|x0.x|x0(2)已知已知a5xax7(a0，a1)，求，求x的取值范围的取值范围.解解当当a1时，时，当当0aab的不等式，借助于函数的不等式，借助于函数yax的单调性求解，如果的单调性求解，如果a的取值不确的取值不确定，要对定，要对a分为分为0a1两种情况分类讨论两种情况分类讨论.(2)形如形如axb的不等式，注意将的不等式，注意将b转化为以转化为以a为底数的指数幂的形式，再借助为底数的指数幂的形式，再借助于函数于函数yax的单调性求解的单调性求解.2.函数函数yaf(x)(a0，a1)的单调性的处理技巧的单调性的处理技巧当当a1时，时，
7、yaf(x)与与yf(x)的单调性相同，当的单调性相同，当0a1时，时，yaf(x)与与yf(x)的的单调性相反，即单调性相反，即“同增异减同增异减”.”.函数函数y3x在在R上为增函数，上为增函数，x22x11，0 x2.故原不等式的解集为故原不等式的解集为0，2.(2)令令ux22x，则，则y2u.ux22x(x1)21在在(，1上递增，在上递增，在1，)上递减，上递减，又又y2u在在R上递增，上递增，y2x22x的单调减区间为的单调减区间为1，).0，21，)题型三指数函数的实际应用题型三指数函数的实际应用(2)过滤过滤7次后的杂质含量是多少？过滤次后的杂质含量是多少？过滤8次后的杂质含
8、量是多少？至少应过滤次后的杂质含量是多少？至少应过滤几次才能使产品达到市场要求？几次才能使产品达到市场要求？所以至少应过滤所以至少应过滤8次才能使产品达到市场要求次才能使产品达到市场要求.指数函数在实际问题中的应用指数函数在实际问题中的应用(1)与实际生活有关的问题，求解时应准确读懂题意，从实际问题中提取出模与实际生活有关的问题，求解时应准确读懂题意，从实际问题中提取出模型转化为数学问题型转化为数学问题.(2)在实际问题中，经常会遇到指数增长模型：设基数为在实际问题中，经常会遇到指数增长模型：设基数为N，平均增长率为，平均增长率为p，则对于经过时间则对于经过时间x后的总量后的总量y可以用可以用
9、yN(1p)x来表示，这是非常有用的函数模来表示，这是非常有用的函数模型型.思维升华【训练【训练3】有一种树木栽植五年后可成材有一种树木栽植五年后可成材.在栽植后五年内，年增加在栽植后五年内，年增加20%，如，如果不砍伐，从第六年到第十年，年增长果不砍伐，从第六年到第十年，年增长10%，现有两种砍伐方案：，现有两种砍伐方案：甲甲方案：栽植五年后不砍伐，等到十年后砍伐方案：栽植五年后不砍伐，等到十年后砍伐.乙乙方案：栽植五年后砍伐重栽，再过五年再砍伐一次方案：栽植五年后砍伐重栽，再过五年再砍伐一次.请请计算后回答：十年内哪一个方案可以得到较多的木材？计算后回答：十年内哪一个方案可以得到较多的木材
10、？(1.252.49，1.151.6，1.3254)解解设树林最初栽植量为设树林最初栽植量为a，甲方案在，甲方案在10年后树木产量为年后树木产量为y1a(120%)5(110%)5a(1.21.1)54a.乙方案在乙方案在10年后树木产量为：年后树木产量为：y22a(120%)52a1.254.98a.y1y24a4.98a0，因此，乙方案能获得更多的木材，因此，乙方案能获得更多的木材(不考虑最初的树苗成不考虑最初的树苗成本，只按成材的树木计算本，只按成材的树木计算).题型四指数型函数性质的综合应用题型四指数型函数性质的综合应用解解(1)f(x)的定义域为的定义域为R，且，且f(x)为奇函数，
11、为奇函数，故故f(x)在在R上为减函数上为减函数.(3)若对任意的若对任意的tR，不等式，不等式f(t22t)f(2t2k)0恒成立，求实数恒成立，求实数k的取值范围的取值范围.解解f(x)为奇函数，为奇函数，f(t22t)f(2t2k)0可化为可化为f(t22t)k2t2，即即3t22tk0对于一切对于一切tR恒成立，恒成立，k0.证明证明当当x0时，时，2x1，当当x0时时x30，当当x0时，时，f(x)0.由偶函数的图象关于由偶函数的图象关于y轴对称，轴对称，知当知当x0也成立也成立.故对于故对于x(，0)(0，)，恒有，恒有f(x)0.1.掌握掌握2种方法种方法比较比较两个指数式值的大
12、小的主要方法两个指数式值的大小的主要方法(1)比较形如比较形如am与与an的大小，可运用的大小，可运用yax的单调性的单调性.(2)比较形如比较形如am与与bn的大小，一般找一个的大小，一般找一个“中间值中间值c”.”.2.关注关注2类易错点类易错点(1)求解函数求解函数f(x)ag(x)(a0，a1)的单调性问题的注意点的单调性问题的注意点指数指数型函数的单调性与底数有关，因此讨论指数型函数的单调性时，一定要型函数的单调性与底数有关，因此讨论指数型函数的单调性时，一定要明确底数与明确底数与1的大小关系的大小关系.对于形如对于形如f(x)ag(x)(a0，a1)的函数，可以利用复的函数，可以利
13、用复合函数的单调性合函数的单调性(同增异减同增异减)，由指数函数，由指数函数yax及函数及函数g(x)的单调性确定的单调性确定f(x)的的单调性单调性.课堂小结(2)解指数不等式问题的注意点解指数不等式问题的注意点形如形如axay，借助，借助yax的单调性求解的单调性求解.形如形如axb，注意将，注意将b化成以化成以a为底的指数幂的形式，再借助为底的指数幂的形式，再借助yax的单调性求的单调性求解解.形如形如axbx的不等式，可借助图象求解的不等式，可借助图象求解.课堂小结分层训练素养提升3A解析解析yf(x)的定义域为的定义域为R，f(x)3x3xf(x)，则，则yf(x)为奇函数为奇函数.
14、8x22x，即，即x22x80，解得，解得2x4.A.x|2x4 B.x|2x4C.x|x2A3.已知已知a30.2，b0.23，c(3)0.2，则，则a，b，c的大小关系为的大小关系为()A.abc B.bacC.cab D.bca所以所以bac.BB由于由于y|2x4|在在(，2上是递减的，在上是递减的，在2，)上是递增的上是递增的，所以所以f(x)在在(，2上是递增的，在上是递增的，在2，)上是递减的上是递减的.故选故选B.C解析解析定义域为定义域为R，关于原点对称，关于原点对称.A.奇函数，且在奇函数，且在R上是增函数上是增函数B.偶函数，且在偶函数，且在(0，)上是增函数上是增函数C
15、.奇函数，且在奇函数，且在R上是减函数上是减函数D.偶函数，且在偶函数，且在(0，)上是减函数上是减函数(0，2)xx2x，即，即x22x0，解得，解得0 x0，所以，所以g(x)在区间在区间2，3上是增函数，上是增函数，(2)若不等式若不等式f(2x)k2x0在在x1，1上有解，求实数上有解，求实数k的取值范围的取值范围.故故h(t)max1，所以实数，所以实数k的取值范围是的取值范围是(，1.令令g(x)x24x3(x2)27，f(x)在在(2，)上是增函数，即上是增函数，即f(x)的单调增区间是的单调增区间是(2，).(2)如果函数如果函数f(x)有最大值有最大值3，求实数，求实数a的值
16、的值.由于由于f(x)有最大值有最大值3，所以，所以h(x)应有最小值应有最小值1.即当即当f(x)有最大值有最大值3时，实数时，实数a的值为的值为1.解析解析设设t2x，x(，1，0t2.解析解析令令x22x0，解得，解得x2或或x0，f(x)的定义域为的定义域为(，02，)，(，0(0，2故故f(x)的值域为的值域为(0，2.解得解得m5.故到今年为止，已砍伐了故到今年为止，已砍伐了5年年.(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？到今年为止，该森林已砍伐了多少年？(3)今后最多还能砍伐多少年？今后最多还能砍伐多少年？故今后最多还能砍伐故今后最多还能砍伐15年年.AB14.(多选题多选题)已知已知g(x)为偶函数，为偶函数，h(x)为奇函数，且满足为奇函数，且满足g(x)h(x)2x.若存在若存在x1，1，使得不等式，使得不等式mg(x)h(x)0有解，则实数有解，则实数m的值可以为的值可以为()解析解析因为因为g(x)h(x)2x，所以所以g(x)h(x)2x，又又g(x)为偶函数，为偶函数，h(x)为奇函数，为奇函数，所以所以g(x)h(x)2x，由由mg(x)h(x)0得得本节内容结束
