1、考点一判断零点的个数【例1】(2020潍坊检测)已知函数f(x)ln xx2ax，aR.第四课时导数与函数的零点第四课时导数与函数的零点(1)证明ln xx1；(2)若a1，讨论函数f(x)的零点个数.可得x(0，1)时，g(x)0，函数g(x)单调递增；x(1，)时，g(x)0，函数f(x)单调递增；在(x0，)上，f(x)1时，f(1)a10，综上可得：当a1时，函数f(x)只有一个零点x1；当a1时，函数f(x)有两个零点.规律方法1.利用导数求函数的零点常用方法：(1)构造函数g(x)(其中g(x)易求，且g(x)0可解)，利用导数研究g(x)的性质，结合g(x)的图象，判断函数零点的
2、个数.(2)利用零点存在定理，先判断函数在某区间有零点，再结合图象与性质确定函数有多少个零点.2.根据参数确定函数零点的个数，解题的基本思想是“数形结合”，即通过研究函数的性质(单调性、极值、函数值的极限位置等)，作出函数的大致图象，然后通过函数图象得出其与x轴交点的个数，或者两个相关函数图象交点的个数，基本步骤是“先数后形”.(1)若a3，求f(x)的单调区间；(2)证明：f(x)只有一个零点.综上，f(x)只有一个零点.考点二根据零点个数求参数的值(范围)【例2】函数f(x)axxln x在x1处取得极值.(1)求f(x)的单调区间；(2)若yf(x)m1在定义域内有两个不同的零点，求实数
3、m的取值范围.解(1)函数f(x)axxln x的定义域为(0，).f(x)aln x1，因为f(1)a10，解得a1，当a1时，f(x)xxln x，f(x)ln x，令f(x)0，解得x1；令f(x)0，解得0 x1.所以f(x)在x1处取得极小值，f(x)的单调递增区间为(1，)，单调递减区间为(0，1).(2)yf(x)m1在(0，)内有两个不同的零点，可转化为yf(x)与ym1图象有两个不同的交点.由(1)知，f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，)上单调递增，f(x)minf(1)1，当0 xe时，f(x)x(1ln x)e时，f(x)0.当x0且x0时，f(x)0；当x时，显然
4、f(x).由图象可知，1m10，即2m1.所以m的取值范围是(2，1).规律方法1.函数零点个数可转化为图象的交点个数，根据图象的几何直观求解.2.与函数零点有关的参数范围问题，往往利用导数研究函数的单调区间和极值点，并结合特殊点判断函数的大致图象，进而求出参数的取值范围.(1)求f(x)的单调递减区间；(2)已知函数f(x)有两个不同的零点，求实数a的取值范围.综上可得：a0时，函数f(x)的单调递减区间为(0，)，所以实数a的取值范围是(2e，).考点三函数零点的综合问题【例3】设函数f(x)e2xaln x.(2)证明由(1)，可设f(x)在(0，)上的唯一零点为x0，当x(0，x0)时
5、，f(x)0.故f(x)在(0，x0)上单调递减，在(x0，)上单调递增，所以当xx0时，f(x)取得最小值，最小值为f(x0).【训练3】(2019全国卷)已知函数f(x)2sin xxcos xx，f(x)为f(x)的导数.(1)证明：f(x)在区间(0，)存在唯一零点；(2)若x0，时，f(x)ax，求a的取值范围.(1)证明设g(x)f(x)，则g(x)cos xxsin x1，g(x)xcos x.所以f(x)在区间(0，)存在唯一零点.(2)解由题设知f()a，f()0，可得a0.由(1)知，f(x)在(0，)只有一个零点，设为x0，当x(0，x0)时，f(x)0；当x(x0，)时，f(x)0，所以f(x)在(0，x0)上单调递增，在(x0，)上单调递减.又f(0)0，f()0，所以当x0，时，f(x)0.又当a0，x0，时，ax0，故f(x)ax.因此，a的取值范围是(，0.
