1、1 矩阵的概念很简单，就是一个表格，但它的矩阵的概念很简单，就是一个表格，但它的用途却很广。用途却很广。实际问题和线性代数中许多问题都可以表示实际问题和线性代数中许多问题都可以表示成矩阵的问题。使用矩阵语言可以使许多问题变成矩阵的问题。使用矩阵语言可以使许多问题变得更清晰，解决问题的思路也变得更清楚。得更清晰，解决问题的思路也变得更清楚。现在，矩阵已成为数学中的一个最基本的概现在，矩阵已成为数学中的一个最基本的概念。念。2第2章 线性方程组 第1节 矩阵的定义1.某位商人分别从某位商人分别从 3 处购进处购进 4 种货物，他可以用种货物，他可以用一个一个 3 行行 4 列的表格列的表格来表示购
2、入货物的数量来表示购入货物的数量(或价格或金额或价格或金额)，这里，这里 aij 表示从表示从 i 处购进的处购进的 j 货物的数量货物的数量 货物货物1 货物货物2 货物货物3 货物货物4产地产地1 a11 a12 a13 a14 产地产地2 a21 a22 a23 a24 产地产地3 a31 a32 a33 a34 3第2章 线性方程组 第1节 矩阵的定义2.线性方程组线性方程组 的解取决于的解取决于系数系数 aij(i=1,m,j=1,n),常数项常数项 bi(i=1,2,m)a11 x1+a12 x2+a1n xn=b1 a21 x1+a22 x2+a2n xn=b2 am1 x1+a
3、m2 x2+amn xn=bm 对线性方程组的对线性方程组的研究可转化为对研究可转化为对这张表的研究这张表的研究.线性方程组完全由下面的表格确定线性方程组完全由下面的表格确定a11 a12 a1n b1a21 a22 a2n b2 am1 am2 amn bm 4 BA C D3.某航空公司在某航空公司在 A,B,C,D四城市之间开辟了若干航四城市之间开辟了若干航线线,如图所示表示了四城市如图所示表示了四城市间的航班图间的航班图,如果从如果从 A 到到 B 有航班有航班,则用带箭头的线连则用带箭头的线连接接 A 与与 B.第2章 线性方程组 第1节 矩阵的定义5四城市间的航班图情况常用表格来表
4、示四城市间的航班图情况常用表格来表示:发站发站 到站到站 其中其中 表示有航班表示有航班.为了便于计算为了便于计算,把表中的把表中的 改成改成 1,空白地方空白地方 填上填上 0,就得到一个数表就得到一个数表:ABCDA B C D 第2章 线性方程组 第1节 矩阵的定义6 0 0 0 0 00 0 0 这个数表反映了四城市间交通联接情况这个数表反映了四城市间交通联接情况.ABCDA B C D 11111011第2章 线性方程组 第1节 矩阵的定义7 设设 m 1,n 1,由由 m n 个数个数(有时是表达式有时是表达式)aij(i=1,2,m,j=1,2,n)排成的排成的 m 行行 n 列
5、的列的表格表格a11 a12 a1n a21 a22 a2n am1 am2 amn 称为称为 m 行行 n 列矩阵列矩阵.简称简称 m n 矩阵矩阵.记为记为 第2章 线性方程组 第1节 矩阵的定义8a11 a12 a1n a21 a22 a2n am1 am2 amn =简记为简记为 矩阵矩阵 的的(m,n)元素元素元素是实数的矩阵称为元素是实数的矩阵称为实矩阵实矩阵,元素是复数的矩阵称为元素是复数的矩阵称为复矩阵复矩阵.主对角线主对角线 副对角线副对角线 =m n=(aij)m n=(aij).aij 称为称为 矩阵的矩阵的 i 行行 j 列元素列元素,或或(i,j)元素元素.第2章 线
6、性方程组 第1节 矩阵的定义9例如例如 1 0 3 5 9 6 4 3 是一个是一个 2 4 实矩阵实矩阵,124 是一个是一个 3 3 复矩阵复矩阵,13 6 2 i 2 2 2 2 2 2 是一个是一个 3 1 矩阵矩阵,(2 3 5 9)是一个是一个 1 4 矩阵矩阵,(4)是一个是一个 1 1 矩阵矩阵(是一个数是一个数).第2章 线性方程组 第1节 矩阵的定义10几种特殊矩阵几种特殊矩阵(1)只有一行的矩阵只有一行的矩阵(1 n 矩阵矩阵)称为称为行矩阵行矩阵 或或行向量行向量.=(a1 a2 an),只有一列的矩阵只有一列的矩阵(m 1 矩阵矩阵)称为称为列矩阵列矩阵 或或列向量列
7、向量.b1b2 bm =,第2章 线性方程组 第1节 矩阵的定义11a11 a12 a1n a21 a22 a2n am1 am2 amn 记记 =称称 (ai1 ai2 ain)为为 的第的第 i 个行向量个行向量;a1ja2j amj 称称 为为 的第的第 j 个列向量个列向量.第2章 线性方程组 第1节 矩阵的定义12例如例如 是一个是一个 3 阶方阵阶方阵.(2)行数与列数都等于行数与列数都等于 n 的矩阵的矩阵，称为，称为 n 阶阶方阵方阵.也可记作也可记作 n.13 6 5 1 2 3 2 2 2 (3)元素全为零的矩阵称为元素全为零的矩阵称为零矩阵零矩阵，m n 零矩阵记作零矩阵
8、记作 m n 或或.注意注意 不同阶数的零矩阵是不相等的不同阶数的零矩阵是不相等的.例如例如 0 0 0 0 (0 0 0 0).第2章 线性方程组 第1节 矩阵的定义13 1 0 0 0 2 0 0 0 n (4)形如形如 的方阵的方阵,OO不全为不全为 0 称为称为(或或).记作记作 =diag(1,2,n).1 0 0 0 1 0 0 0 1 =n=(5)方阵方阵 称为称为 n 阶阶单位矩阵单位矩阵(或或单位阵单位阵).OO全为全为 1 第2章 线性方程组 第1节 矩阵的定义14 2.两个矩阵两个矩阵 =(aij)与与 =(bij)为同型矩阵为同型矩阵,并且对应元素相等并且对应元素相等,
9、即即则称则称矩阵矩阵 与与 相等相等,例如例如 为为同型矩阵同型矩阵.同型矩阵同型矩阵与与矩阵相等矩阵相等的概念的概念 1.两个矩阵的行数相等两个矩阵的行数相等,列数相等时列数相等时,称为称为同型矩阵同型矩阵.1 2 14 35 6 与与 8 43 7 3 9 aij=bij(i=1,2,m;j=1,2,n),记为记为 =.第2章 线性方程组 第1节 矩阵的定义15线性方程组线性方程组 a11 x1+a12 x2+a1n xn=b1 a21 x1+a22 x2+a2n xn=b2 (I)am1 x1+am2 x2+amn xn=bm 完全由矩阵完全由矩阵a11 a12 a1n b1a21 a2
10、2 a2n b2 am1 am2 amn bm确定。确定。称此矩阵为线性方程组称此矩阵为线性方程组(I)的的。第2章 线性方程组 第1节 矩阵的定义16a11 a12 a1n a21 a22 a2n am1 am2 amn =称矩阵称矩阵是线性方程组是线性方程组(I)的的。第2章 线性方程组 第1节 矩阵的定义171 2 33 1 2=,1 x 3 y 1 z=补充例补充例1 设设解解 已知已知 =,求求 x,y,z.=B,x=2,y=3,z=2.第2章 线性方程组 第1节 矩阵的定义18(1)矩阵的概念矩阵的概念 m 行行 n 列的一个列的一个数表数表 a11 a12 a1n a21 a22 a2n am1 am2 amn =第2章 线性方程组 第1节 矩阵的定义19(2)特殊矩阵特殊矩阵方阵方阵(m=n);行矩阵与列矩阵行矩阵与列矩阵;单位矩阵单位矩阵;零矩阵零矩阵.=(a1,a2,an),a1a2 an =,1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 2 0 0 0 n 第2章 线性方程组 第1节 矩阵的定义20
