1、绝对值三角不等式绝对值三角不等式思考思考1 1求下列各数的绝对值：求下列各数的绝对值：(1)3(1)3；(2)(2)8 8；(3)0.(3)0.380思考思考2 2说出下列不等式等号成立的条件：说出下列不等式等号成立的条件：(1)|(1)|a a|b b|a ab b|；(2)|(2)|a a|b b|a ab b|；(3)|(3)|a ac c|a ab b|b bc c|.|.(1)等号成立的条件是：等号成立的条件是：ab0；(2)等号成立的条件是：等号成立的条件是：ab0且且ab.(3)等号成立的条件是：等号成立的条件是：(ab)(bc)03 3含有绝对值的不等式的证明中，常常利用含有绝
2、对值的不等式的证明中，常常利用|a a|a a，|a a|a a及绝对值的和的性质及绝对值的和的性质思考思考3 3当当|a a|a a时，时，a a_；当；当|a a|a a时，时，a a(0(0，)(,0)题型一题型一 利用绝对值三角不等式证明不等式利用绝对值三角不等式证明不等式例例1 1若若|a ab b|c c，|b bc c|a a，求证：，求证：c ca a.证明：证明：由由|a ab b|c c及及|b bc c|a a得得c ca a|a ab b|b bc c|(|(a ab b)(b bc c)|)|a ac c|c ca a|.|.由由c ca a|c ca a|知知c c
3、a a0 0，故，故c ca a.2 2已知函数已知函数f f(x x)x x2 2x x1313，|x xa a|1|1，求证：，求证：|f f(x x)f f(a a)|2(|)|2(|a a|1)1)证明：证明：|f(x)f(a)|x2x13(a2a13)|x2a2xa|(xa)(xa1)|xa|xa1|xa1|xa2a1|xa|2a1|1|2a|12(|a|1)|f(x)f(a)|2(|a|1)题型二题型二 利用绝对值三角不等式求最值利用绝对值三角不等式求最值例例2 2 设设a a，b bRR且且|a ab b1|11|1，|a a2 2b b4|44|4，求求|a a|b b|的最大
4、值的最大值解析：解析：|a ab b|(|(a ab b1)1)1|1|a ab b1|1|1|11|11 12 2，|a ab b|3(|3(a ab b1)1)2(2(a a2 2b b4)4)5|3|5|3|a ab b1|1|2|2|a a2 2b b4|4|53531 12 24 45 516.16.当当abab00时，时，|a a|b b|a ab b|2|2；当当abab00)0，|a a|b b|a a|b b|a a(b b)|16.)|16.总之，恒有总之，恒有|a a|b b|16.|16.而而a a8 8，b b8 8时，时，满足满足|a ab b1|1|1 1，|a
5、a2 2b b4|4|4 4，且，且|a a|b b|16.16.因此因此|a a|b b|的最大值为的最大值为16.16.3 3求函数求函数y y|x x3|3|x x1|1|的最大值和最小值的最大值和最小值分析：分析：若把若把x3，x1看作两个实数，则所给的代数看作两个实数，则所给的代数式符合两个数绝对值的差的形式，因而可以联想到两个数式符合两个数绝对值的差的形式，因而可以联想到两个数和和(差差)的绝对值与两个数绝对值的和的绝对值与两个数绝对值的和(差差)之间的关系，进而之间的关系，进而可转化求解，另一思维是：含有这种绝对值函数式表示的可转化求解，另一思维是：含有这种绝对值函数式表示的是分段函数，所以也可以视为是分段函数求最值是分段函数，所以也可以视为是分段函数求最值解析：解析：方法一方法一|x3|x1|(x3)(x1)|4，4|x3|x1|4.ymax4，ymin4.方法二方法二把函数看作分段函数把函数看作分段函数1
