1、五章曲线与曲面1 1）点在空间作连续变换方向的）点在空间作连续变换方向的运动轨迹运动轨迹 5.5.1 1 曲线曲线曲线的形成一般有下列三种方式：曲线的形成一般有下列三种方式：2 2）一条线（直线或曲线）运动过程中的包络线）一条线（直线或曲线）运动过程中的包络线（一）（一）曲线的形成曲线的形成3 3）平面与曲面或两曲面相交的交线）平面与曲面或两曲面相交的交线必须指出必须指出：同一曲线可以由几种不同的方法形成。：同一曲线可以由几种不同的方法形成。如二次平面曲线（椭圆、双曲线、抛物线）既可看如二次平面曲线（椭圆、双曲线、抛物线）既可看成是点运动的轨迹，又可看成是平面和圆锥面的交成是点运动的轨迹，又可
2、看成是平面和圆锥面的交线。线。（一）（一）曲线的形成曲线的形成（二）（二）曲线的分类曲线的分类1 1、按、按点的运动有无点的运动有无规律，曲线可分为规律，曲线可分为规则曲线规则曲线（如圆锥曲线、螺旋线等）和（如圆锥曲线、螺旋线等）和不规则曲线不规则曲线。2 2、按、按曲线上点的分布曲线上点的分布可分为两类：可分为两类：1 1）平面曲线平面曲线曲线上所有点都在同曲线上所有点都在同 一平面上，如二次曲线、渐伸线等；一平面上，如二次曲线、渐伸线等；2 2）空间曲线空间曲线 曲线上任一连续四个点曲线上任一连续四个点 不在同一平面上，如螺旋线等。不在同一平面上，如螺旋线等。（三）（三）曲线的投影曲线的投
3、影 一般情况下，曲线至少需要一般情况下，曲线至少需要两个投影两个投影才能确才能确定出它在空间的形状和位置。定出它在空间的形状和位置。按照曲线按照曲线形成的方法形成的方法，依次求出依次求出曲线上一曲线上一系列点的各面投影，然后把各点的同面投影系列点的各面投影，然后把各点的同面投影顺顺次光滑连接次光滑连接即得该曲线的投影。即得该曲线的投影。为了提高作图准确性，应尽可能作出曲线上为了提高作图准确性，应尽可能作出曲线上特殊点特殊点（如极限位置点、分界点等）的投影，最（如极限位置点、分界点等）的投影，最好把这些特殊点以及重影点用字母标注出来。好把这些特殊点以及重影点用字母标注出来。、D D、G G均为特
4、殊点均为特殊点B B和和F F为对为对H H面重影点面重影点E E为一般点为一般点（三）（三）曲线的投影曲线的投影曲线的投影的基本性质曲线的投影的基本性质 1 1）曲线的投影）曲线的投影一般仍为曲线一般仍为曲线，只有当平面曲线所在，只有当平面曲线所在平面平行于投射线时，投影为直线。在正投影条件下，该平平面平行于投射线时，投影为直线。在正投影条件下，该平面面垂直于投影面垂直于投影面时，曲线投影为直线时，曲线投影为直线 2 2）属于曲线的点，其投影属于曲线的投影，即点与）属于曲线的点，其投影属于曲线的投影，即点与曲线的曲线的从属关系从属关系为曲线投影的为曲线投影的不变性不变性 3 3）代数曲线的投
5、影，其）代数曲线的投影，其次数不变次数不变。如二次曲线的。如二次曲线的投影仍为二次曲线投影仍为二次曲线 4 4）曲线切线的投影仍为其投影的切线）曲线切线的投影仍为其投影的切线（三）（三）曲线的投影曲线的投影反映实形反映实形退化成直线退化成直线变了形的曲线变了形的曲线（三）（三）曲线的投影曲线的投影（四）圆的投影（四）圆的投影圆是最简单的平面曲线圆是最简单的平面曲线 根据圆所在平面相对于投影面的位置不同，根据圆所在平面相对于投影面的位置不同，其正投影有如下三种情况（这里仅讨论其和两其正投影有如下三种情况（这里仅讨论其和两面投影）：面投影）：（1 1）圆所在平面为投影面平行面圆所在平面为投影面平行
6、面（2 2）圆所在平面为投影面垂直面圆所在平面为投影面垂直面（3 3）圆所在平面为一般位置平面圆所在平面为一般位置平面 当圆所在平面为投当圆所在平面为投影面平行面时，圆在所影面平行面时，圆在所平行的投影面上的投影平行的投影面上的投影反映该圆的实形。在另反映该圆的实形。在另一投影面上的投影为直一投影面上的投影为直线，线段的长度等于圆线，线段的长度等于圆的直径的直径（1 1）圆所在平面为投影面平行面圆所在平面为投影面平行面（四）圆的投影（四）圆的投影（2 2）圆所在平面为投影面垂直面圆所在平面为投影面垂直面 当圆所在的平面为投影面垂直面时，圆在所垂直的投影面上的投影当圆所在的平面为投影面垂直面时，
7、圆在所垂直的投影面上的投影为直线，线段的长度等于其直径。在另一投影面上的投影则为椭圆。为直线，线段的长度等于其直径。在另一投影面上的投影则为椭圆。（四）圆的投影（四）圆的投影（3 3）圆所在平面为一般位置平面圆所在平面为一般位置平面 当圆所在平面为一般位置平面时，圆的两个投当圆所在平面为一般位置平面时，圆的两个投影均为椭圆，但两个椭圆的长、短轴是不同的，必影均为椭圆，但两个椭圆的长、短轴是不同的，必须分别求解。须分别求解。椭圆的长轴应为平行于该投影面的直径的投影椭圆的长轴应为平行于该投影面的直径的投影 短轴应为对该投影面成为最大斜度线的直径的投影短轴应为对该投影面成为最大斜度线的直径的投影（四
8、）圆的投影（四）圆的投影 方法一：利用平面上投影面平行线及最大斜度线，方法一：利用平面上投影面平行线及最大斜度线，确定长、短轴的方向与大小确定长、短轴的方向与大小 5.2 5.2 回转曲面回转曲面 曲面曲面可以看作是一条线（直线或曲线）在空可以看作是一条线（直线或曲线）在空间作有规律或无规律的连续运动所形成的轨迹，间作有规律或无规律的连续运动所形成的轨迹，或者说曲面是运动线所有位置的集合或者说曲面是运动线所有位置的集合 如图所示曲面，如图所示曲面，是是由由AAAA沿着沿着曲线曲线ABCABC运动且在运动中始运动且在运动中始终平行于终平行于直线直线MNMN所所形成的形成的 AA AA称为母线称为
9、母线（一）（一）曲面的概述曲面的概述母线形状可以是不变的，母线形状可以是不变的，也可以是不断变化的也可以是不断变化的 母线在曲面上的任一位母线在曲面上的任一位置称为素线，无限接近置称为素线，无限接近的相邻两素线称为连续的相邻两素线称为连续两素线两素线 控制母线运动的点、线控制母线运动的点、线和面称为定点、导线和和面称为定点、导线和导面它们统称为导元素导面它们统称为导元素（一）（一）曲面的概述曲面的概述 母线由导元素控制按照一定规律运动所形成母线由导元素控制按照一定规律运动所形成的曲面称为的曲面称为规则曲面规则曲面 母线作不规则运动所形成的曲面称为母线作不规则运动所形成的曲面称为不规则曲面不规则
10、曲面 同一曲面可以由多种方法形成，一般应采同一曲面可以由多种方法形成，一般应采用用最简单的母线最简单的母线来描述曲面的形成来描述曲面的形成（一）（一）曲面的概述曲面的概述（二）（二）曲面的投影曲面的投影 只要作出能够确定曲面的几何要素的必要投影，只要作出能够确定曲面的几何要素的必要投影，就可确定一个曲面，因为就可确定一个曲面，因为母线母线和和导元素导元素给定后，形成给定后，形成的曲面将唯一确定。的曲面将唯一确定。（三）（三）曲面的分类曲面的分类 根据不同的分类标准，曲面可以有许多不同的分根据不同的分类标准，曲面可以有许多不同的分类方法。如：类方法。如：按按母线的形状母线的形状分类，曲面可分为分
11、类，曲面可分为直线面直线面和和曲线面曲线面；按按母线的运动方式母线的运动方式分类，曲面可分为分类，曲面可分为移动面移动面和和回回转面转面；按按母线在运动中是否变化母线在运动中是否变化分类，曲面可分为分类，曲面可分为定母定母线面线面和和变母线面变母线面；按按母线运动是否有规律母线运动是否有规律来分类，曲面可分为来分类，曲面可分为规则规则曲面曲面和和不规则曲面不规则曲面；按按曲面是否能无皱折地摊平在一个平面上来曲面是否能无皱折地摊平在一个平面上来分类，分类，则可分为则可分为可展曲面可展曲面和和不可展曲面不可展曲面。单叶双曲回转面单叶双曲回转面1 1单叶双曲回转面的形成单叶双曲回转面的形成 单叶双曲
12、回转面是由直母线绕与它交叉的轴线旋转而形成。单叶双曲回转面是由直母线绕与它交叉的轴线旋转而形成。2 2单叶双曲回转面的画法单叶双曲回转面的画法（1 1）画出回转轴及直导线的两面投影；画出回转轴及直导线的两面投影；（2 2）作出轮廓线顶圆和底圆的两面投影：作出轮廓线顶圆和底圆的两面投影：（3 3）作出若干素线的投影及素线的包络线。作出若干素线的投影及素线的包络线。（四）（四）直纹回转面直纹回转面 单叶双曲回转面的画法单叶双曲回转面的画法135357997111111 79 113 55 119 71 3（四）（四）直纹回转面直纹回转面 单叶双曲回转面单叶双曲回转面（四）直纹回转面（四）直纹回转面
13、 圆柱面圆柱面圆锥面圆锥面柱状面柱状面1 1柱状面的形成柱状面的形成 一直母线沿两条曲导线连续运动，同时始终平行于一导平一直母线沿两条曲导线连续运动，同时始终平行于一导平面，这样形成的曲面称为柱状面面，这样形成的曲面称为柱状面2 2柱状面的画法柱状面的画法（1 1）画出两条曲导线的两面投影；画出两条曲导线的两面投影；（2 2）作出直母线的两面投影：作出直母线的两面投影：（3 3）作出该曲面上各素线的投影及素线的包络线。作出该曲面上各素线的投影及素线的包络线。（五）（五）非回转直纹曲面非回转直纹曲面P柱状面的形成柱状面的形成导平面导平面曲导线曲导线曲导线曲导线柱状面的画法柱状面的画法柱状面管道柱
14、状面管道柱状面桥墩柱状面桥墩柱状面柱状面（五）（五）非回转直纹曲面非回转直纹曲面锥状面锥状面1 1锥状面的形成锥状面的形成 一直母线沿一直导线和曲导线连续运动，同时一直母线沿一直导线和曲导线连续运动，同时 始终平行于一导平面，这样形成的曲面称为锥状面。始终平行于一导平面，这样形成的曲面称为锥状面。2 2锥状面的画法锥状面的画法（1 1）画出一直导线和曲导线的两面投影；画出一直导线和曲导线的两面投影；（2 2）作出直母线的两面投影：作出直母线的两面投影：（3 3）作出各素线的投影及素线的包络线。作出各素线的投影及素线的包络线。锥状面的形成锥状面的形成P导平面曲导线直导线锥状面的画法锥状面的画法双
15、曲抛物面双曲抛物面1 1双曲抛物面的形成双曲抛物面的形成 一直母线沿两交叉直导线连续运动，同时始终平行于一导一直母线沿两交叉直导线连续运动，同时始终平行于一导平面，其运动轨迹称为双曲抛物面。平面，其运动轨迹称为双曲抛物面。2 2双曲抛物面的画法双曲抛物面的画法（1 1）画出两条直导线的两面投影；画出两条直导线的两面投影；（2 2）作出直母线的两面投影：作出直母线的两面投影：（3 3）作出该曲面上各素线的投影及素线的包络线。作出该曲面上各素线的投影及素线的包络线。3 3双曲抛物面的截交线双曲抛物面的截交线应用：道路边坡过渡段应用：道路边坡过渡段双曲抛物面的形成双曲抛物面的形成P P导平面导平面直
16、导线直导线直导线直导线直母线直母线双曲抛物面的画法双曲抛物面的画法（六）螺旋线和螺旋面（六）螺旋线和螺旋面1 1圆柱螺旋线的形成圆柱螺旋线的形成 当一个动点沿着一直线等速移动，而该直线同时绕与它平当一个动点沿着一直线等速移动，而该直线同时绕与它平行的一轴线等速旋转时，动点的轨迹就是一根圆柱螺旋线。行的一轴线等速旋转时，动点的轨迹就是一根圆柱螺旋线。2 2圆柱螺旋线的画法圆柱螺旋线的画法圆柱螺旋线的形成圆柱螺旋线的形成圆柱螺旋线的画法圆柱螺旋线的画法正螺旋柱状面正螺旋柱状面1 1正螺旋柱状面的形成正螺旋柱状面的形成 正螺旋柱状面的两条曲导线皆为圆柱螺旋线，连续运动的正螺旋柱状面的两条曲导线皆为圆
17、柱螺旋线，连续运动的直母线始终垂直于圆柱轴线。直母线始终垂直于圆柱轴线。2 2正螺旋柱状面的画法正螺旋柱状面的画法（1 1）画出两条曲导线（圆柱螺旋线）；）画出两条曲导线（圆柱螺旋线）；（2 2）作出直母线的两面投影；）作出直母线的两面投影；（3 3）作出该曲面上各素线的投影。）作出该曲面上各素线的投影。3 3正螺旋柱状面的应用的例子正螺旋柱状面的应用的例子正螺旋柱状面的形成正螺旋柱状面的形成正螺旋柱状面正螺旋柱状面的画法的画法正螺旋柱状面应用的例子正螺旋柱状面应用的例子螺旋扶手螺旋扶手螺旋楼梯螺旋楼梯 塔柱上的螺旋楼梯塔柱上的螺旋楼梯 正螺旋柱状面应用的例子正螺旋柱状面应用的例子应用实例：螺旋楼梯的作图应用实例：螺旋楼梯的作图本章学习结束本章学习结束
