1、 - 1 - 河北武邑中学 2019-2020 学年高三下学期期中考试 数学试题（文） 本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分共 4 页考试结束后，将答 题纸和机读卡一并交回注意事项： 1答题前，考生在答题卡上务必用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填 写清楚，请认真核准准考证号、姓名和科目 2每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮 擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效 第卷：选择题（60 分） 一. 选择题： （本卷共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求
2、的） 1.已知集合1,2A，|,Bx xab aA bA，则集合BA（ ） A1，2 B1，2,3 C1，2,4 D1，2,3,4 2.设复数z满足1 1 z i i ，则|z （ ） A1 B5 C2 D2 3已知等比数列 n a中， 3 7a ，前三项之和 3 21S ，则公比q的值为（ ） A1 B 1 2 C1 或 1 2 D 1 1 2 或 4如图是一位发烧病人的体温记录折线图，下列说法不正确的是（ ） A病人在 5 月 13 日 12 时的体温是38 B从体温上看，这个病人的病情在逐渐好 转 C病人体温在 5 月 14 日 0 时到 6 时下降最快 D病人体温在 5 月 15 日
3、18 时开始逐渐稳 定 5已知直线m、n，平面、，给出下列命题： 若m，n ，且mn，则 若/m，n/，且/mn，则/ - 2 - 若m， n/ ，且mn，则 若m，n/，且/mn，则/ 其中正确的命题是（ ） A B C D 6定义 2 1 a a 1221 2 1 baba b b ，已知 22 11 0ab， 22 22 0ab，则“ 11 22 0 ab ab ”是“直线 111 0a xb yc与直线 222 0a xb yc平行”的（ ）条件 A充分不必要 B必要不充分 C充要 D既不充分也不必要 7下列格式中正确的是（ ） A 43 tan 77 B 1317 tantan 45
4、 Ctan281tan665 Dtan4tan3 8有关数据显示，中国快递行业产生的包装垃圾在2015年约为400万吨，2016年的年增长 率为50%，有专家预测，如果不采取措施，未来包装垃圾还将以此增长率增长，从（ ） 年开始，快递业产生的包装垃圾超过4000万吨.（参考数据：lg20.3010，lg30.4771 ） A2020 B2021 C2022 D2013 9我国古代名著庄子 天下篇中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不 竭”，其意思为：一尺的木棍，每天截取一半，永远都截不完.现将该木棍依此 规律截取，如图所示的程序框图的功能就是计算截取 20 天后所剩木棍的长度 （单位：尺）
5、，则处可分别填入的是（ ） A20i ， 1 SS i ，2ii B20i ， 1 SS i ，2ii C20i ， 2 S S ，1ii D20i ， 2 S S ，1ii 10已知双曲线 22 22 1,0 xy a b ab 的两条渐近线分别与抛物线 2 4yx交于第一、四象限 的 A，B 两点，设抛物线焦点为 F，若 7 cos 9 AFB ，则双曲线的离心率为（ ） A 2 B3 C5 D2 2 - 3 - 11已知数列 n a的前n项和 n S，且 2 (1) nn San， 2 2 n a n n b S ，则数列 n b的最小项为 （ ） A第 3 项 B第 4 项 C第 5
6、项 D第 6 项 12 已知函数 2 ln2 ,0 3 ,0 2 xxx x f x xx x 的图像上有且仅有四个不同的点关于直线1y 的对 称点在 1ykx的图像上，则实数k的取值范围是（ ） A 1 ,1 2 B 1 3 , 2 4 C 1 ,1 3 D 1 ,2 2 第卷：非选择题（90 分） 二填空题： （本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13若，为锐角，且 4 ，则1 tan1 tan_； 1tan11tan21tan31tan45_. 14.若变量, x y满足约束条件 20, 0, 220, xy xy xy ，且3 , 6m，则 mx y z 仅在点 1 (
7、 1,) 2 A 处取得最大值的概率为 15天干地支纪年法，源于中国，中国自古便有十天干与十二地支.十天干：甲、乙、丙、丁、 戊、己、庚、辛、壬、癸.十二地支：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.天 干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干 由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，以此 类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支回到“子”重新 开始，即“丙子”，以此类推，已知 2016 年为丙申年，那么到改革开放 100 年时，即 2078 年为_年. 16在棱
8、长为2的正方体 1111 ABCDABC D中，E是正方形 11 BBCC的中心，M为 11 C D的 - 4 - 中点，过 1 AM的平面与直线DE垂直，则平面截正方体 1111 ABCDABC D所得的截面 面积为_. 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17-21 题为必考题， 每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共 60 分 17 （12 分）如图，在四边形 ABCD 中，A 为锐角，2cossin()3sin 6 AACC . （1）求A C； （2）设ABD、CBD的外接圆半径分别为 1, r 2
9、r，若 12 11m rrDB 恒成立，求实数 m 的 最小值. 18 （12 分）某互联网公司为了确定下一季度的前期广告投入计划，收集了近6个月广告投入 量x（单位：万元）和收益y（单位：万元）的数据如下表： 月份 1 2 3 4 5 6 广告投入量 2 4 6 8 10 12 收益 14.21 20.31 31.8 31.18 37.83 44.67 他们分别用两种模型ybxa， bx yae分别进行拟合，得到相应的回归方程并进行 残差分析，得到如图所示的残差图及一些统计量的值： x y 6 1 ii i x y 6 2 1 i i x 7 30 1464.24 364 - 5 - （）根
10、据残差图，比较模型，的拟合效果，应选择哪个模型？并说明理由； （）残差绝对值大于2的数据被认为是异常数据，需要剔除： （）剔除异常数据后求出（）中所选模型的回归方程； （）若广告投入量18x 时，该模型收益的预报值是多少？ 附：对于一组数据 11 ( ,)x y， 22 (,)xy，(,) nn xy，其回归直线y bxa $的斜率和截距 的最小二乘估计分别为： 1 2 1 ()() () n ii i n i i xxyy b xx 1 2 2 1 n ii i n i i x ynxy xnx ，xbya . 19 （12 分）如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于 ,A B的点，垂直于
11、圆所在 的平面，且1 （）若D为线段AC的中点，求证C 平面D ； （）求三棱锥PABC体积的最大值； （）若 2BC ，点E在线段PB上，求CEOE的最小 值 20 （12 分）椭圆 22 22 :1 xy E ab （0ab）的离心率是 2 2 ，点 (0,1)P 在短轴CD上， - 6 - 且 1PC PD （1）求椭圆E的方程； （2）设O为坐标原点，过点P的动直线与椭圆交于,A B两点，是否存在常数，使得 OA OBPA PB 为定值？若存在，求的值；若不存在，请说明理由 21 （12 分）已知函数 2 lnf xxxaxaR在定义域内有两个不同的极值点. （）求实数a的取值范围；
12、（）记两个极值点为 12 ,x x，且 12 xx ，求证： 12 1x x. （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第 一题计分，作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。 22.选修 44：坐标系与参数方程（10 分） 已知极坐标系的极点 O 与直角坐标系的原点重合，极轴与直角坐标系中 x 轴的正半轴重合.圆 C 的参数方程为 cos sin xaa ya （为参数，05a） ，直线 l：sin2 2 4 ，若 直线 l 与曲线 C 相交于 A，B 两点，且| 2 2AB . （1）求 a； （2）若 M，N 为曲线 C 上
13、的两点，且 3 MON ，求|OMON的范围. 23.选修 4-5：不等式选讲（10 分） 已知函数( ) |2 |2|.f xxx (1)解不等式: f(x) ax+1,求实数 a 的取值范围. - 7 - 期中考试 高三数学（文）答案 1.D 2.C 3 【答案】C 【分析】 先验证1q 合题意，1q 时， 利用等比数列的通项公式与求和公式列方程求解即可. 【详解】等比数列 n a中， 3 7a ，前三项之和 3 21S ， 若1q ， 3 7a ， 3 3 721S ，符合题意； 若1q ，则 2 1 3 1 7 1 21 1 a q aq q ， 解得 1 2 q ，即公比q的值为 1
14、 或 1 2 ，故选 C. 4 【答案】C 【分析】根据折线图，结合选项即可判断. 【详解】 由该发烧病人的体温记录折线图，可知 对于 A，病人在 5 月 13 日 12 时的体温是38，故 A 正确； 对于 B，从体温上看，这个病人的体温逐渐趋于正常，说明病情在逐渐好转，故 B 正确； 对于 C，病人体温在 5 月 13 日 6 时到 12 时下降最快，故 C 错误； 对于 D，病人体温在 5 月 15 日 18 时开始逐渐稳定，故 D 正确. 综上可知，C 为错误选项， 【点睛】本题考查了折线图的特征和简单应用. 5 【答案】D 【分析】根据空间线面关系、面面关系对各命题的正误进行判断，即
15、可得出正确选项. 【详解】 对于命题，若m，n，且mn，则，该命题正确； 对于命题，若/m，n/，且/mn，则与平行或相交，命题错误； 对于命题，若m，n/，且mn，则与平行、垂直或斜交，命题错误； 对于命题，/nQ，过直线n作平面，使得 l，则 /n l，/m n，/m l， - 8 - m，l ， l，则，命题错误. 【点睛】本题考查有关线面、面面关系命题真假的判断，可以根据空间中的线面关系、面面 关系有关定理或者利用模型来进行判断，考查推理能力. 6 【答案】B 【分析】根据两直线平行的等价条件结合充分条件和必要条件的定义进行判断，即可得出结 论. 【详解】 若直线 111 0a xb
16、yc与直线 222 0a xb yc平行，则 11 22 0 ab ab 且 11 22 0 ac ac ， 因此， “ 11 22 0 ab ab ”是“直线 111 0a xb yc与直线 222 0a xb yc平行”的必要不充分条 件. 【点睛】本题考查了充分条件、必要条件的判定方法，考查了推理能力与计算能力 7 【答案】D 【分析】利用诱导公式以及正切函数的单调性即可比较大小 【详解】 对于 A， 433 tantantan 777 ， 且 33 77 ， 由于 tanyx 在 , 2 2 单调递增，则 43 tan 77 ，故 A 错误； 对于 B， 13 tantan3 4 ta
17、n 44 ， 22 tan3ta 17 tan 555 n 又 2 452 ， tanyx在, 2 2 单调递增， 1317 tantan 45 . - 9 - 对于 C，tan281tan 36079tan79， tan665tan 72055tan55， 由于7955 ，且 tanyx 在90 ,90单调递增， tan281tan665，故 C 错误； 对于 D， 3 34 22 ， tan30,tan40 ，故 D 正确； 【点睛】本题考查了诱导公式以及正切函数的单调性，熟记诱导公式时关键. 8 【答案】B 【分析】表n示从2015年开始增加的年份的数量，由题意可得 3 4001 50%
18、4004000 2 n n ，解出满足该不等式的最小正整数n的值，即可得出 结果. 【详解】 设快递行业产生的包装垃圾为y万吨，n表示从2015年开始增加的年份的数量， 由题意可得 3 4001 50%400 2 n n y ， 由于第n年快递行业产生的包装垃圾超过4000万吨，即 3 4004000 2 n ， 3 10 2 n ， 两边取对数得 3 lg1 2 n，即 11 5.6786 3 lg3lg2 lg 2 n ， 因此，从2021年开始，快递行业产生的包装垃圾超过4000万吨， 故选：B 【点睛】本题考查了指数函数模型在实际生活中的应用，列出不等式是解题的关键，考查运 算求解能力
19、. 9 【答案】D 【分析】先由第一天剩余的情况确定循环体，再由结束条件确定循环条件即可. 【详解】 - 10 - 根据题意可知，第一天 1 2 S ，所以满足 2 S S ，不满足 1 SS i ，故排除 AB， 由框图可知，计算第二十天的剩余时，有 2 S S ，且21i ，所以循环条件应该是20i . 【点睛】本题考查了程序框图的实际应用问题，把握好循环体与循环条件是解决此题的关键. 10 【答案】B 【分析】求得双曲线的渐近线方程，联立抛物线方程，求得 A，B 的坐标，以及 F 的坐标，设 AF 的倾斜角为，由二倍角的余弦公式和同角的基本关系式，以及直线的斜率公式，双曲线 的离心率公式
20、，计算可得所求值. 【详解】 解：双曲线 22 22 1,0 xy a b ab 的两条渐近线方程为 b yx a ， 由抛物线 2 4yx和 b yx a ，联立可得 22 22 4444 , aaaa AB bbbb ， 由抛物线的方程可得(1,0)F， 设 AF 的倾斜角为，斜率为 2 2 4 tan 4 1 a b a b ， 而 222 22 222 cossin1 tan7 coscos2cossin cossin1tan9 AFB ， 解得tan 2 2 （负的舍去） ， 设 a t b ，可得 2 4 2 2 41 t t ，解得 2 2 t ， 则 2 2 13 cb e a
21、a ， 【点睛】本题考查双曲线的方程和性质，考查三角函数的恒等变换，以及化简运算能力. 11 【答案】A 【分析】由 n S与 n a的关系 1( 1) nnn aSSn 化简即可求出 n S及 n a，可得 n b，分析单调性 即可求解. 【详解】 - 11 - 1( 1) nnn aSSn , 1nnn SaS ,则 2 1 (1) n Sn ,即 2* (N ) n Sn n, 22 (1)21 n annn. 易知0 n b , 212 +1 +1 44 22 +1 nn nn bb nn ， （） , 24 4 1 4 22 () (1)1 n n bnn bnn 当 2 1 1 n
22、 n 时, 2 1n , 当13n时, 1nn bb , 当3n时, 1nn bb , 又 23 132 , 281 bb, 当3n时, n b有最小值. 【点睛】本题主要考查了数列 n S与 n a的关系，数列的单调性. 12 【答案】A 【分析】可将问题转化，求直线 1ykx关于直线1y 的对称直线，再分别讨论两函数 的增减性，结合函数图像，分析临界点，进一步确定k的取值范围即可 【详解】 可求得直线 1ykx关于直线1y 的对称直线为1ymx mk ， 当0x时， ln2f xxxx， ln1fxx，当xe时， 0fx ，则当0,xe 时， 0fx ， f x单减，当,xe时， 0fx
23、， f x单增； 当0x时， 2 3 2 f xxx， 3 2 2 fxx ，当 3 4 x ， 0fx ,当 3 4 x 时， f x 单减，当 3 0 4 x 时， f x单增； - 12 - 根据题意画出函数大致图像，如图： 当1ymx与 2 3 2 f xxx（0x）相切时，得0 ，解得 1 2 m ； 当1ymx与 ln2f xxxx（0x）相切时，满足 ln2 1 ln1 yxxx ymx mx ， 解得1,1xm，结合图像可知 1 1, 2 m ，即 1 1, 2 k ， 1 ,1 2 k 故选：A 【点睛】本题考查数形结合思想求解函数交点问题，导数研究函数增减性，找准临界是解题
24、 的关键. 13 【答案】2 23 2 【分析】 利用两角和差正切公式来构造出tantantantan1，代入1 tan1 tan 可求得结果；根据1 tan1 tan的规律可整理得到结果. 【详解】 tantan tan1 1 tantan t a nt a n1t a nt a n 即tantantantan1 1 tan1 tan1 tantantantan2 1tan11tan21tan31tan452 1tan11tan21tan31tan44 2223 2 22 故答案为：2； 23 2 - 13 - 【点睛】本题考查利用两角和差正切公式求值的问题，关键是能够通过两角和差正切公式和
25、 特殊角三角函数值构造出所求式子的构成部分. 14.【答案】 9 1 15 【答案】戊戌 【分析】由题意可得数列天干是以 10 为公差的等差数列，地支是以 12 为公差的等差数列， 以 2017 年的天干和地支分别为首项，即可求解 【详解】 由题意，可得数列天干是以 10 为公差的等差数列，地支是以 12 为公差的等差数列， 从 2017 年到 2078 年经过了 61 年， 且 2017 年为丁茜年， 以 2017 年的天干和地支分别为首项， 则61 106余1，则 2078 年的天干为戊，61 125余1，则 2078 年的天干为戌， 所以 2078 年为戊戌年 【点睛】 本题主要考查了等
26、差数列的实际应用问题，其中解答中得出数列天干是以 10 为公差的等差数 列，地支是以 12 为公差的等差数列，以 2017 年的天干和地支分别为首项，利用等差数列求 解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力 16 【答案】2 6 【分析】确定平面 1 AMCN即为平面，四边形 1 AMCN是菱形，计算面积得到答案. 【详解】 如图，在正方体 1111 ABCDABC D中，记AB的中点为N，连接 1 ,MC CN NA， 则平面 1 AMCN即为平面证明如下： 由正方体的性质可知， 1 AMNC，则 1 A，,M CN N四点共面， 记 1 CC的中点为F，连接DF，易证DF MC连
27、接EF，则EFMC， 所以MC 平面DEF，则DEMC 同理可证，DENC，NCMCC，则DE 平面 1 AMCN， 所以平面 1 AMCN即平面， 且四边形 1 AMCN即平面截正方体 1111 ABCDABC D所得的 - 14 - 截面 因为正方体的棱长为2，易知四边形 1 AMCN是菱形， 其对角线 1 2 3AC ， 2 2MN ，所以其面积 1 2 22 32 6 2 S 故答案为：2 6 【点睛】本题考查了正方体的截面面积，意在考查学生的空间想象能力和计算能力. 17 【答案】 （1） 2 3 （2）2 3 【分析】(1)根据三角函数的和差角公式与三角函数值求解即可. (2)根据
28、正弦定理参变分离,再利用A的取值范围求解 【详解】 （1）由题, 2cossin()AAC 33 sin()sin()sin(2)sinsincos 22 AACAACACCCC ,即 13 sin(2)sincos 22 ACCC sin(2)sin 3 ACC ,因为2 3 ACC .故 2 3 ACC . 所以 2 2 33 ACCAC . （2） 12 2sin2sin BDBD mAC rr 2 2sin2sin 3 AA - 15 - 31 2sin2cos2sin 22 AAA 3sin3cosAA 2 3sin 6 A ,因为 0, 2 A ,故当 62 A 时2 3sin 6
29、 A 有最大值2 3 所以2 3m ,即实数 m 的最小值为2 3 【点睛】 本题主要考查了三角恒等变换的运用以及正弦定理与根据角度范围求解三角函数范围的问题, 属于中等题型. 18 【答案】 （1）应该选择模型，理由见解析（2） （） 38.04yx （）62.04 【分析】 （1）结合题意可知模型残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，即可。 （2） （i）利用回 归直线参数计算方法，分别得到 , a b ，建立方程，即可。 （ii）把8x 代入回归方程，计算结 果，即可。 【详解】 （）应该选择模型，因为模型残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明模 型拟合精度越高，回归方程的预报精度越
30、高. （） （）剔除异常数据，即月份为3的数据后，得 1 7 667.2 5 x ； 1 30 631.829.64 5 y . 5 1 1464.246 31.81273.44 ii i x y ； 5 2 2 1 3646328 i i x . 5 1 5 22 1 ii i i i x ynxy b xnx 1273.445 7.2 29.64 3285 7.2 7.2 206.4 3 68.8 ； 29.643 7.28.04 a ybx ， 所以y关于x的线性回归方程为：38.04 y x. - 16 - （）把18x 代入回归方程得：3 188.046 . 2 04y ， 故预报值
31、约为62.04万元. 【点睛】本道题考查了回归方程的计算方法。 19 【答案】 （）详见解析； （） 1 3 ； （） 26 2 【解析】 【详解】 （）在C中，因为C，D为C的中点， 所以CD 又垂直于圆所在的平面，所以C 因为D，所以C 平面D （）因为点C在圆上， 所以当C时，C到的距离最大，且最大值为1 又2 ，所以C面积的最大值为 1 2 11 2 又因为三棱锥C的高1，故三棱锥C体积的最大值为 11 1 1 33 （）在中，1，90 ，所以 22 112 同理 C2 ，所以CC 在三棱锥C中，将侧面C 绕旋转至平面C ，使之与平面共面，如图 所示 当，C共线时，C取得最小值 又因为
32、，CC，所以C 垂直平分， 即为中点从而 2626 222 CC ， 亦即C的最小值为 26 2 - 17 - 考点：1、直线和平面垂直的判定；2、三棱锥体积 20 【答案】 （1） 22 1 42 xy ； （2）见解析. 【详解】 （1）由已知，点 C，D 的坐标分别为（0，b） ， （0，b） 又点 P 的坐标为（0，1） ，且PC PD 1 于是 2 222 11 2 2 b c a abc ，解得 a2，b 2 所以椭圆 E 方程为 22 1 42 xy . （2）当直线 AB 斜率存在时，设直线 AB 的方程为 ykx1 A，B 的坐标分别为（x1，y1） ， （x2，y2） 联立
33、 22 1 4 2 1 xy ykx ，得（2k21）x24kx20 其判别式 （4k）28（2k21）0 所以 1212 22 42 , 2121 k xxx x kk 从而OA OB PA PB x1x2y1y2x1x2（y11） （y21） （1） （1k2）x1x2k（x1x2）1 2 2 ( 24)( 21) 21 k k - 18 - 所以，当 1 时，3， 此时，OA OB PA PB 3 为定值. 当直线 AB 斜率不存在时，直线 AB 即为直线 CD 此时OA OB PA PBOC ODPC PD 213 故存在常数 1，使得OA OB PA PB 为定值3. 考点：本题主要
34、考查椭圆的标准方程、直线方程、平面向量等基础知识，考查推理论证能力、 运算求解能力，考查数形结合、化归与转化、特殊与一般、分类与整合等数学思想. 21 【分析】 （）由题意，方程 ( ) 0fx 在0,有两个不同根,即方程1 ln20xax有两个不同 根；解法 1：转化为函数( )lng xx与函数21yax的图象在0,上有两个不同交点， 解法 2：转化为函数 1ln ( ) x g x x 与函数2ya的图象在0,上有两个不同交点；解法 3；求出 fx ，讨论a的取值范围，求出函数 f x的单调区间即可求解. （）由（） 知： 由 （） 知：1 2 ,x x是1 ln 20xax的两个根，
35、12 22 12 lnln 1 ln202 = xx xaxa xx ， 然后利用分析法要证 12 1x x ，只需证: 12 lnln0xx，从而可得 12 1212 lnln2xx xxxx ， 进而可得 1 2 1 1 2 2 21 ln 1 x xx x x x ，令 1 2 x t x ，换元转化为函数，利用函数的最值即可证出. 【详解】 （）由题意，方程 ( ) 0fx 在0,有两个不同根,即方程1 ln20xax有两个不同 根； 解法 1：转化为函数( )lng xx与函数21yax的图象在0,上有两个不同交点， - 19 - 令 00 0 11 ()2 2 g xax xa ,
36、 故( )g x在 11 (,ln() 22aa 处的切线方程为： 111 ln()() 222 yx aaa 代入点0, 1有： 11111 1 ln()(0)ln()0121 22222 a aaaaa 可得： 1 20,10, 2 aa 解法 2：转化为函数 1ln ( ) x g x x 与函数2ya的图象在0,上有两个不同交点 2 ln ( )(0) x g xx x ，故0,1x时， ( ) 0;g x 1,x时， ( ) 0;g x 故( )g x在0,1上单增，在( ) 1+，上单减， max ( )(1)1g xg 又 1 ( )0g e ，故 1 (0, )x e 时，(
37、)0;g x 1 ( ,)x e 时，( )0;g x 可得： 1 20,10, 2 aa 解法 3： 1 2 (0)fxa x x 20a时， 0fx ， 故 f x在0 +，上单增， 故 =fx0在0 +，最多只有一个实根，不合题意； 20a时，令 1 00; 2 fxx a ， 令 1 0,; 2 fxx a 故 fx在 1 0 2a ，上单增，在 1 , 2a 上单减； 故 max 1 1 ln(2 ) 1ln(2 )020,1 2 fxfaaa a 当20,1a时， 11 20, lim x fafx ee ， 故 fx在0 +，上有两个不相等的实根，故 1 0, 2 a - 20
38、- （）由（）知： 12 ,x x是1 ln 20xax的两个根， 故 12 1122 12 lnln 1 ln201 ln202 = xx xaxxaxa xx ， 要证： 12 1x x ，只需证： 12 lnln0xx， 即证： 12 2-1 + 2-10axax 即证： 12 22a xx，即证： 12 1212 lnln2xx xxxx 又 12 0,xx 故上式为： 1 122 1 1 212 2 21 2 ln( ) 1 x xxxx x xxx x 令 2 1 22 2 21114 0,1 , ( )ln,( )0 1 11 ttx th tth t xtt tt t 故 h
39、t在0,1上单增，故( )(1)0,h th 故( )式成立，即证. 【点睛】 本题考查了由函数的极值点个数求参数的取值范围、利用导数证明不等式、分析法，考查了 转化与化归的思想 22 【答案】 （1）2a（2）2 3,4 3 【解析】 【分析】 （1）消去参数得到圆 C 的普通方程，利用cosx，siny代入，得到直线 l 的普通 方程，求解圆心到直线距离，结合| 2 2AB ，即得解； （2）先求解圆 C 的极坐标方程，4cos，设 11 ,M ， 21 , 3 N ， 12 |OMON，代入即得解. 【详解】 （1）由 cos sin xaa ya ，得 cos sin xaa ya ，
40、 - 21 - 圆 C 的普通方程为 222 ()xaya.可得圆心为,0a，半径ra. sinsincoscossin2 2 444 ， 把cosx，siny代入， 得直线 l 的普通方程为40xy. 圆心到直线的距离 |4| 2 a d ， 22 | 22 2ABrd ， 即 2 2 (4) 2 2 a a ，得2a，或10a ， 05a， 2a. （2）由（1）得，圆 C 的普通方程为 22 (2)4xy. 把cosx，siny代入，得 22 ( cos2)( sin )4， 化简，得圆 C 的极坐标方程为4cos. 依题意，设 11 ,M ， 21 , 3 N ， 1 , 2 6 . 1211111 |4cos4cos6cos2 3sin4 3cos 36 OMON |OMON 的范围是2 3,4 3 . 【点睛】本题考查了参数方程，极坐标与普通方程转化，极坐标几何意义的应用，考查了学 生转化划归，数学运算的能力. 23 【答案】 （1） 7 1, 3 （2） 3 3 2 a 【分析】 （1）分类讨论法去绝对值解不等式即可； （2）画出函数 f x的图象, 1
