1、第一章乘法公式與多項式l乘法公式l多項式與四則運算和的平方公式差的平方公式平方差公式三數和的平方公式乘法公式乘法公式過年有沒有吃太飽而沒動腦現在來動一下已經生鏽的腦子吧動腦一：有沒有辦法快速算出下列的計算題1.95 x 95=?2.40.7 x 39.3=?3.504 x 504=?回單元選單乘法公式乘法公式有點疑問 說：為什麼要學這個？很厲害的北鼻 說：因為可以讓複雜的計算變的很EASY阿_有點疑問 說：那一定很難Orz很厲害的北鼻 說：超簡單的拉比你想的簡單一萬倍回單元選單主題一：乘法對加法的分配律主題一：乘法對加法的分配律乘法公式乘法公式熱身知識一aa邊長為a的正方形面積表示為2a回單元
2、選單乘法公式乘法公式熱身知識二ab長方形的寬為b，長為a則面積表示為ab或ba（因為乘法有 律 ）交換回主題一乘法公式乘法公式練習：右圖長方形面積要如何表示2ab=2b+ab2bab回主題一乘法公式乘法公式聰明的你，再問你兩個問題問題一：a(b+c)=?abca(b+c)=ab+acabac這就是乘法的分配律乘法的分配律回主題一乘法公式乘法公式問題二：兩個長為a，寬為b的長方形面積該如何表示？bbaa2 x(ab)=2ab2a=2a x b=2ab回主題一乘法公式乘法公式隨堂練習aabaaba面積 X（）aab2aab回主題一乘法公式乘法公式動腦時間問題一如果a、b所代表的數為負數時，那麼ab
3、=ba成立嗎？會成立因為正負數不影響乘法的交換律EX:2 x(-1)=(-1)x 2=-2回主題一乘法公式乘法公式動腦時間問題二如果a、b、c所代表的數為負數時，那麼a(b+c)=ab+ac成立嗎？會成立因為正負數不影響乘法的分配律EX:-2 x(1+3)=(-2)x 1+(-2)x 3 =-8 回主題一乘法公式乘法公式活動來也用圖觀察(a+b)(c+d)=abcdacbcadbdac+ad+bc+bd回主題一乘法公式乘法公式想一想：如果a、b、c、d之中有負數時(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd是否會成立呢？會成立原因請看下一頁回主題一乘法公式乘法公式(a+b)c+d=(a+b)c
4、+(a+b)d=c(a+b)+d(a+b)=ca+cb+da+db=ac+ad+bc+bd箭頭即表示乘法的分配律，之前也討論過此問題，而我們知道負數不會影響此結果，所以負數也不影響這個結果。回主題一乘法公式乘法公式517231100)5172)(31100(513172315110072100例題1利用(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd，計算下列各式(1)151242072001517244(2)9.9 x 20.2=10+(-0.1)(20+0.2)=10 x20+10 x0.2+(-0.1)x20+(-0.1)x0.2=200+2-2-0.02=199.98回主題一乘法公式乘法公
5、式換你們表現了隨堂練習12155124(1)(2)5.191.10 回主題一乘法公式乘法公式主題二：乘法公式主題二：乘法公式和的平方公式差的平方公式平方差公式三數和的平方公式回單元選單乘法公式乘法公式思考：如果不把1012直接計算，則可以用什麼比較方便的作法呢？畫個圖看看10011100可以變成1002、100、100、110021001001回主題二選單乘法公式乘法公式使用同樣的方法用圖來表示(a+b)2ababa2ababb2=(a+b)2=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2回主題二選單回和的乘法公式乘法公式乘法公式由剛剛的結果我們得到 (a+b)2a2+2ab+b2此公式稱為 如
6、果使用 箭頭的方法 會得到(a+b)(a+b)=a2+ab+ba+b2=a2+2ab+b2由上式知道，a、b其中為負數時也成立=a(a+b)+b(a+b)=(a+b)a+(a+b)b回主題二選單回和的乘法公式乘法公式乘法公式例題2如果將和的平方公式中的a、b分別用x、y代入，可以寫成什麼樣的式子呢？解：和的平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2(x+y)2=x2+2xy+y2回主題二選單回和的乘法公式乘法公式乘法公式2)5110(例題3利用和的平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2計算下列各式(1)5042=(500+4)2=5002 +2x500 x4+42=250000 +4000+1
7、6=254016將a看成500，b看成4(2)(20.3)2=(20+0.3)2=202 +2x20 x0.3+(0.3)2=400 +12+0.09=412.09將a看成20，b看成0.3(3)=將a看成10，b看成2)5110(22)51(5110210251410025110451回主題二選單回和的乘法公式乘法公式乘法公式動動腦計算5042時，若不拆成(500+4)2來算，而拆成其他兩數的和（例如(304+200)2）來算，結果一樣嗎？你認為哪一種拆法比較好？回主題二選單回和的乘法公式乘法公式乘法公式換你們表現了隨堂練習2)4120(1.利用和的平方公式計算下列各式2.想想看下面等式是否
8、正確？如有誤，請寫 出正確等式(1)(2)(3)6012 (5.2)2 (1)222)21(10)2110(2)(p+q)2=p2+q2(3)(6+7)2=62+2x6x7+72(4)(m+n)2=m2+2xmxn+n2回主題二選單回和的乘法公式乘法公式乘法公式思考：根據之前和的平方公式，我們採用了面積和的方式來導出。想想看，是否可以用類似的方法將(a-b)2=a2-2ab+b2aaa-bbba-ba2-ab-ab+b2=a2-2ab+b2=(a-b)2 藍色面積=回主題二選單乘法公式乘法公式如果用乘法分配律來看（就是箭頭方法）(a-b)x(a-b)=(a-b)a-(a-b)b=a(a-b)-
9、b(a-b)=a2-ab-ba+b2=a2-2ab+b2=(a+b)2=a2-2ab+b2差的平方公式差的平方公式回主題二選單回差的乘法公式乘法公式乘法公式例題4如果將差的平方公式中的a、b分別用x、y代入，可以寫成什麼樣的式子呢？解：差的平方公式(a-b)2=a2-2ab+b2(x-y)2=x2-2xy+y2回主題二選單回差的乘法公式乘法公式乘法公式2)4311(例題5利用差的平方公式(a-b)2=a2-2ab+b2計算下列各式(1)1992=(200-1)2=2002 -2x200 x1+12=40000 -400+1=39601將a看成200，b看成1(2)(29.8)2=(30-0.2
10、)2=302 -2x30 x0.2+(0.2)2=900 -12+0.04=888.04將a看成30，b看成0.2(3)=將a看成12，b看成2)4112(22)41(4112212161614416113841回主題二選單回差的乘法公式乘法公式乘法公式動動腦計算1992時，若不拆成(200-1)2來算，而拆成其他兩數的和（例如(300-101)2）來算，結果一樣嗎？你認為哪一種拆法比較好？回主題二選單回差的乘法公式乘法公式乘法公式換你們表現了隨堂練習2)549(1.利用差的平方公式計算下列各式(1)(2)(3)4992 9982 2.想想看下面等式是否正確？如有誤，請寫 出正確等式(1)(7
11、-2)2=72-22 (2)(p-q)2=p2-q2(2)(8-4)2=82-2x8x4+42 (4)(m-n)2=m2-2mn+n2(5)(9-3)2=92-2x9x3-32 (6)(h-k)2=h2-2hk-k2回主題二選單回差的乘法公式乘法公式乘法公式注意囉！注意囉！和的平方公式是(a+b)2而不是a2+b2喔差的平方公式是(a-b)2而不是a2-b2喔搞錯的罰寫100次回主題二選單回差的乘法公式乘法公式乘法公式觀察一下藍色面積的變化aabba2-b2a-ba-baa-bba+b=(a+b)(a-b)回主題二選單乘法公式乘法公式如果用乘法分配律來看（就是箭頭方法）(a-b)x(a+b)=
12、(a-b)a+(a-b)b=a(a-b)+b(a-b)=a2-ab+ba-b2=a2-b2=(a+b)(a-b)=a2-b2平方差公式平方差公式回主題二選單回平方差的公式乘法公式乘法公式再來複習一次和的平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2差的平方公式(a-b)2=a2-2ab+b2平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2很簡單的，你記起來了嗎？回主題二選單回平方差的公式乘法公式乘法公式例題6如果將平方差公式中的a、b分別用x、y代入，可以寫成什麼樣的式子呢？解：平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2(x+y)(x-y)=x2-y2回主題二選單回平方差的公式乘法公式乘法公式例題7利用平
13、方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2計算下列各式(1)203x197=(200+3)(200-3)=2002 -32=40000-9=39991將a看成200，b看成376897190(2)=將a看成90，b看成)7190)(7190(22)71(90 49181004948809971(3)40.7x39.3=(40+0.7)(40-0.7)=402 -(0.7)2=1600 0.49=1599.51將a看成40，b看成0.7回主題二選單回平方差的公式乘法公式乘法公式動動腦計算203x197時，若不拆成(200+3)(200-3)來算，可以找到其他兩個相加為203、相減為197的數嗎？試
14、著用學過的二元一次聯立方程式去算算看吧回主題二選單回平方差的公式乘法公式乘法公式換你們表現了隨堂練習43744175利用平方差公式計算下列各式(1)(2)(3)301x299 10.5x9.5回主題二選單回平方差的公式乘法公式乘法公式由剛剛的練習，我們使用的都是(a+b)(a-b)得到a2-b2的結果來運算。我們也可以從相反的方向來簡化我們的算式 a2-b2=(a+b)(a-b)回主題二選單回平方差的公式乘法公式乘法公式例題8利用和的平方公式 a2-b2=(a+b)(a-b)計算下列各式=201x1=(101+100)(101-100)(1)1012-1002=201將a看成101，b看成10
15、0=338x100=(219+119)(219-119)(2)2192-1192=33800將a看成219，b看成119回主題二選單回平方差的公式乘法公式乘法公式換你們表現了隨堂練習利用a2-b2=(a+b)(a-b)計算下列各式(1)(2)642-362 9972-9962回主題二選單回平方差的公式乘法公式乘法公式我們之前已經學過和的平方公式現在是否能用圖面積的方式來求出(a+b+c)2的公式aabbcca2+2ab+b2a2b2ababacacbcbcc2+2ac+2bc+c2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=(a+b+c)2回主題二選單乘法公式乘法公式使用乘法分配律來看(箭頭方
16、法)(a+b+c)2=(a+b+c)(a+b+c)=(a+b+c)a+(a+b+c)b+(a+b+c)c=a(a+b+c)+b(a+b+c)+c(a+b+c)=a2+ab+ac+ba+b2+bc+ca+cb+c2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac 三數和的平方公式三數和的平方公式回主題二選單回三數平方和的公式乘法公式乘法公式例題9乘開化簡(x+y+1)2(x+y+1)2=(x+y+1)(x+y+1)=x(x+y+1)+y(x+y+1)+1(x+y+1)=x2+xy+x+yx+y2+y+x+y+12=x2+y2+1+2xy+2x
17、+2y利用(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac代入將a看成x、b看成y、c看成1=(x+y+1)2=x2+y2+12+2xy+2y+2x回主題二選單回三數平方和的公式乘法公式乘法公式換你們表現了隨堂練習乘開化簡下列各式(1)(2)(a+b+2)2 (2x+y+1)2回主題二選單乘法公式乘法公式例題10利用(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac計算下列各式的值(1)252+402+352+2x25x40+2x40 x35+2x25x35=(25+40+35)2=1002=10000(2)1992+1192+(-18)2+2x199x119+2x119x(
18、-18)+2x199x(-18)=199+119+(-18)2=3002=90000其實複雜的計算也可以很簡單.回主題二選單乘法公式乘法公式換你們表現了隨堂練習利用(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac計算下列各式的值(1)1522+262+722+2x152x26+2x26x72+2x152x72(2)(-257)2+992+(-42)2 +2x(-257)x99+2x99x(-42)+2x(-257)x(-42)回主題二選單回三數平方和的公式乘法公式乘法公式重點整理1.乘法對加法的分配律乘法對加法的分配律(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd2.和的平方公式和的平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac3.差的平方公式差的平方公式(a-b)2=a2-2ab+b24.平方差公式平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2要熟記喔！回主題二選單回三數平方和的公式
