1、高中高中数学人教数学人教A版版选修选修23第第3章章 统计案例统计案例 四川省成都市新都一中四川省成都市新都一中 肖肖 宏宏No.1 middle school，my love！有关法律规定有关法律规定:香烟盒上必须印上香烟盒上必须印上“吸烟有害吸烟有害健康健康”的警示语，那么吸烟和健康之间有因果的警示语，那么吸烟和健康之间有因果关系吗关系吗?每一个吸烟者的健康问题都是由吸烟每一个吸烟者的健康问题都是由吸烟引起的吗引起的吗?你认为你认为“健康问题不一定是由吸烟健康问题不一定是由吸烟引起的，所以可以吸烟引起的，所以可以吸烟”的说法对吗的说法对吗?要回答要回答这个问题，我们先一起来学习本节的知识吧
2、这个问题，我们先一起来学习本节的知识吧!No.1 middle school，my love！第第2课时课时回归分析的初步应用回归分析的初步应用No.1 middle school，my love！No.1 middle school，my love！问题问题2:在回归分析中，通过模型计算预测变在回归分析中，通过模型计算预测变量的值时，应注意的问题量的值时，应注意的问题(1)回归方程只适用于我们回归方程只适用于我们所研究的样本的所研究的样本的总体总体;(2)我们所建立的回归方程一般都有我们所建立的回归方程一般都有时间性时间性;(3)样本取值的范围会影响回归方程的样本取值的范围会影响回归方程的适
3、用适用范围范围;(4)不能期望回归方程得到的预测值就是预测不能期望回归方程得到的预测值就是预测变量的变量的精确值精确值.问题问题3:几种能转化为线性回归模型的非线性几种能转化为线性回归模型的非线性回归模型回归模型(1)幂函数曲线幂函数曲线yaxb.作变换作变换uln y，vln x，cln a，得线性函，得线性函数数ucbv.(2)指数曲线指数曲线yaebx.作变换作变换uln y，cln a，得线性函数得线性函数ucbx.No.1 middle school，my love！No.1 middle school，my love！问题问题4:非线性回归问题进行回归分析的方法非线性回归问题进行回
4、归分析的方法(1)若问题中已给出经验公式，这时可以将解若问题中已给出经验公式，这时可以将解释变量进行释变量进行交换交换(换元换元)，将变量的，将变量的非非线性关系线性关系转化为转化为线性线性关系，将问题化关系，将问题化为为线性回归分析线性回归分析问题来解决问题来解决.No.1 middle school，my love！(2)若问题中没有给出经验公式，需要我们画若问题中没有给出经验公式，需要我们画出已知数据的出已知数据的散点图散点图，通过与各种函数，通过与各种函数(如指数函数、对数函数、幂函数等如指数函数、对数函数、幂函数等)的图象的图象作比较作比较，选择一种与这些散点拟合得最好，选择一种与这
5、些散点拟合得最好的函数，然后采用适当的的函数，然后采用适当的变量交换变量交换，将，将问题化为问题化为线性回归分析线性回归分析问题来解决问题来解决.No.1 middle school，my love！No.1 middle school，my love！一般情况下，在尚未断定两个变量之间是一般情况下，在尚未断定两个变量之间是否具有线性相关关系的情况下，应先进行否具有线性相关关系的情况下，应先进行相关性检验，在确认其具有线性相关关系相关性检验，在确认其具有线性相关关系后，再求其回归方程后，再求其回归方程;由部分数据得到的回由部分数据得到的回归方程，可以对两个变量间的线性相关关归方程，可以对两个变
6、量间的线性相关关系进行估计，这实际上是将非确定性的相系进行估计，这实际上是将非确定性的相关关系问题转化成确定性的函数关系问题关关系问题转化成确定性的函数关系问题进行研究进行研究.由于回归方程将部分观测值所反由于回归方程将部分观测值所反映的规律进行了延伸，它在情况预测、资映的规律进行了延伸，它在情况预测、资料补充等方面有着广泛的应用料补充等方面有着广泛的应用.No.1 middle school，my love！一、一、根据回归方程，对结果进行分析或预测根据回归方程，对结果进行分析或预测 炼钢是一个氧化降碳的过程，钢水含碳量的多少直炼钢是一个氧化降碳的过程，钢水含碳量的多少直接影响冶炼时间的长短
7、，必须掌握钢水含碳量和冶接影响冶炼时间的长短，必须掌握钢水含碳量和冶炼时间的关系炼时间的关系.如果已测得炉料熔化完毕时，钢水的如果已测得炉料熔化完毕时，钢水的含碳量含碳量x与冶炼时间与冶炼时间y(从炉料熔化完毕到出钢的时间从炉料熔化完毕到出钢的时间)的一组数据，如下表的一组数据，如下表:(1)作出散点图，你能从散点图中发现含碳量作出散点图，你能从散点图中发现含碳量x与冶炼与冶炼时间时间y的关系吗的关系吗?(2)求回归方程求回归方程.(3)预测当钢水含碳量为预测当钢水含碳量为160时，应冶炼多长时间时，应冶炼多长时间?No.1 middle school，my love！【方法指导】【方法指导】
8、求回归方程前先画散点图，由散求回归方程前先画散点图，由散点图判断点图判断y与与x是否线性相关，若线性相关，根是否线性相关，若线性相关，根据公式求回归系数据公式求回归系数b，a，得到回归方程，并根，得到回归方程，并根据回归方程进行预测据回归方程进行预测.【解析】【解析】(1)以以x轴表示含碳量，轴表示含碳量，y轴表示冶炼轴表示冶炼时间，可作散点图如图时间，可作散点图如图.No.1 middle school，my love！从从图中可以看出，各点散布在一条直线附近，图中可以看出，各点散布在一条直线附近，即含碳量与冶炼时间线性相关即含碳量与冶炼时间线性相关.(2)根据表中数据及根据表中数据及b，a
9、的计算公式得的计算公式得 b1.267，a30.51.故所求的回归方程为故所求的回归方程为y30.511.267x.(3)当当x160时，时，y30.511.267160172 min，即大约冶炼即大约冶炼172 min.No.1 middle school，my love！【小结】【小结】解此类题的一般步骤解此类题的一般步骤:作散点图或作散点图或计算相关系数计算相关系数r，判断是否线性相关，判断是否线性相关;求求b，a，写出回归方程，写出回归方程ybxa;根据回归方程进根据回归方程进行预测行预测.No.1 middle school，my love！二、二、已知已知模拟函数求其解析式模拟函数
10、求其解析式 某地今年上半年患某种传染病的人数某地今年上半年患某种传染病的人数y与月份与月份x之间满足的函数关系模型为之间满足的函数关系模型为yaebx，试确定这，试确定这个函数的解析式个函数的解析式.【方法指导】函数模型为指数型函数，可将其【方法指导】函数模型为指数型函数，可将其转化为线性函数，从而求出函数的解析式转化为线性函数，从而求出函数的解析式.No.1 middle school，my love！No.1 middle school，my love！No.1 middle school，my love！三、三、可可线性化的非线性回归问题线性化的非线性回归问题 在一个化学反应中，某化学物
11、质的反应速度在一个化学反应中，某化学物质的反应速度y(单位单位:g/min)与一种催化剂的量与一种催化剂的量x(单位单位:g)有关，有关，现收集了现收集了8组数据如下表，试建立组数据如下表，试建立y与与x之间的之间的回归方程回归方程.No.1 middle school，my love！【方法指导】解答本题可先由表中数据作出散【方法指导】解答本题可先由表中数据作出散点图，并通过散点图来分析两个变量间的关系点图，并通过散点图来分析两个变量间的关系;若两个变量间的关系是非线性关系，则要结若两个变量间的关系是非线性关系，则要结合函数模型来选择函数，然后利用变量代换化合函数模型来选择函数，然后利用变量
12、代换化为直线型，从而解决问题为直线型，从而解决问题.No.1 middle school，my love！【解析】【解析】根据收集的数据作散点图如下图根据收集的数据作散点图如下图:根据样本点分布情况，可选用两种曲线模型来根据样本点分布情况，可选用两种曲线模型来拟合拟合.No.1 middle school，my love！(1)可以认为样本点集中在某二次曲线可以认为样本点集中在某二次曲线yc2c1x2的附近的附近.令令tx2，则变换后样本点应该分布，则变换后样本点应该分布在直线在直线yabt(bc1，ac2)的附近的附近.由题意，得变换后由题意，得变换后t与与y的样本数据表如下的样本数据表如下
13、:No.1 middle school，my love！作出作出y与与t的散点图如下图的散点图如下图:由由y与与t的散点图可观察的散点图可观察到到样本样本数据点并不分布在数据点并不分布在一一条条直线的周围，因此直线的周围，因此不宜不宜用用线性回归方程线性回归方程yabt来来拟合，即不宜用二次拟合，即不宜用二次曲曲线线yc2c1x2来拟合来拟合y与与x之间之间的关系的关系.No.1 middle school，my love！No.1 middle school，my love！作出作出z与与x的散点图如下图的散点图如下图:由散点图可观察到样本数据点大致在一条直线由散点图可观察到样本数据点大致在
14、一条直线上，所以可用线性回归方程拟合上，所以可用线性回归方程拟合.由由z与与x的数据表，得到线性回归方程，的数据表，得到线性回归方程，z0.84850.1812x，所以非线性回归方程为所以非线性回归方程为 ye0.8485e0.1812x，因此，该化学物质的反应速度因此，该化学物质的反应速度y与催化剂的量与催化剂的量x的回归方程为的回归方程为ye0.8485e0.1812x.No.1 middle school，my love！1.某种产品的广告费支出某种产品的广告费支出x(单位单位:万元万元)与销售与销售额额y(单位单位:万元万元)之间有如表所示的数据之间有如表所示的数据:(1)画出散点图画
15、出散点图;(2)求求y关于关于x的回归方程，并对广告支出费用的回归方程，并对广告支出费用x10万元时，销售额万元时，销售额y进行预测进行预测.No.1 middle school，my love！【解析】【解析】(1)散点图如图所示散点图如图所示:(2)由已知数据制成下表由已知数据制成下表:设设y关于关于x的回归方程为的回归方程为ybxa，No.1 middle school，my love！No.1 middle school，my love！No.1 middle school，my love！No.1 middle school，my love！No.1 middle school，my
16、 love！3.如下表所示，某地区一段时间内观察到的大如下表所示，某地区一段时间内观察到的大于或等于某震级于或等于某震级x的地震次数为的地震次数为N，试建立，试建立N对对x的回归方程，并表述二者之间的关系的回归方程，并表述二者之间的关系.No.1 middle school，my love！【解析】由表中的数据画得散点图如图【解析】由表中的数据画得散点图如图:从从散点图中可以看出散点图中可以看出，震级震级x与大于或等于该与大于或等于该震震级级的地震次数的地震次数N之间之间呈现呈现出出一种非线性的相关性一种非线性的相关性，随着随着x的减少，所考察的减少，所考察的的地震地震数数N近似以指数的近似以
17、指数的形形式式增长增长.于是令于是令ylg N.No.1 middle school，my love！得到得到的数据如下表所示的数据如下表所示.No.1 middle school，my love！x和和y的散点图如图的散点图如图:从散点图中可以看出从散点图中可以看出x和和y之间有很强的之间有很强的线性线性相关性相关性，因此由最小，因此由最小二二乘法乘法，得，得a6.701，b0.740，故线性，故线性回回归归方程为方程为y6.7010.740 x.因此因此，所求的回归方程为，所求的回归方程为lg N6.7010.740 x，故，故N100.740 x6.701.No.1 middle sch
18、ool，my love！某产品的广告费用某产品的广告费用x(万元万元)与销售额与销售额y(万元万元)的统计数据如下表的统计数据如下表:根据上表可得回归方程根据上表可得回归方程ybxa中的中的b为为9.4，据此模型预测广告费用为，据此模型预测广告费用为6万元时销售额万元时销售额为为().A.63.6万元万元B.65.5万元万元 C.67.7万元万元D.72.0万万元元No.1 middle school，my love！No.1 middle school，my love！No.1 middle school，my love！作业：见固学案作业：见固学案第第2课时课时回归分析的初步应用回归分析的初步应用Thanks 2017年年6月月30日日No.1 middle school，my love！
