1、四川天地会教育严老师精品讲义 1 高高一数学培一数学培优讲义优讲义 2012016 6 年年 月月 日日外接球与内切球问题外接球与内切球问题 例题精讲例题精讲 1. 一个六棱柱的底面是正六边形， 侧棱垂直于底面， 所有棱的长都为 1， 顶点都在同一个球面上， 则该球的体积为 . 2. 已知过球面上有三点, ,A B C的截面到球心的距离是球半径的一半，且2ABBCCA，则 此球的半径是 . 3. 球面上有 3 个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的六分之一.且经过这 3 个点的小 圆的周长为 4，这个球的半径 R . 4. 同底的两个正三棱锥内接于同一个球已知两个正三棱锥的底面边长为a，
2、球的半径为R设 两个正三棱锥的侧面与底面所成的角分别为、，则tan()的值是 5. 将长、宽分别为 4 和 3 的长方形 ABCD 沿对角线 AC 折起，得到四面体 ABCD，则四面体 A BCD 的外接球的体积为 . 6. 3.15 新课标全国理 已知是球的球面上两点,为该球面上的动点.若三 棱锥体积的最大值为 36,则球的表面积为 . 7. 若一个四棱锥底面为正方形，顶点在底面的射影为正方形的中心，且该四棱锥的体积为 9，当 其外接球表面积最小时，它的高为 8. 如图，三个半径都是 10cm 的小球放在一个半球面 的碗中，小球的顶端恰好与碗的上沿处于同于水平面， 则这个碗的半径 R= .
3、9. 已知底面边长为 1， 侧棱长为 则正四棱柱的各顶点均在同一个球面上， 则该球的体积为 10 正四棱锥的顶点都在同一球面上， 若该棱锥的高为4， 底面边长为2， 则该球的表面积为 BA,O90AOBC ABCOO 四川天地会教育严老师精品讲义 2 课堂练习课堂练习 13.已知在直角梯形 ABCD 中，ABAD，CDAD，AB=2AD=2CD=2，将直角梯形 ABCD 沿 AC 折叠成三棱锥 DABC，当三棱锥 DABC 的体积取最大值时，其外接球的体积为_ 14 20152015 大庆三模大庆三模 设三棱柱 ABCA1B1C1的侧棱垂直于底面，AB=AC=2，BAC=90，AA1=2，且三
4、棱 柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是 . 15. 四棱锥的底面是正方形， 侧棱与底面所成的角都等于 60， 它的所有顶点都在直径为 2 的球面上， 则该四棱锥的体积为 . 例 1.正三棱锥的高为 1，底面边长为62，正三棱锥内有一个球与其四个面相切求球的表面积与体积 解：解：如图，球O是正三棱锥ABCP的内切球，O到正三棱锥四个面的距离都是球的半径R PH是正三棱锥的高，即1PHE是BC边中点，H在AE上， ABC的边长为62，262 6 3 HE3PE 可以得到 23 2 1 PEBCSSS PBCPACPAB 36)62( 4 3 2 ABC S 由等体积法， ABCOPBCO
5、PACOPABOABCP VVVVV RR36 3 1 323 3 1 136 3 1 得：26 332 32 R， )625(8)26(44 22 RS球 33 )26( 3 4 3 4 RV球 例 4.设棱锥ABCDM 的底面是正方形，且MDMA ，ABMA ，如果AMD的面积为 1，试求能 够放入这个棱锥的最大球的半径. 解：解： ABMAABADAB,平面MAD， 由此，面MAD面AC.记E是AD的中点， 从而ADME .ME平面AC，EFME 设球O是与平面MAD、平面AC、平面MBC都相切的球.如图 2，得截 面图MEF及内切圆O 不妨设O平面MEF，于是O是MEF的内心. 设球O的半径为r，则 MFEMEF S r MEF 2 ，设aEFAD,1 AMD S. 四川天地会教育严老师精品讲义 3 2 2 2 , 2 a aMF a EM,12 222 2 22 2 2 2 a a a a r 当且仅当 a a 2 ，即2a时，等号成立. 当2 MEAD时，满足条件的球最大半径为12 .
