1、1教材：梁昆淼编写的数学物理方法第四版内容?第一篇复变函数论第二篇数学物理方程数 学 物 理 方 法2第一章复变函数1、复数的定义一、复数zxRe?zyIm?实部：虚部：模：22yxz?辐角：?kzArgz2arg?),2,1,0(?k主辐角：)(argxyarctgz?,2arg0?z共轭复数:iyxz?*zxiy?iyxz?三角式)sin(cos?iz?iez?指数式代数式重点：复数三种表示式之间的转换！32、复数的运算:加、减、乘、除、乘方、开方(1)、加法和减法)()(212121yyixxzz?111iyxz?222iyxz?(2)、乘法和除法)(221121iyxiyxzz?)()
2、(12212121yxyxiyyxx?22222211)(yxiyxiyx?2222211222222121yxyxyxiyxyyxx?*22*21zzzz?21zz4(2)、乘法和除法、乘法和除法两复数相除就是把模数相除,辐角相减。)sin()cos(21212121?izz)(2121?ie121111122222(cossin)(cossin)iiziezie?12121212cos()sin()z zi?)(2121?ie?两复数相乘就是把模数相乘,辐角相加;5(3)复数的乘方和复数的乘方和开方（重点掌握）ninez)(?inne?)sin(cos?ninn?或(n为正整数的情况)12
3、 2 cossinnnkkzinn?)1,2,1,0(?nk?nkine?2?复数的乘、除、乘方和开方运算，采用三角式或指数式往往比代数式来得方便。棣莫弗公式：?nininsincos)sin(cos?6二、六种初等复变函数：1.幂函数nzw?2.指数函数zew?周期为2?i，3.三角函数cos,2izizeez?sin,2izizeezi?周期为2?74、双曲函数2zzeeshz?2zzeechz?5、根式函数?iez?nkinew?2?)(,1210?nk?周期为2?i6、对数函数zw ln?ln ziArgz?kzArgz2arg?,10?k8222zzxy?13?例1：已知，则。23z
4、i?zz?13例2：复数ez的模为，辐角为.例3：已知，表示成指数形式为：。例4：已知或，可以化简：为：或。xe2,0,1,2,ykk?Lzx iyee?xiye e?1322zi?/3ie?izi?izi?2(2)ke?22ke?9三、解析函数),(),()(yxivyxuzf?1、柯西-黎曼方程?xvyuyvxu直角坐标系：极坐标系：?vuvu112、解析函数性质：(1)、若是解析函数，则。),(),()(yxivyxuzf?0?vu(2)、若函数在区域B上解析，则u和v必为B上的相互共轭调和函数。ivuzf?)(10第五章傅里叶变换一、傅里叶级数1、周期函数(T=2 l)的傅里叶展开一般
5、周期函数：(5.1.3)、(5.1.5)；P69-70奇函数：(5.1.8)、(5.1.9)；P71偶函数：(5.1.10)、(5.1.11)；P71傅里叶正弦级数傅里叶余弦级数傅里叶级数112、定义在有限区间(0,l)上的函数的傅里叶展开对函数f(x)的边界（区间的端点x=0,x=l）上的行为提出限制，即满足一定的边界条件，这常常就决定了如何延拓。(1)、边界条件为f(0)=0,f(l)=0应延拓成以2l为周期的奇函数(奇延拓)1()sinkkkf xbxl?02()sinlkk xbf xdxll?(2)、边界条件为应延拓成以2 l为周期的偶函数(偶延拓)(0)0,()0ff l?01()
6、coskkkf xaaxl?02()cos (0)lkk xaf xdxkll?001()laf x dxl?02()coslkkk xaf xdxll?12(3)、边界条件为、边界条件为(0)0,()0ff l?01()2()sinkkkxf xbl?01()22()sinlkkxbf xdxll?根据边界条件f(0)=0应将函数f(x)对区间(0,l)的端点x=0作奇延拓。又根据边界条件，应将函数f(x)对区间(0,l)的端点x=l作偶延拓，()0f l?然后以4 l为周期向整个实轴延拓，延拓以后的函数是以4 l为周期的奇函数。13(4)、边界条件为、边界条件为(0)0,()0ff l?0
7、1()2()coskkkxf xal?01()22()coslkkxaf xdxll?又根据边界条件f(l)=0，应将函数f(x)对区间(0,l)的端点x=l作奇延拓，然后以4 l为周期向整个实轴延拓，延拓以后的函数是以4 l为周期的偶函数。根据边界条件应将函数f(x)对区间(0,l)的端点x=0作偶延拓。(0)0f?重点掌握：及在四种不同边界条件下如何展开成傅立叶级数！（下表格的内容必须熟记！）()()1f xxf x?14边界条件延拓方式周期级数系数0)()0(?lff0)()0(?lff0)()0(?lff0)()0(?lff)()(xgxg?)()(xgxg?)()(xgxg?)()2
8、(xgxlg?)()(xgxg?)()2(xgxlg?l 2l 24l4l?1sinkklxkbxf?01()coskkk xf xaal?lxkaxfkk2)12(cos)(0?lxkbxfkk2)12(sin)(0?02sin()dlkk xbf xxll?0001()d2()cosdllkaf xxlk xaf xxll?lkdxlxkxfla02)12(cos)(2?lkdxlxkxflb02)12(sin)(2?15定解问题定解问题?泛定方程泛定方程定解条件定解条件?初始条件:说明物理现象初始状态的条件边界条件:说明边界上的约束情况的条件?波动方程波动方程输运方程输运方程稳定场方程2
9、(,)ttxxua uf x t?2(,)txxua uf x t?()uf r?v第七章第七章数学物理定解问题数学物理定解问题衔接条件衔接条件（必须掌握）（必须掌握）160(,)(,)tu x y z tx y z?杆或弦的振动：0(,)(,)ttu x y z tx y z?表示初始的位移表示初始的速度初始条件：给出某一初始时刻整个系统的已知状态。P122在热传导现象中，初始条件就是给出初始时刻系统中每点的温度u之值。0()tuT r?v其中T(r)是已知函数。例：P122图7-817(1)、杆或弦两端固定0),(0?xtxu0),(?lxtxu常见的边界条件：边界条件：边界条件：给出系统
10、的边界在 各个时刻各个时刻的已知状态。三类线性边界条件：P124(1)、第一类边界条件：)(tfu?(2)、第二类边界条件：)(tfnu?(3)、第三类边界条件：)()(tfnuHu?1800?xxu0 xx lu?(2)、杆两端自由(3)、杆的两端保持恒温、杆的两端保持恒温T0(,)xu x tT?(,)x lu x tT?(4)、两端绝热00?xxuuqkix?vv0?lxxu0 x19(5)、两端有热流强度为f(t)的热流流出0 xlf(t)f(t)在x=0端:ktfuxx)(0?ktfulxx)(?0()xukf tx?()x lukf tx?在x=l端:uqkix?vv同理得，两端有
11、热流强度为f(t)的热流流入，则0()(),xxxx lf tf tuukk?重点掌握：P128习题1、2、320数学物理定解问题的适定性:(1)解的存在性看所归结出来的定解问题是否有解；(2)解的唯一性看是否只有一个解(3)解的稳定性当定解问题的自由项或定解条件有微小变化时，解是否相应地只有微小的变化量定解问题解的存在性、唯一性和稳定性统称为定解问题的适定性.21注：注：对于均匀弦或均匀杆的振动问题，要表示为定解问题，需要写出相应的波动方程、初始条件以及边界条件！（初始条件有 2个）对于热传导以及浓度分布的扩散问题，要表示为定解问题，需要写出相应的输运方程、初始条件以及边界条件！（初始条件只
12、有1个）22解定解问题三步曲：（1）写出正确的定解问题；（2）边界条件齐次化；（3）求解 傅氏级数法或分离变数法.第八章分离变数法23分离变数法?齐次的振动方程和输运方程齐次的边界条件傅里叶级数法?齐次或非齐次的振动方程和输运方程齐次的边界条件24一、分离变数法解题步骤(1)对齐次方程和齐次边界条件分离变量；(2)解关于空间因子的常微分方程的本征值问题；(3)求其它常微分方程的解，与本征函数相乘，得到本征解。(4)迭加所有本征解，由初始条件或非齐次边界条件确定迭加系数，最后得到所求定解问题的解。注：熟练掌握波动方程和输运方程在不同齐次边界条件下分离变数得到的本征值问题，相应的本征值和本征函数必
13、须熟记！波动方程、输运方程在不同边界条件下的一般解以及二维拉普拉斯方程的一般解也必须熟记！P160 习题1、7、1625例例1 1：用分离变数法求定解问题：用分离变数法求定解问题200000,(0)0,0,0ttxxxx ltttua uxluuuu u?先以分离变数形式的试探解解：代入泛定方程(1)和边界条件(2)，得)()(),(tTxXtxu?20XTa X T?2XTXa T?0?XX?20Ta T?(1)(2)(3)(0)()0()()0XT tX l T t?(0)0()0XX l?26222lnn?(1,2,3,)n?L1()sinnn xXxcl?0(0)0,()0XXXX l
14、?本征值问题本征值：本征函数：0)()(2222?tTlantTnn?02?TaT?其通解为相应的本征解tlanBtlanAtTn?sincos)(?(1,2,3,)n?L)()(),(tTxXtxunnn?(cossin)sinnnn an anAtBtxlll?(1,2,3,)n?L一般解是所有本征解的线性迭加，一般解是所有本征解的线性迭加，1(,)()()nnnu x tXx T t?1(cossin)sinnnnn an anAtBtxlll?(4)27一般解是所有本征解的线性迭加，一般解是所有本征解的线性迭加，代入初始条件，代入初始条件，00,0tntuB?Q01sinnnnAxul
15、?1(,)()()nnnu x tXx T t?1(cossin)sinnnnn an anAtBtxlll?(4)?lnxdxlnluA00sin2?0211(1)nun?00,24,21(21)nkunkk?00)12(sin)12(cos)12(4),(kxlktlakkutxu?28例例2 2：用分离变数法求定解问题：用分离变数法求定解问题2000,(0)0,0()txxxxx ltua uxluuux?(1)(2)(3)先以分离变数形式的试探解解：代入泛定方程(1)和边界条件(2)，得)()(),(tTxXtxu?20XTa X T?2XTXa T?0?XX?20Ta T?(0)()
16、0()()0XT tX l T t?(0)0()0XX l?292221()2nnl?(0,1,2,3,)n?L21()2()cosnnxXxcl?0(0)0,()0XXXX l?本征值问题本征值：本征值：本征函数：22221()2()()0nnnaTtT tl?其通解为)()(),(tTxXtxunnn?相应的本征解20Ta T?22221()2()natlnT tCe?22221()21()2cosnatlnnxC el?(0,1,2,)n?L一般解是所有本征解的线性迭加，0(,)()()nnnu x tXx T t?22 221()201()2cosnatlnnnxC el?30代入初始
17、条件，代入初始条件，0()tux?01()2cos()nnnxCxl?01()22()coslnnCdll?所求的定解问题的解为：所求的定解问题的解为：22221()201()2(,)cosnatlnnnxu x tC el?22221()20011()()222(,)()coscosnaltlnnnxu x tdelll?310(1)0,0;xx luu?1(,)()sinnnn xu x tT tl?0(2)0,0;xxxx luu?0(,)()cosnnn xu x tT tl?0(3)0,0;xxx luu?01()2(,)()sinnnnxu x tT tl?0(4)0,0;xxx
18、luu?01()2(,)()cosnnnxu x tT tl?运用傅氏级数法求定解问题，要注意在不同齐次边界条件下，所求定解问题的解展开为不同形式的傅里叶级数式的傅里叶级数，二、傅里叶级数法32三、熟练掌握如何把非齐次边界条件齐次化：三、熟练掌握如何把非齐次边界条件齐次化：(1)、若是第一类非齐次边界条件可设)()(),(tBxtAtxv?可将w(x,t)的边界条件齐次化。120(),()xx luf tuf t?引入辅助函数v(x,t)，令u(x,t)=v(x,t)+w(x,t)，使v(x,t)满足非齐次边界条件，可将函数u(x,t)满足的非齐次边界条件的定解问题 变换为函数w(x,t)满足
19、的齐次边界条件的定解问题。P173 8.3.433120(),()xxxx luf tuf t?可设2(,)()()v x tAt xB t x?可将w(x,t)的边界条件齐次化(3)、若是第一、二类非齐次边界条件、若是第一、二类非齐次边界条件120(),()xxx luf tuf t?120(),()xxx luf tuf t?或或可设)()(),(tBxtAtxv?可将可将w(x,t)的边界条件齐次化。(2)、若是第二类非齐次边界条件、若是第二类非齐次边界条件P173 8.3.1034(4)、特殊处理方法取特殊的v(x,t)，令u(x,t)=v(x,t)+w(x,t)，使得w(x,t)的边
20、界条件齐次化，同时关于w(x,t)的泛定方程也变成齐次方程！重点掌握：补充例题、P175习题1、435第九章二阶常微分方程级数解法本征值问题0 sin1sinsin112222222?ururrurrr一、球坐标系中的拉普拉斯方程熟练掌握将上式分离为三个常微分方程的方法，并能写出各自的通解！（区别连带勒让德方程和勒让德方程）二、球坐标系中的拉普拉斯方程0112222222?zuuuu?熟练掌握将上式分离为三个常微分方程的方法，并能写出各自的通解！（区别贝塞尔方程和虚宗量贝塞尔方程）361、掌握勒让德方程本征值问题的解及其性质(1)l阶勒让德方程与自然边界条件构成本征值问题1()xy x?当时有
21、限0)1(2)1(2?yllyxyx?(自然边界条件)本征值问题本征值是l(l+1)本征函数则是l阶勒让德多项式Pl(x)勒让德方程的解。（注：熟记几个特殊值！）(0,1,2)l?L第十章球函数37(2)勒让德多项式的性质1)、正交性不同阶的勒让德多项式在区间(-1,1)上正交，11()()0()klP x P x dxkl?2)、勒让德多项式的模221lNl?(0,1,2,)l?L383)、勒让德多项式的全体构成完备组如何将一个定义在x的区间-1,1-1,1上的函数f(x)展开成广义傅里叶级数：一般公式：?0)()(lllxPfxf展开系数?11)()(212dxxPxflfll待定系数法（
22、熟练掌握的展开方法）仅适用于f(x)是关于x的次幂的多项式2224(),1,1,f xxxxx?39(3)勒让德多项式的母函数母函数21(,)12 cosu rrr?2112 cosrr?101(cos)lllPr?0(cos)lllr P?)1(?r(1)r?10(cos)llllrPR?2212cosRrRr?10(cos)llllRPr?()rR?()rR?以半径为R的球代替单位球，则402、掌握关于极轴对称拉 氏方程在球坐标系下的解：关于轴对称的拉氏方程的定解问题的通解为?01)(cos)(),(llllllPrBrAru?对球内轴对称问题自然边界条件：有限值?0ru取Bl=0，应排除
23、,11lr?0)(cos),(llllPrAru?41例1、解：?2cos00rruu)0,20,(0?rr边界条件与?无关，以球坐标的极轴为对称轴。此定解问题是轴对称情况下的球内问题，故?0)(cos),(llllPrAru?代入边界条件200(cos)cosllllAr P?2x?0020,()cosr rurru?P231例342200(cos)cosllllAr P?2x?左边是广义的傅里叶级数，所以用待定系数法将右左边是广义的傅里叶级数，所以用待定系数法将右边函数边函数x2展开为广义的傅里叶级数，展开为广义的傅里叶级数，)()()(2211002xPfxPfxPfx?)13(2122
24、10?xfxff2212023)21(xfxfff?比较左右两端，得比较左右两端，得0210,2ff?10,f?1232?f430210,2ff?10,f?1232?f解得，解得，01,3f?10,f?322?f)(32)(31202xPxPx?)(32)(31)(cos2000 xPxPPrAllll?比较左右两边系数，得比较左右两边系数，得01,3A?22021,3Ar?0?lA)2,0(?l)(cos13231),(2220?Prrru?443、掌握连带勒让德方程本征值问题的解及其性质、掌握连带勒让德方程本征值问题的解及其性质(1)l阶连带勒让德方程与自然边界条件构成本征值问题1()xy
25、 x?当时有限222(1)2(1)01mxyxyl lyx?(自然边界条件)本征值问题本征值是l(l+1)本征函数则是连带勒让德多项式 连带勒让德方程的解。(0,1,2)l?L()mlPx45（2）掌握关于非轴对称拉 氏方程在球坐标系下的解：关于非轴对称的拉氏方程的定解问题的通解为：0(1)0(,)(cossin)(cos)(cossin)(cos)lmmmlllml mlmmmlllml mu rr AmBm PrCmDm P?对球内非轴对称问题，自然边界条件：有限值?0ru取，应排除,11lr?0 ,0mmllCD?0(,)(cossin)(cos)lmmmlllml mu rr AmBm P?
