1、1复习正多边形和圆2复习正多边形和圆（1）一、知识点1.基本概念正多边形：正多边形的中心，正多边形的半径，正多边形的边心距，正多边形的中心角。如图，正多边形ABCDEF正多边形的中心0正多边形的半径R正多边形的边的边心距r正多边形的中心角0A BABCDEF0RrM32.正多边形的判定和性质（1）把圆分成 等分依次连结各分点所得的多边形是这个圆的正n边形 如图所画将 五等分各分点为A、B、C、D、E顺次连结各分点得正五边形ABCDE，经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的 多边形是这个圆的外切正n边形，如图所示红色的为 的外边正五边形(3)n n 00ABCDE ABECADBEDC0
2、4（2）任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆。如图所示：大 为正五边形ABCDE的外接圆，小 为正五边形的ABCDE的内切正五边形，大小 为同心圆。0000ABCDE53.正多边形有关计算正n边形的半径和边的距把正n边形分成2n个全等的Rt如图，设正n边形的中心角为 半径为 边长为 边心距为周长为 面积为 ,0,0,0nnnnA BRA RaABarCrnPnSABCR06由有关图形的性质，可推得00002223601801801),2)2218013),4)4115),6)22nnnnnnnnnnnaR SinnnnrR CosR ranPn aSn rar P74.与圆
3、有关的计算1）圆的周长 2）弧长=3）圆的面积4）扇形面积5）弓形面积2221360200CRSRn RSLRSA BS A B扇形扇形180n RL0RABR0n00AB85.与圆有关的的作圆1）过不在同一条直线的三点作圆。连结AB、BC，作两边的中垂线交于0点。以0为圆心，0A长为半径作圆，0为 的外心。ABCABC092）作三角形的内切圆作 的平分线交于0点，以0为圆心，0D（0点到AB边距离）为半径作圆。0为 内心。,ABABC的0ABDC3）等分圆周（三，六，十二，四，八，五等分圆周）106.圆柱和圆锥的侧面展开图。1）圆柱的侧面积：侧面展开图为矩形0rh2 rS圆柱侧=2 rh（r
4、为底面半径。h:圆柱高）圆柱表面积：S圆柱表=S圆柱侧+2S底面圆112）圆锥的侧面积：侧面展开图为扇形2nRL0rS圆锥侧=（h为侧面展开图扇形圆心解度数。R:为母线长）2360h R圆锥表面积：S圆锥侧=LRS圆锥表=S圆锥侧+S底面圆 （L=，R为圆锥母线 长，r为底面圆半径 ）122 r12二、基本题1.半径为10cm的圆的内接正三角形的半径，边心距，边长，周长及面积各是多少？1）永久方法，构成Rt 求解。解：2）代入公式用定义知正三角形的半径=10cm=R边心距 边长周长面积0030333333180cos10cos605318032sin21010 332330 311335 10
5、 375 322rRaRPaSra030100ABDC13这个圆的正四边形，正六边形呢？由学生写出此圆的正四边形的半径R=10cm边心距边长周长面积004004444444180210 cos10cos 451052421802sin210 sin 45102444102402145210220021152 40220022raRPaSSr p或L1 r4 a414此圆的正六边形的半径R=10cm边心距边长周长面积0060066666180cos10cos 305361802sin210 sin 30106601165310150322115360150322nnnnrRaRnPaSn raS
6、r p或152.已知扇形的圆心角为 ，半径为2cm，求它的弧长和面积。解：练习：在半径为4cm的圆中，1350的圆心角所对的弧长为？解：代入弧长计算公式，n=135,R=40602226022()18018036022()3603603n RLcmn RScm扇形13543()180180n RLcm16例题：1.若正四边形的边心距为2，则正四边形外接圆的半径是 ，如图所示2 242r RABC0172.圆内接正六边形的边长为a，它的内接正方形的面积为 此正方形正六边形都同内接于一个圆，所以圆的半径=a,求内接正方形的面积就是要求出正四边形的边长a422a0042418018022sin2si
7、n2242222aRaaanSaaa 184、已经圆内接正三角形的边长为,则同圆的内接正方形的周长为。分析：正三角形.正四边形内接于一个圆，所以圆的半径相同。由正三角形的边长，可求出其外接圆的半径。2 32 31801802 33233318022.2 2242nRSin 3344a用公式 a=2R.Sin=2.R.SinRR=再求半径为2的正四边形的边长即可求出正方形的周长.a P=8195、已知扇形的圆心角为120，弧长为20cm，求这扇形的面积；分析：知扇形的弧长为20 cm用公式12180,SLRRn RnR扇形 求扇形面积,但不知由孤长计算公式L中,L知 知可求出此题得解202201
8、802030180112030300()22n RLn RRSLRcm扇形解:L n=120 解得由扇形面积公式得216、若一个扇形的半径等于一个圆的半径的3倍，且它们面积相等，求这个扇形的圆心角度数。分析：知扇形半径和一个圆的半径的关系，3倍可设圆的半径为R，则扇形的半径为3R。依扇形面积和圆的面积相等可列出方程。从而求出此扇形的圆心角度数。222222(3)36093604040.nRRnRRn解:设这个圆的半径为R,则扇形的半径为3R.依圆的面积和扇形的面积相等 得扇形的圆心角是237、扇形的面积与原所在圆的面积之比为1：5，且扇形的面积为，求此扇形的半径？25 cm1:.221.551
9、.5112225.SLRRLRLRRRR扇形分析 知扇形面积求其半径可用公式 由扇形面积只是所在圆面积的可知孤长也是圆周长的扇形面积 又扇形面积为5 扇形细线就是圆的半径此结繁可将 求出.24221555RSR扇形2解:扇形面积为所在圆面积的即 5 R=25 R=5此扇形的半径为5cm.258、直角梯形的上底是6，下底是10，高是3，以它的下底为轴旋转一周，求所得几何体的表面积。分析：D3A10E36BC图示：26直角梯形以下底为轴旋转一周得到一个圆柱体和一个圆锥体所得几何体的表面积SSS圆柱形底面圆圆锥侧过C点作CEAB,Rt BEC中,可求EB=4 知CE=3 BC=52222393 63
10、6113 515223615().rrcrBCcmcm 底面圆圆柱侧圆锥侧几何体表底面圆圆柱侧圆锥侧解:S=S=22S=22SSSS =9 =60答:所求几何体的表面积60D3A10E36BC271)有关概念记清楚。2)熟练掌握正多边形计算公式和圆有关的计算公式：直接用的变形用的.3)正多边形计算会转化为Rt求解。小结28一、复习提问1、正多边形有关计算公式2、与圆有关的计算公式二、练习题1、正六边形内切圆半径与外接圆半径的比等于（既正六边形的边距与半径之比）2、正六边形内切圆面积与外接圆面积的比等于3:4复习正多边形和圆（2）3:222222266(:(3):23:4)rRrR既3、圆柱的高
11、与它的底面圆半径相等，则侧面展开图的面积为。（底面圆半径设为R它的周长为 ）22 R2222RR RR圆锥侧 S=29、正多边形的一边所对的中心角与该正多边形的一个内角的关系是互补（可分别将中心角内角求出）三、例题：、两个同心圆中，大圆的弦AB与小圆相切于C，AB的长为12cm,求两个圆所围成的环形面积。复习正多边形和圆（2）22()RrABR rRt22分析:S环=Rr把已知和找关系构成30复习正多边形和圆（2）解：连结OC.OB设大 O半径OB=R，小 O半径OC=rAB与 O相切点C，OCAB且AC=BC RtOCB中，BC=AB=612222222222236()36RrOBOCBCS
12、SSRrRrScmoo环大大环-oCAB31复习正多边形和圆（2）2、半径为r的 O与Rt ABC的两直角相切于H和K圆心O在斜边AB上，若BC=a，AC=b1）用a、b和r表示S OBK和S OAH2）3)若a=10,b=15，r=6求阴影部分的面积abrab证明ABKCHO32复习正多边形和圆（2）11).2111.().()22211.()22OBKOAHBK OKoACSBK OKar rr arSOH AHr brOBK分析:S=找出BK,OK与a r关系即可解:BC.AC切于K.H点OKBC OH又同理33复习正多边形和圆（2）2)/()abrabOHBCOHAHrbrBCACab
13、abbrabarrrab分析:证明=用相似三角形证明:OHAC,ACB=90 即 (a+b)r=ab =证 BKOBCA也可以34复习正多边形和圆（2）2213)211221110 156221(15036)75182SabrRt ABC圆o阴影阴影分析:S=S-解:S=353 矩形ABCD中，AB=1cm,BC=2cm,以B为圆心，BC为半径作 圆弧交AD于F，交BA延长线于E，求扇形BCE被矩形所截剩余部分的面积。分析：如何用所学过的基本图形的面积去表示所求图形的面积？连接BF，S阴=S扇形BEF-S BAFABCDEF1436解：连结BF，AB=1 BC=2，F点在以B点为圆心，BC为半
14、径的圆上2226022360313132223)32BFEABFBEFBFSABFSScm 。扇形阴影扇形 Rt BAF中 AFB=30 ABF=60 S S（374、正五边形ABCD中，AC、BE相交于F，AB=a，求BF的长。分析：图中有相等的角，BF所在三角形与三角形ABC相似，作正五边形的外接圆，看角等更清楚。ABCDEF381 0 83 651,2512A BB CA EA BB CA EA B CB A CA C BA B FA B FA C BB A FB A CA B FA C BA B FA C BA BA FA BaA CA BaA FA CA FaA CaaA FA Fa
15、A FaaB Fa。解：作正五边形的外接圆五边形A B C D E 为正五边形，和中，395、在长为18cm，宽为12cm的矩形ABCD内有一扇形，扇形圆心O在AB上，以OB为半径作弧与CD相切于E与AD相交于F，剪下扇形，围成一圆锥，求圆锥底面积（接缝不计）分析：求圆锥底面积必须知道底面圆半径，利用底面圆的周长和弧长相等可求，又必须求出弧长，依条件可求出BOF40ABCDEFO112cos260120120128180OFOFOARtAFOAOFOFOFAOFFOBBEF 。解：连 结 OECD是 切 线，E为 切 点OECD，CEO=RtABCD为 矩 形，C=B=Rt,又OE=OB四 边
16、 形 EOBC为 正 方 形1OF=OB=BC=12cm,OA=18-12=6=2在中，的 弧 长设 圆 锥 底 面 半 径 为 r，则 2r=8 r=4圆 锥 底 面22416()cm2积 S=r416、圆心O中弦AC=2cm,圆周角求图中阴影部分的面积。分析：阴影部分的面积为弓形，此圆形的面积=关键要 的度数和圆半径OA45ABC。AOCSSAOC扇形AOCABCO42229011124421122122112A O CA O CA O CO AO CO ASO A CO C O ASSS。扇 形 OAC阴 影扇 形解：连 结 OA，OCABC=45，为 同 圆 半 径 OA=OCRtAO
17、C中，AC=2，OA=OCS（）437、圆心O的半径为R，直径AB垂直于直径CD，以B为圆心，以BD为半径作圆心O定AB于E，交AB的延长线于F，连结BD，并延长DB交圆心E于M，连结MA交圆心O 于N，交CD于H，交圆心B于G，1）求圆中阴影部分的面积S2）求证：1）分析：复杂图中看出“规则”图形，所求阴影部分的面积等于半个圆心O的面积，减去弓形DEC的面积。HA HNHG HM442220222211242112221212B C E DB D CD E CD C BB C E DC DRSRRSD CO BRRRSSSRSSRRR扇 形阴 影弓 形扇 形2解：连 结 B C直 径 A B
18、直 径，设 圆 心 O 半 径 为2（）1 =（）21 =（）2 =R452）分析：要证明等积式中，四线段在一直线上，可分别求出每两线段的积是什么，用都等于第三个量的两个量相等证。证明：由相交弦定理，得：OHA HNHC HDBHG HMHC HDHA HNHG HM圆心 中 圆心 中，468、已知圆内接正六边形与同圆内接正方形面积之差等于11，求该圆的内接正三角形的面积。分析：要求圆内接正三角形的面积，一般要先求它的半径，根据已知条件要把正六边形与正方形面积之差等于11，把它转化为圆的半径47解：设AB是圆心O内接正方形的一边，AC是圆内接正六边形的一边，BD是圆心O内接正三角的一边，连结O
19、D，OB，OA，OC，CE垂直于OA于E，DF垂直BO交BO延长线于F点。48262460903sin6060232113366322221422AOCAOBORRt COECEOCRDOFDFRSOA CERRRSOA OBR RR。，DOB=120设圆心 半径为，中，（）1（）=42492222311332112223341133333222432234334271232271232SRRRSO B D FRRR正 六 边 形正 四 边 形依 题 意：S（）圆 内 接 正 三 角 形 的 面 积 是50四、小结：1、本单元特点：概念多，计算公式多。重点：掌握正多边形的定义、性质，判定和计算
20、各公式记熟。51 难点：综合运用及多边形的有关知识分析解决复杂的计算及证明题。2、方法 转化思想的运用 1)正多边形的问题转化为解Rto问题。2）组合图形的计算转化为“规则”土星问题求解。9、AB是半圆的直径，C在半径OA上,D在半圆O上,66CDABCDEABCFABCDOC在上与相切于，与半圆相切于 已知 1）求的长2）求 AOF的度数。3）由CF,FA围成的阴影部分的面积52分析：要在Rt ODE中直接求出OC不可能。因此，根据已知条件，连结OD建立Rt OCD到解决问题，进而在Rt ODE中求得AOF然后利用割接法求阴影部分的面积。53解：连接OD2221).6,332)3(3)112
21、303)3031201153133603602122OCEOAFECFCDABCDODOCEFECXOEXRt OCExECOEAOFSSSS 22阴扇扇令中(3-x)=x解得5410、圆锥的底线直径AB=2a，母线PA=4a试求从点A出发沿圆锥的表面到母线PB的最短路程。分析：所求最短路程就是扇形APB的半径一端点A1到母线PB的距离，(2 2)a55解：将圆锥的侧面沿母线PB剪开,并作出半个圆锥侧面地展开图即扇形A1PB过A1作A1CPBCA于，则所求 到母线PB的最短路程再展开图上就是A1到PB的距离及线段A1C的长度.125218045242 22l PBLA BaaLA BhA PBRt A PCA CPA Sin A PBaaAPBa又在中即从 点出发，沿圆锥表面到母线得最短路程为2 2563.以半径为1的圆内接正三角形，正方形，正六边形的边心距为三边作三角形，此三角形是直角三角形。解：半径为1的圆内接正三角形的边心距为半径为1的圆内接正方形的边心距为半径为1的圆内接正六边形的边心距为 此三角形为直角三角形00306041801cos1 cos603221 cos45231 cos302rRrr 222346rrr57
