1、2 1.直线的倾斜角：理解直线的倾直线的倾斜角：理解直线的倾斜角的概念要注意三点：斜角的概念要注意三点：（1）直线向上的方向；直线向上的方向；（2）与与x轴的正方向；轴的正方向；（3）所成的最小正角，其范围所成的最小正角，其范围是是0,）.3 2.直线的斜率：直线的斜率：（1）定义：倾斜角不是定义：倾斜角不是90的直线它的直线它的倾斜角的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜的正切值叫做这条直线的斜率，常用率，常用k表示，即表示，即 k=tan.=90的直线的直线斜率不存在斜率不存在；（2）经过两点经过两点P（x1,y1）,Q（x2,y2）的直线的斜率公式的直线的斜率公式 （其（其中中x1x2）.21
2、21yykxx 4直线方程归纳名名 称称 已已 知知 条条 件件 标准方程标准方程 适用范围适用范围 kyxP和斜率，点)(111)(11xxkyy斜截式点斜式两点式截距式一般式轴上的截距和斜率ykbkxy轴的直线不垂直于x轴的直线不垂直于x)()(222111yxPyxP，和点，点211211xxxxyyyy轴的直线、不垂直于yxbyax轴上的截距在轴上的截距在1byax不过原点的直线轴的直线、不垂直于yx两个独立的条件0CByAx不同时为零、BA5L1:y=k1x+b1L2:Y=K2x+b2（K1,k2均存在）均存在）L1:A1X+B1Y+C1=0L2:A2X+B2Y+C2=0（A1、B1
3、,A2、B2 均不同均不同时为时为0）平行平行K1=K2且且b1b2重合重合K1=K2且且b1=b2相交相交K1K2垂直垂直K1k2=-102121BBAA判断两条直线的位置关系判断两条直线的位置关系01221 BABA01221BABA1 22 10BC BC01221 BABA1 22 10BC BC6方程组：方程组：A1x+B1y+C1=0 A2x+B2y+C2=0的解的解一组一组 无数解无数解无解无解两条直线两条直线L1,L2的公共点的公共点直线直线L1,L2间的位置关系间的位置关系一个一个无数个无数个零个零个相交相交重合重合平行平行直线的交点个数与直线位置的关系直线的交点个数与直线位
4、置的关系722122121|()()PPxxyy22210210yyyxxx1 1、两点间的距离公式两点间的距离公式2,中点坐标公式中点坐标公式3.点到直线的距离公式：点到直线的距离公式：2200BACByAxd 关于距离的公式关于距离的公式两平行直线间的距离公式：两平行直线间的距离公式：2221BACCd 1.直线直线 x-y+1=0的倾斜角等于（的倾斜角等于（）A.B.C.D.3233566B 2.已知已知R，直线，直线xsin-y+1=0的斜的斜率的取值范围是（率的取值范围是（）A.（-,+）B.（0,1 C.-1,1 D.（0,+）C103.设直线设直线l1的方程为的方程为xy2，直线
5、直线l2的方程为的方程为axy1.(1)当当 时，时，l1与与l2相交；相交；(2)当当 时，时，l1与与l2平行，平行，(3)当当 时，时，l1与与l2垂直垂直.它们间的距离为它们间的距离为 ；113.设直线设直线l1的方程为的方程为xy2，直线直线l2的方程为的方程为axy1.(1)当当 时，时，l1与与l2相交；相交；(2)当当 时，时，l1与与l2平行，平行，a1(3)当当 时，时，l1与与l2垂直垂直.它们间的距离为它们间的距离为 ；123.设直线设直线l1的方程为的方程为xy2，直线直线l2的方程为的方程为axy1.(1)当当 时，时，l1与与l2相交；相交；(2)当当 时，时，l
6、1与与l2平行，平行，a1a1(3)当当 时，时，l1与与l2垂直垂直.它们间的距离为它们间的距离为 ；133.设直线设直线l1的方程为的方程为xy2，直线直线l2的方程为的方程为axy1.(1)当当 时，时，l1与与l2相交；相交；(2)当当 时，时，l1与与l2平行，平行，a1a122(3)当当 时，时，l1与与l2垂直垂直.它们间的距离为它们间的距离为 ；143.设直线设直线l1的方程为的方程为xy2，直线直线l2的方程为的方程为axy1.(1)当当 时，时，l1与与l2相交；相交；(2)当当 时，时，l1与与l2平行，平行，a1a1a122(3)当当 时，时，l1与与l2垂直垂直.它们
7、间的距离为它们间的距离为 ；4.若直线若直线ax+2y-6=0与与x+(a-1)y-(a2-1)=0平行，则点平行，则点P（-1，0）到直线）到直线ax+2y-6=0的距离等于的距离等于.因为两直线平行，因为两直线平行，所以有所以有a(a-1)=2，即，即a2-a-2=0，解得解得a=2或或a=-1，但当但当a=2时，两直线重合，不合题意，故只有时，两直线重合，不合题意，故只有a=-1，所以点所以点P到直线到直线-x+2y-6=0的距离等于的距离等于 易错点：判断两直线平行时要检验是否重合易错点：判断两直线平行时要检验是否重合.55 重点突破：直线的倾斜角与斜率重点突破：直线的倾斜角与斜率 已
8、知点已知点A（-3，4），），B（3，2），过点），过点P（2，-1）的直线）的直线l与线段与线段AB有公共点，求直线有公共点，求直线l的斜率的斜率k的取的取值范围值范围.从直线从直线l的极端位置的极端位置PA，PB入手，分别求出入手，分别求出其斜率，再考虑变化过程斜率的变化情况其斜率，再考虑变化过程斜率的变化情况.直线直线PA的斜率的斜率k1=-1，直线，直线PB的斜率的斜率k2=3，所以要使所以要使l与线段与线段AB有公共点，直线有公共点，直线l的斜率的斜率k的取值范的取值范围应是围应是k-1或或k3.直线的倾斜角和斜率的对应关系是一个比较直线的倾斜角和斜率的对应关系是一个比较难的知识点，
9、建议通过正切函数难的知识点，建议通过正切函数y=tanx在在0,）（,）上的图象变化来理解它）上的图象变化来理解它.22 已知点已知点A（-3，4），），B（3，2），过点），过点P（2，-1）的直线）的直线l与线段与线段AB没有公共点，则直线没有公共点，则直线l的斜率的斜率k的取值的取值范围为范围为.可用补集思想求得可用补集思想求得-1k3.-1k3 重点突破：直线方程的求法重点突破：直线方程的求法 ()求经过点求经过点A(-5，2)且在且在x轴上的截距等于轴上的截距等于在在y轴上的截距的轴上的截距的2倍的直线方程；倍的直线方程；()若一直线被直线若一直线被直线4x+y+6=0和和3x-5y
10、-6=0截得的截得的线段的中点恰好在坐标原点，求这条直线方程线段的中点恰好在坐标原点，求这条直线方程.()讨论截距为零和不为零两种情况，分讨论截距为零和不为零两种情况，分别设出直线方程，代入求解别设出直线方程，代入求解()当横截距、纵截距均为零时，设所求的直线方程当横截距、纵截距均为零时，设所求的直线方程为为y=kx，将，将(-5，2)代入得代入得k=-,此时直线方程此时直线方程y=-x,即即2x+5y=0；当横截距、纵截距都不是零时，设所求的直线方程为当横截距、纵截距都不是零时，设所求的直线方程为将将(-5，2)代入得代入得a=-，此时直线方程为，此时直线方程为x+2y+1=0.综上所述，所
11、求直线方程为综上所述，所求直线方程为2x+5y=0或或x+2y+1=0.252512xyaa，1221 重点突破：直线方程的求法重点突破：直线方程的求法 ()若一直线被直线若一直线被直线4x+y+6=0和和3x-5y-6=0截得的截得的线段的中点恰好在坐标原点，求这条直线方程线段的中点恰好在坐标原点，求这条直线方程.()设所求直线与已知一直线的交点坐标设所求直线与已知一直线的交点坐标A(a,b)，与另一直线的交点与另一直线的交点B，因为原点为，因为原点为AB的中点，所以的中点，所以点点B(-a,-b)在相应的直线上，联立方程组求解在相应的直线上，联立方程组求解.（）设所求直线与直线设所求直线与
12、直线4x+y+6=0,3x-5y-6=0分别分别相交于相交于A，B.设设A(a,-4a-6)，则由中点坐标公式知，则由中点坐标公式知B(-a,4a+6)将将B(-a,4a+6)代入代入3x-5y-6=0，得得3(-a)-5(4a+6)-6=0，解得，解得a=从而求得从而求得 所以所求直线方所以所求直线方程为程为36.23 366366,23 232323AB（）（），1-.6yx 应用直线方程的几种形式应用直线方程的几种形式假设直线方程时须注意其应用的假设直线方程时须注意其应用的适用条件；选用恰当的参变量，适用条件；选用恰当的参变量，可简化运算量可简化运算量.24 求满足下列条件的直线方程：求
13、满足下列条件的直线方程：(1)经过点经过点P(2，-1)且与直线且与直线2x+3y+12=0平行；平行；(2)经过点经过点Q(-1，3)且与直线且与直线x+2y-1=0垂直；垂直；(3)经过点经过点R(-2，3)且在两坐标轴上截距相等；且在两坐标轴上截距相等；(4)经过点经过点M(1，2)且与点且与点A(2,3)、B(4,-5)距离相等；距离相等；(5)经过点经过点N(-1,3)且在且在x轴的截距与它在轴的截距与它在y轴上的截距的和轴上的截距的和为零为零.2x+3y-1=0 2x-y+5=0 x+y-1=0或3x+2y=0 4x+y-6=0或3x+2y-7=003 yx04 yx或.求适合下列
14、条件的直线方程求适合下列条件的直线方程.过点过点Q（0，-4），且倾斜角为直线），且倾斜角为直线 x+y+3=0的倾斜角的一半的倾斜角的一半.3 易得直线易得直线 x+y+3=0的斜率为的斜率为-,则则倾斜角为倾斜角为 ，所以所求直线的倾斜角为，所以所求直线的倾斜角为 ，故斜率为故斜率为 ,由点斜式得所求的直线方程为由点斜式得所求的直线方程为y=x-4.3323333 已知点已知点P（2，-1），过），过P点作直线点作直线l.（）若原点若原点O到直线到直线l的距离为的距离为2，求，求l的方程；的方程；（）求原点求原点O到直线到直线l的距离取最大值的距离取最大值时时l的方程，并求原点的方程，并求
15、原点O到到l的最大距离的最大距离.()当当lx轴时，满足题意，轴时，满足题意，所以所求直线方程为所以所求直线方程为x=2；当当l不与不与x轴垂直时，直线方程可设为轴垂直时，直线方程可设为y+1=k(x-2)，即即kx-y-2k-1=0.由已知得由已知得 解得解得k=.所以所求直线方程为所以所求直线方程为3x-4y-10=0.综上，所求直线方程为综上，所求直线方程为x=2或或3x-4y-10=0.()结合几何图形，结合几何图形，可知当可知当l直线直线OP时，距离最大时，距离最大为为5，此时直线，此时直线l的方程为的方程为2x-y-5=0.21221kk ，3429yx如图，已知正方形如图，已知正
16、方形ABCD的中心为的中心为E(-1,0)，一边，一边AB所在的直线方程为所在的直线方程为x-3y-5=0，求其他各边所在，求其他各边所在的直线方程。的直线方程。EABCD303、点点 和和 关于直线关于直线l对称，则对称，则l的方程为的方程为（）A、B、C、D、(0,1)A(2,0)B2430 xy4230 xy2430 xy4230 xy1、已知点已知点A(5,8),B(4,1)，则，则A点关于点关于B点的对称点为点的对称点为_。2、求直线求直线3x-y-4=0关于点关于点P(2,1)对称的直线对称的直线l的的方程为方程为_。(3,-6)3x-y-6=0B315、设入射光线沿直线设入射光线
17、沿直线 y=2x+1 射向直线射向直线 y=x,则则被被y=x 反射后反射后,反射光线所在的直线方程是反射光线所在的直线方程是()Ax-2y-1=0 Bx-2y+1=0 C3x-2y+1=0 Dx+2y+3=04、光线通过点光线通过点A（2，3），经直线），经直线xy10反反射，其反射光线通过点射，其反射光线通过点B（1，1），求入射光线和），求入射光线和反射光线所在的直线方程。反射光线所在的直线方程。yxABA,A总结：四类对称关系。320y012 yx例例3 3：在在ABC中，中，BC边上的高所在的直线的方程边上的高所在的直线的方程为为 ，A的平分线所在直线的方程为的平分线所在直线的方程为
18、 ，若点若点B的坐标为（的坐标为（1，2），求点），求点 A和点和点 C的坐标的坐标yxBAC33例例4 4：已知A(2，0)，B(2，2)，在直线L：xy3=0上求一点P使PA+PB 最小.直线l：y=2x3，A（3，4），B（11，0），在l上找一点P，使P到A、B距离之差最大.yxABA，PPA=PA，PA+PB=PA，+PBP34练习练习 1、直线、直线9x4y=36的纵截距为（的纵截距为（）(A)9 (B)9 (C)4 (D)2、如图，直线的斜率分别为、如图，直线的斜率分别为k1、k2、k3，则（，则（）（A）k1k2k3 （B）k3k1k2 （C）k3k2 k1 （D）k1 k3 k2L1xyL2L3O94BA353、过点（、过点（2，1）在两条坐标轴上的截距绝对）在两条坐标轴上的截距绝对值相等的直线条数有（值相等的直线条数有（）(A)1 (B)2 (C)3 (D)45、如果直线、如果直线mxyn=0与与xmy1=0平行，则平行，则有（有（）(A)m=1 (B)m=1 (C)m=1且且n1 (D)m=1且且n-1或者或者m=1且且n14、设、是、设、是x轴上的两点，点的横坐标为，轴上的两点，点的横坐标为，且且|，若直线的方程为，若直线的方程为xy1=0，则直线的方程是（）则直线的方程是（）()xy5=0 (B)2xy1=0 (C)x2y4=0 (D)2xy7=0CAD
