1、【命题预测】【命题预测】1本讲主要考查椭圆的基本概念和性质，用待定系数法求椭圆方程，椭圆第本讲主要考查椭圆的基本概念和性质，用待定系数法求椭圆方程，椭圆第一、二定义的综合运用，椭圆中各量的计算，关于离心率一、二定义的综合运用，椭圆中各量的计算，关于离心率e的题目为热点的题目为热点问题，各种题型均有考查，属中档题问题，各种题型均有考查，属中档题2考纲要求掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质，所以，近几考纲要求掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质，所以，近几年的高考试题一直在客观题中考查定义、性质的理解和运用，在解答题中年的高考试题一直在客观题中考查定义、性质的理解和运用，在解答题
2、中考查轨迹问题和直线与椭圆的位置关系考查轨迹问题和直线与椭圆的位置关系3在解析几何与向量的交汇处设计高考题，是近年来高考一个新的亮在解析几何与向量的交汇处设计高考题，是近年来高考一个新的亮 点，主点，主要考查：要考查：(1)将向量作为工具解答双曲线问题；将向量作为工具解答双曲线问题；(2)以解析几何为载体，将向以解析几何为载体，将向量作为条件融入题设条件中量作为条件融入题设条件中【应试对策】【应试对策】1注意双曲线中一些基本量及其关系：注意双曲线中一些基本量及其关系：c2a2b2，e ，两，两准线间的距离为准线间的距离为 ，焦点到相应准线的距离为，焦点到相应准线的距离为 ，焦点到一条渐近线的，
3、焦点到一条渐近线的距离为距离为b，过焦点且垂直于实轴的弦长称为通径，即通径为，过焦点且垂直于实轴的弦长称为通径，即通径为 等，这些量等，这些量及其关系不会因坐标轴选择而改变及其关系不会因坐标轴选择而改变 2求双曲线的方程常用待定系数法，解题时应注意先确定焦点位置，若焦求双曲线的方程常用待定系数法，解题时应注意先确定焦点位置，若焦点不确定，则应分类讨论如不清楚焦点的位置，可设方程为点不确定，则应分类讨论如不清楚焦点的位置，可设方程为ax2by21(ab0)；若已知双曲线的渐近线方程；若已知双曲线的渐近线方程y x，则设双曲线方程为，则设双曲线方程为 (0，且，且为参数为参数)，从而避免讨论和复杂
4、的计算，从而避免讨论和复杂的计算3对双曲线定义的理解，应注意有关条件对双曲线定义的理解，应注意有关条件(2a1)渐近线渐近线yy等轴双曲线等轴双曲线实轴和虚轴实轴和虚轴 的双曲线叫做等轴双曲线的双曲线叫做等轴双曲线准线方程准线方程xy顶点顶点等长等长探究：探究：双曲线的离心率的大小与双曲线双曲线的离心率的大小与双曲线“开口开口”大小有怎样的大小有怎样的 关系？关系？提示：提示：离心率越大，双曲线的离心率越大，双曲线的“开口开口”越大越大1已知双曲线的离心率为已知双曲线的离心率为2，焦点是，焦点是(4,0)、(4,0)，则双曲线，则双曲线方程为方程为_解析：解析：由题知由题知c4，且，且 2，a
5、2，b2c2a212，双双曲线方程为曲线方程为 1.答案：答案：1且且PF1 PF21 3，则，则F1PF2的周长等于的周长等于_解析：解析：本题考查双曲线的方程及定义等知识由题意，本题考查双曲线的方程及定义等知识由题意，a3，b4，c5，根据题意，点，根据题意，点P在靠近焦点在靠近焦点F1的那支上，且的那支上，且PF23PF1，所，所以由双曲线的定义，以由双曲线的定义，PF2PF12PF12a6，PF13，PF29，故，故F1PF2的周长等于的周长等于391022.答案：答案：222设点设点P在双曲线在双曲线 1上，若上，若F1、F2为此双曲线的两个焦点，为此双曲线的两个焦点，3双曲线的渐近
6、线方程为双曲线的渐近线方程为y x，则双曲线的离心率为，则双曲线的离心率为_解析：解析：双曲线的渐近线方程为双曲线的渐近线方程为y x，或或 .当当 时，时，e ；当；当 时，时，e .答案：答案：4若双曲线若双曲线 1的渐近线方程为的渐近线方程为y ，则双曲线的焦点坐标是，则双曲线的焦点坐标是 _ 解析：解析：由双曲线方程得出其渐近线方程为由双曲线方程得出其渐近线方程为y ，m3，求得双曲线方，求得双曲线方 程为：程为：1，从而得到焦点坐标为从而得到焦点坐标为(，0)，(，0)答案：答案：(，0)，(，0)5双曲线的焦距是两准线间距离的双曲线的焦距是两准线间距离的4倍，则此双曲线的离心率等于
7、倍，则此双曲线的离心率等于_ 解析：解析：2c4 ，c24a2.e2 4，e2.答案：答案：2 【例【例1】在在MNG中，已知中，已知NG4.当动点当动点M满足条件满足条件sin Gsin N sin M 时，求动点时，求动点M的轨迹方程的轨迹方程 求双曲线的标准方程要确定焦点所在的坐标轴以及求双曲线的标准方程要确定焦点所在的坐标轴以及a2和和b2的值，其常用的方法的值，其常用的方法是待定系数法是待定系数法思路点拨：思路点拨：建立适当的直角坐标系，利用正弦定理把建立适当的直角坐标系，利用正弦定理把sin Gsin N sin M转化成边长之间的关系，并由此关系确定轨迹方程转化成边长之间的关系，
8、并由此关系确定轨迹方程 解解：以：以NG所在的直线为所在的直线为x轴，以线段轴，以线段NG的垂直平分线为的垂直平分线为y 轴建立直角轴建立直角坐标系坐标系sin G-sin N=由正弦定理，得由正弦定理，得MN-MG=由双曲线的定义知，点由双曲线的定义知，点M的轨迹是以的轨迹是以N、G为焦点的双曲线的右支为焦点的双曲线的右支(除去与除去与x轴的交点轴的交点)2c=4,2a=2，即，即c=2，a=1.b2=c2-a2=3.动点动点M的轨迹方程为的轨迹方程为x2 =1(x0，且，且y0)变式变式1：已已知定点知定点A(3,0)和定圆和定圆C：(x3)2y216，动圆和圆动圆和圆C相外相外 切，并且
9、过点切，并且过点A，求动圆圆心，求动圆圆心P的轨迹方程的轨迹方程 解：解：设设P的坐标为的坐标为(x，y)圆圆C与圆与圆P外切且过点外切且过点A，PC PA4.AC64，点点P的轨迹是以的轨迹是以C、A为焦点，为焦点，2a4的双曲线的右支的双曲线的右支a 2，c3，b2c2a25.1(x0)为动圆圆心为动圆圆心P的轨迹方程的轨迹方程1双曲线的性质的实质是围绕双曲线中的双曲线的性质的实质是围绕双曲线中的“六点六点”(两个焦点、两个顶两个焦点、两个顶点、两个虚轴的端点点、两个虚轴的端点)，“四线四线”(两条对称轴、两条渐近线两条对称轴、两条渐近线)，“两两形形”(中心、焦点以及虚轴端点构成的三角形
10、、双曲线上一点和两焦中心、焦点以及虚轴端点构成的三角形、双曲线上一点和两焦点构成的三角形点构成的三角形)研究它们之间的相互联系研究它们之间的相互联系时要熟练掌握以下三方面内容：时要熟练掌握以下三方面内容：(1)已知双曲线方程，求它的渐近线已知双曲线方程，求它的渐近线(2)求求已知渐近线的双曲线的方程已知渐近线的双曲线的方程(3)渐近线的斜率与离心率的关系如渐近线的斜率与离心率的关系如2在双曲线的性质中，应充分利用双曲线的渐近线方程，简化解题过程同在双曲线的性质中，应充分利用双曲线的渐近线方程，简化解题过程同【例【例2】中中心在原点，焦点在心在原点，焦点在x轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点轴上
11、的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F1，F2，且且F1F22，椭圆的长半轴与双曲线实半轴之差为，椭圆的长半轴与双曲线实半轴之差为4，离心率之比为离心率之比为3 7.(1)求这两曲线的方程求这两曲线的方程；(2)若若P为这两曲线的一个交点，求为这两曲线的一个交点，求cosF1PF2的值的值 思路点拨：思路点拨：解：解：(1)由由已知已知：c 设椭圆长、短半轴长分别为设椭圆长、短半轴长分别为a、b，双曲线实半轴、虚半双曲线实半轴、虚半 轴长分别为轴长分别为m、n，则则 解得解得a7，m3.b6，n2.椭圆方程为椭圆方程为 双曲线方程为双曲线方程为 (2)不妨设不妨设F1，F2分别为左，右焦点，分别为左
12、，右焦点，P是第一象限的一个交点，是第一象限的一个交点，则则PF1PF214，PF1PF26，所以所以PF110，PF24.又又F1F2 ，变式变式2：已已知双曲线的左、右焦点分别为知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，离心率为且过点离心率为且过点(4，)(1)求双曲线的标准方程；求双曲线的标准方程；(2)直线直线x3与双曲线交于与双曲线交于M、N 两点，求证：两点，求证：F1MF2M.解：解：(1)e ，则，则 2，ab.故可设双曲线的方程为故可设双曲线的方程为x2y2 (0)由于双曲线过点由于双曲线过点(4，)，42()2.6.双曲线方程为双曲线方程为x2y26.(2)证明证明：由：由(1
13、)可得可得【规律方法总结规律方法总结】1求双曲线方程的方法以及双曲线定义和双曲线标准方程的应用和圆有关问题求双曲线方程的方法以及双曲线定义和双曲线标准方程的应用和圆有关问题都是类似的都是类似的2当涉及到双曲线上点到焦点或到准线的距离时，要注意双曲线是两条曲线，当涉及到双曲线上点到焦点或到准线的距离时，要注意双曲线是两条曲线，点有可能在其中的一支上点有可能在其中的一支上3在已知双曲线上一点在已知双曲线上一点P与两个焦点与两个焦点F1、F2构成的构成的PF1F2中，中，|PF1|PF2|2a，F1F22c，再给出一个条件时，焦点，再给出一个条件时，焦点PF1F2可解可解.【高考真题高考真题】【例【
14、例3】(2009湖南卷湖南卷)已知以双曲线已知以双曲线C的两个焦点及虚轴的两个端点为的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中，有一个内角为顶点的四边形中，有一个内角为60，则双曲线，则双曲线C的离心率为的离心率为_ 分析：分析：根据四边形的特征，寻找根据四边形的特征，寻找a，c之间的关系，注意双曲线中之间的关系，注意双曲线中a，b，c的关系的关系 规范解答规范解答：设双曲线方程为：设双曲线方程为 如右图所示，由于在双曲线中如右图所示，由于在双曲线中cb，故在，故在RtOF1B2中，只能是中，只能是OF1B2=30，所以，所以 所以所以 所以所以a=答案：答案：本题考查双曲线的简单几何性质，在
15、题目给出的四边形中隐含着对本题考查双曲线的简单几何性质，在题目给出的四边形中隐含着对内角等于内角等于60的选择的选择，以此检测考生对双曲线几何性质的掌握程度，以此检测考生对双曲线几何性质的掌握程度，是一道有较好区分度的试题是一道有较好区分度的试题【全解密全解密】【命题探究】【命题探究】【知识链接知识链接】双曲线双曲线(a0，b0)中有三类特殊点：焦点中有三类特殊点：焦点(c,0)，顶点顶点(a,0)，虚轴的两个端点虚轴的两个端点(0，b)双曲线中双曲线中c2a2b2，说明双曲线中，说明双曲线中c最大，解决双曲线问题时不最大，解决双曲线问题时不 要忽视了这要忽视了这个问题，如本题就是根据这个关系
16、得出只有个问题，如本题就是根据这个关系得出只有OF1B230的结论记不要和的结论记不要和椭圆中椭圆中a，b，c的关系相混淆的关系相混淆.求双曲线的离心率的关键就是找出双曲线中求双曲线的离心率的关键就是找出双曲线中a，c的关系，在的关系，在用几何图形给出的问题中要善于利用几何图形的性质分析解决用几何图形给出的问题中要善于利用几何图形的性质分析解决【方法探究方法探究】【误点警示误点警示】1已知已知F1，F2分别是双曲线分别是双曲线的左、右两焦点的左、右两焦点，过过F2作垂直作垂直于于x轴的直线，在第一象限交双曲线于点轴的直线，在第一象限交双曲线于点P，若若PF1F230，求双曲线的渐近线方程求双曲
17、线的渐近线方程 分析：分析：采用数形结合思想，知道点采用数形结合思想，知道点P在双曲线的右支上，由双曲线的在双曲线的右支上，由双曲线的定义知定义知|PF1|PF2|2a，从，从“过过F2作垂直于作垂直于x轴的直线，在第一象限轴的直线，在第一象限交双曲线于点交双曲线于点P”可知可知PF2F1F2，再利用直角三角形求解，再利用直角三角形求解 解解：如图，由双曲线定义可知：如图，由双曲线定义可知|PF1|PF2|=2a，PF2F1F2，PF1F230，|PF1|2|PF2|.|PF1|2|PF2|2|F1F2|2|PF2|2(2c)2.由由可得可得|PF2|2a，|PF1|4a，代入，代入，可得，可
18、得3a2c2.又又c2a2b2，由由得得2a2b2.双曲线的渐近线方程为双曲线的渐近线方程为y 2双曲线双曲线 (a1，b0)的焦距为的焦距为2c，直线，直线l过点过点(a,0)和和(0，b)，且点，且点(1,0)到直线到直线l的距离与点的距离与点(1,0)到直线到直线l的距离之和的距离之和s 求双曲线的离心率求双曲线的离心率e的取的取 值范围值范围 分析：分析：首先求出首先求出s，将不等式，将不等式s 转化为转化为a、b、c的关系，将的关系，将b用用a、c表示，表示，再由再由e 即可化为即可化为e的关系式，进而求出的关系式，进而求出e的范围的范围 解：解：直直线线l的方程为的方程为 即即bxayab0.由点到直线的距离公式且由点到直线的距离公式且a1，得到点得到点(1,0)到直线到直线l的距离的距离d1 同理得到点同理得到点(1,0)到直线到直线l的距离的距离d2 sd1d2 由由s 即即5a 2c2.于是得于是得5 2e2，即，即4e425e2250.解不等式，得解不等式，得 e25.由于由于e1，e的取值范围是的取值范围是
