1、2022-12-15目录实验一实验一 随机变量函数变换随机变量函数变换实验二实验二 随机信号的功率谱随机信号的功率谱实验三实验三 系统对随机信号的响应系统对随机信号的响应实验四实验四 窄带随机过程窄带随机过程2022-12-15实验一实验一 随机变量函数变换随机变量函数变换 实验目的实验目的学习在MATLAB上产生随机样本的方法，并对样本进行统计分析。加深对随机变量的数字特征(包括数学期望、方差、矩函数)，随机变量的函数变换以及各种常见的概率分布的理解。通过仿真实验，比较理论结果与实验结果，验证理论的正确性，从而巩固所学的知识。准备知识准备知识在仿真实验中分析的对象是采用计算机模拟现实生活中的
2、实际情况所得到的样本函数。样本函数越贴近实际中得到的样本函数，则分析得到的结果越能正确的反映实际规律，在实际应用中越具有指导意义。这就要求建立的仿真模型真实的再现现实模型。在各领域采用的仿真模型有其各自的特点和规律，对于仿真模型的建立已经超出了本课程的内容。本课程只涉及对得到的样本信号进行统计分析的方法。2022-12-15二项式分布二项式分布 随机样本的产生随机样本的产生 二项式分布二项式分布（参见随机信号分析23页）:r=binornd(n,p)产生一个样本值r=binornd(n,p,m,n)产生mn矩阵个样本值n：进行独立随机试验的次数；p：每次试验事件A出现的概率；r：得到一个样本值
3、，表示在n次独立随机试验中，事件A出现了r次。2022-12-15 例：r=binornd(1000,0.5)r=491r=binornd(1000,0.5,2,3)r=512 503 489491 466 5122022-12-15泊松分布泊松分布 泊松分布泊松分布(参见随机信号分析24页)：r=poissrnd()产生一个样本值r=poissrnd(,m,n)产生mn矩阵个样本值：泊松分布参数;r：为样本值。例：r=poissrnd(10)r=14r=poissrnd(10,2,3)r=6 10 13 6 7 212022-12-15均匀分布均匀分布 均匀分布均匀分布(参见随机信号分析24
4、页)：r=unifrnd(a,b)r=unifrnd(a,b,m,n)a和b：表示随机变量均匀分布的区间a,b。例：r=unifrnd(0,10)r=9.5013r=unifrnd(0,10,2,2)r=2.3114 4.8598 6.0684 8.91302022-12-15高斯分布高斯分布(正态分布正态分布)高斯分布高斯分布(正态分布正态分布)(参见随机信号分析25页)r=normrnd(,)r=normrnd(,m,n)：为高斯随机变量的均值；：为高斯随机变量的标准差。例r=normrnd(0,1)r=-0.4326r=normrnd(0,1,3,3)r=-1.6656 -1.1465
5、-0.0376 0.1253 1.1909 0.3273 0.2877 1.1892 0.17462022-12-152分布分布 中心中心2分布分布(v个相互独立的均值为0，方差为1的高斯随机变量和的分布)(参见随机信号分析33页)r=chi2rnd(v)r=chi2rnd(v,m,n)v：表示自由度的数目(等同与随机信号分析33页中的n)例：r=chi2rnd(1)r=0.4069r=chi2rnd(1,1,4)r=2.8868 0.4845 9.2967 0.06372022-12-15 非中心非中心2分布分布（v个相互独立的均值为mi，方差为1的高斯随机变量和的分布）r=ncx2rnd(
6、v,)r=ncx2rnd(v,m,n)v：表示自由度的数目;：非中心分布参量，。21viim 例r=ncx2rnd(1,1)r=2.1759r=ncx2rnd(1,1,1,5)r=0.1580 3.9444 0.6001 0.1028 4.46992022-12-15瑞利分布瑞利分布 瑞利分布瑞利分布(参见随机信号分析36页)r=raylrnd()r=raylrnd(,m,n)：高斯随机变量的方差。例：r=raylrnd(1)r=1.7648r=raylrnd(1,1,5)r=0.9466 1.4313 1.7903 1.6072 1.41102022-12-15随机变量的数字特征随机变量的数
7、字特征数学期望数学期望 数学期望又为均值，对于随机数序列有两种计算方法：方法：直接计算法和递推计算法。直接计算法直接计算法 为随机数序列的第n个随机数递推计算法递推计算法（适合于实时计算）mn-1和mn分别为前n-1和n个随机数的均值。11NnnmxNnx111()nnnnmmxmn2022-12-15在Matlab中可用mean()函数来计算均值，其语法如下：m=mean(v)当v为一向量时，返回向量的均值。m=mean(A)当A为矩阵时，返回每一列的均值。m=mean(A,d)d定义返回均值的维数，d=1为列均值与mean(A)相同，d=2为行均值。例：v=normrnd(1,1,1,10
8、00);m=mean(v)m=0.9547A=1,2;3,4;m1=mean(A)m1=2 3m2=mean(A,2)m2=1.5000 3.50002022-12-15方差方差 方差也有直接计算法和递推计算法两种：直接计算法直接计算法 和递推计算法递推计算法（适合于实时计算）注：在递推计算中需要采用均值的递推计算法计算出均值。2211()NnnxmN2211NnnxmN2221111()nnnnnxmnn 2022-12-15 在Matlab中可用var()函数来计算均值，其语法如下：vr=var(v,1)v为一向量vr=var(A,1)A为矩阵，返回每一列的方差2022-12-15 例：v
9、=normrnd(0,1,1,1000);vr=var(v,1)vr=1.0455v=normrnd(0,1,1000,2);vr=var(v,1)vr=0.9975 1.0201 需要说明的是函数var(r)或var(A)计算的是正态分布r或A的无偏估计，即：，在使用时要加以注意。211var()()1NnnrrmN2022-12-15矩函数矩函数矩函数矩函数(参见随机信号分析8页)原点矩原点矩 随机序列k阶原点矩的计算：在Matlab的实现可以写为：mk=mean(v.k)v为向量mk=mean(A.k)A为矩阵mk=mean(A.k,d)d的定义与均值中的定义相同。其中“.k”表示对向量
10、或矩阵的每个元素分别取k次方。11NkknnmxN2022-12-15 例：v=normrnd(0,1,1,1000);m2=mean(v.2)m2=1.0529vrvar(v,1)vr=1.0529 由于 ，在该例中m0，因此2阶原点矩等于方差。22222E XE Xmm2022-12-15中心矩中心矩 中心矩中心矩 随机序列k阶中心矩的计算：利用mean()函数，在Matlab的实现可以写为：uk=mean(v-mean(v).k)v为向量 例：v=normrnd(0,1,1,1000);uk=mean(v-mean(v).2)uk=1.0529该例中2阶中心矩等于2阶原点矩，结果可对照上
11、一例。1111kNNknpnpxxNN2022-12-15中心矩中心矩 中心矩中心矩在Matlab已经定义了计算中心矩的函数为moment()，其语法为：uk=moment(v,k)v为向量，k为阶数uk=moment(A,k)A为矩阵，返回各列的中心矩 例：用moment()函数代替前面mean()的表达式uk=moment(v,2)uk=1.0529与前面计算的结果相同。2022-12-15联合原点矩联合原点矩联合原点矩联合原点矩 随机序列X和Y的n+k阶联合原点矩可表示为：其中：xp是长度为M的随机序列X的第p个元素；yp是长度为N的随机序列Y的第q个元素。当n=k=1时，即m11为相关
12、矩。111MNnknknkpqqpmE X Yx yMN2022-12-15在Matlab中的实现可以写为:z=(x).n)*(y.k);x和y为行向量mnk=mean(mean(z)其中：例：x=normrnd(0,1,1,1000);y=normrnd(0,1,1,2000);z=(x).2)*(y.3);m23=mean(mean(z)m23=0.0041111122122122()nnknkn Tknkknknkxx yx yzxyxyyx yx y2022-12-15联合中心矩联合中心矩联合中心矩联合中心矩 随机序列X和Y的n+k阶联合中心矩可表示为：其中：mx和my分别为随机序列X
13、和Y的均值。当n=k=1时，即为协方差。在Matlab中的实现可以写为:z=(x-mean(x).n)*(y-mean(y).k);x和y为行向量unk=mean(mean(z)111()()()()MNnknknkpxqyqpEXE XYE YxmymMN2022-12-15 例：x=normrnd(0,1,1,1000);y=normrnd(0,1,1,2000);z=(x-mean(x).2)*(y-mean(y).3);u23=mean(mean(z)u23=-0.03342022-12-15随机变量的函数变换随机变量的函数变换 在随机信号分析中1.1.3节介绍了随机变量函数变换的概率
14、密度函数的关系和求法。在这里我们通过对随机变量产生的样本进行相应的函数变换，对变换后得到的新样本计算其数字特征，来验证与理论值的正确性。例：随机变量X和Y满足线性关系Y=aX+b，X为均值为0，方差为1的高斯随机变量，其中a=2，b=5为常数，求Y的均值和方差。分析：由理论分析知(参见随机信号分析14页)5YXmamb2224YXa2022-12-15Matlab求解（步骤）：求解（步骤）：产生一组均值为0，方差为1的高斯分布的随机序列x；利用函数变换关系y=2x+5变换成随机序列y；计算随机序列的均值和方差。程序和结果：程序和结果：x=normrnd(0,1,1,10000);%产生随机序列
15、xy=2*x+5;%函数变换得到随机序列ymy=mean(y)%计算随机序列y的均值vry=var(y,1)%计算随机序列y的方差my=5.0092 vry=3.9752 可以看到得到的均值和方差都很接近理论值。为了使得计算值更加逼近理论值，可以采用增加样本数目的方法来提高计算精度。2022-12-15实验内容实验内容 设X,Y是相互独立的高斯随机变量，数学期望为0，方差相等，A和为随机变量，且 求A和的均值和方差。cos0,02sinXAAYA 2022-12-15 实验思路：实验思路：该实验通过产生随机序列x和y，经过函数变换得到随机序列a和ph(为了和程序对应，在这里用ph表示)，再求解
16、a和ph的均值和方差。为了实现从随机序列x和y到随机序列a和ph的转换，需要求得a和ph的表达式。由函数变换关系可以得到，A和的表达式为：2022-12-15 可以看到的表达式是一个分段函数，在Matlab中可以用if语句来实现。在程序编写中用到的Matlab函数：平方根函数为sqrt(x)；反正切arctgx函数atan(x)；可用pi表示。22AXY0,020,00/20,03/20,0YarctgXYXYarctgXYXYarctgXXXYXY 2022-12-15实验步骤实验步骤分别产生样本数目为1000的均值为0，方差为2的高斯随机序列x和y；根据函数变换式，求得随机序列a和ph；求
17、解a和ph的均值和方差；求a和ph的相关矩和协方差。2022-12-15实验报告要求实验报告要求给出实验题目的理论解，给出A和的概率分布，并讨论是否相互独立？给出调试成功的实验程序和实验结果。比较理论值和实验值，验证理论值和实验值是否相符，并进行一定的讨论。2022-12-15目录实验一实验一 随机变量函数变换随机变量函数变换实验二实验二 随机信号的功率谱随机信号的功率谱实验三实验三 系统对随机信号的响应系统对随机信号的响应实验四实验四 窄带随机过程窄带随机过程2022-12-15实验二实验二 随机信号的功率谱随机信号的功率谱 实验目的实验目的 学习使用Matlab进行随机信号功率谱的分析。通
18、过此实验，比较理论分析和仿真结果，从而巩固所学的知识。2022-12-15 准备知识准备知识随机信号样本的存储方随机信号样本的存储方法法 由于对随机信号的分析就是对得到的许多随机信号样本进行统计分析，因此首先需要对得到的样本进行记录，以便统计时进行调用。由于随机信号的样本是时间的函数，且计算机能处理的是经过采样以后的采样值，因此每一个样本可以看成是一个向量。对于许多的样本，可以采用矩阵来进行存储，例如矩阵的每一行为一个样本，每一列则为在某时刻个样本的取值。图2-1为N个样本，每个样本抽样M个点的存储矩阵X。图2-12022-12-15均值和自相关函数的计算均值和自相关函数的计算 在上一节中介绍
19、了随机变量的均值和相关矩的计算，在这一节中要计算的是随机信号，因此均值和自相关函数均是时间的函数。2022-12-15 随机信号均值定义为：随机信号均值定义为：对于如图2-1存储的矩阵，由于每一列为该时刻的不同样本值，因此每时刻的均值等于每一列的均值。在Matlab中使用mx=mean(X)计算。当随机信号X(t)为宽平稳随机信号时，则向量mx的每个值相同。()()XmtE X t2022-12-15 自相关函数定义为：自相关函数定义为：可以看到在计算过程中除了需要样本x(t)，还需要对样本进行时延后得到样本x(t+)。对于某时延 ，令新的样本 ，则 可以得到在时延不同时刻的自相关值。由于 除
20、了是时间t的函数，还是的函数，因此需要对不同的进行计算。如果采用矩阵来存储Rx，将 值计算得到的向量 排在第一行；将 值计算得到的向量 排在第二行，由此类推，则可以得到图2-2所示的矩阵。(,)()()XRtE X t X t11(,)()()z tx t x t1111(,)(,)(,)XRtE Z tmean Z t(,)XRt11(,)XRt2(,)XRt12022-12-15 如图2-2所示，矩阵的每一列为该时刻的自相关函数。当随机信号X(t)为宽平稳随机信号时，则不随时间t变化，只随时延变化，即矩阵的每一行的值相同。112111222212(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(
21、,)(,)XXXMXXXMXXQXQXMQRtRtRtRtRtRtRRtRtRt图2-22022-12-15 各态历经性各态历经性 二阶平稳过程X(t)满足各态历经性的条件为：类似统计自相关函数的求法，对于求时间平均，即为时延为的某样本的时间自相关函数值。每个样本，每个时延都可以得到一个时间自相关函数值。因此时间自相关函数是一个样本序号和时延的二维数组。存储结构如图2-3所示，其中si表示第i个样本。()()XX tE X tm()()()()()XX t X tE X t X tR112111222212(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)XXXMXXXMXXQXQXMQA
22、sAsAsAsAsAsAAsAsAs图2-32022-12-15 功率谱的计算功率谱的计算 当随机信号满足宽平稳条件时，可以用随机信号的自相关函数的傅立叶变换来计算随机信号的功率谱，即 。在Matlab中可以采用快速傅立叶变换fft来计算傅立叶变换值。当随机信号满足各态历经条件时，可以用周期图方法对信号的功率谱进行估算(参见随机信号分析87页)：()()XXPfF R21()XSXN2022-12-15 Matlab中的中的fft变换变换 使用Matlab中已定义的函数fft计算傅立叶变换的语法为：y=fft(x)。但需要注意的是变换后的频率范围为，频率采样的间隔为 ，其中为信号x的时间采样间
23、隔，T为时间长度。在求得y后需要经过y=y/N进行幅度校正和用y=fftshift(y)进行频移校正，其中N为信号x的采样点总数。并且fft得到的频率为圆频率f，而不是角频率。11,22tt2022-12-15 例：求的傅立叶变换，其中f0=10Hz。dt=0.01;%时间步长0.01st=-3:dt:3;%采样时间点fo=10%f0=10Hzx=cos(2*pi*fo*t);%求x(t)信号的采样信号y=fft(x);%求x(t)信号的采样信号的快速傅立叶变换y=y/length(t);%幅度校正y=fftshift(y);%频率移动f=linspace(-0.5/dt,0.5/dt,len
24、gth(x);%频率采样值subplot(2,1,1)plot(f,abs(y)%连线图subplot(2,1,2)stem(f,abs(y)%火柴杆图2022-12-15实验内容实验内容 实验题目实验题目 设随机信号 ，为在0,2内均匀分布的随机变量，当A分别为常数1和均值为0，方差为4的正态分布的随机变量时，求随机信号X(t)的均值和自相关函数，判断是否为宽平稳信号？求出随机信号样本x(t)的时间均值和时间自相关函数，判断是否满足各态历经条件？求随机信号X(t)的功率谱。0()cos(2)X tAf t01fHz2022-12-15实验步骤实验步骤 定义采样的时间t为0到4s之间，采样间隔
25、为0.01s。定义随机信号样本数目N=1000。产生随机序列和A，序列长度为随机信号样本数目N，得到N个随机信号样本，按照图2-1方式存储。计算统计平均和自相关函数，判断是否为宽平稳信号。计算时间平均和自相关函数，判断是否满足各态历经条件。求随机信号X(t)的功率谱。2022-12-15实验报告要求实验报告要求 给出实验题目的理论解。给出调试成功的实验程序和实验结果。比较理论值和实验值，验证理论值和实验值是否相符，并进行一定的讨论。2022-12-15目录实验一实验一 随机变量函数变换随机变量函数变换实验二实验二 随机信号的功率谱随机信号的功率谱实验三实验三 系统对随机信号的响应系统对随机信号
26、的响应实验四实验四 窄带随机过程窄带随机过程2022-12-15实验三实验三 系统对随机信号的响应系统对随机信号的响应 实验目的实验目的 本实验研究输入信号为随机信号，通过系统后的响应的统计特性。通过直接法和频域法两种方法计算响应的统计特性，来验证频域法的正确性。2022-12-152022-12-15 准备知识准备知识系统对随机信号的响应系统对随机信号的响应 对于系统的单位冲激响应h(t),系统输入的随机信号X(t)，则系统的输出响应为：(3-1)对于离散信号和系统，系统的输出响应为：(3-2)使用Matlab对随机信号通过系统的响应，可以通过对系统的输出样本进行统计分析，得到输出随机信号的
27、数字特征。(3-3)(3-4)(3-5)()()()()()Y thX tdXh td()()()()()mmY nh m X nmX m h nm()()Ym tE Y t(,)()()YR tE Y t Y t()()YYPF R2022-12-15 在理论上，通过线性系统输出的随机信号的数字特征可以表示为：(3-6)(3-7)(3-8)(3-9)0()YXmmhd0()YXmmmh m()()*()*()YXRRhh2()()()YXPPH2022-12-15 Matlab中系统响应的计算方法 线性时不变系统的传递函数的描述函数：sys=tf(num,den)其中num为传递函数分子多项
28、式系数向量，den为传递函数分母多项式系数向量。sys为传递函数对象，可采用一变量表示。2022-12-15 如 可表示为:num=1,2;den=1,2,2;h=tf(num,den);线性时不变系统对任意输入信号x(t)的响应描述为：y,t=lsim(sys,x,t)其中sys为传递函数对象，x和t为输入信号的幅值和相应的时刻点。需要注意的是输入信号t=0:dt:Tfinal，必须是从0时刻开始的信号。否则Matlab程序要报错。22()22sH sss2022-12-15 如信号经过系统 的响应可由以下程序来求得：num=1,2;den=1,2,2;h=tf(num,den)；t=0:0
29、.01:5;x=sin(2*pi*t);y,t=lsim(h,x,t);plot(t,y);22()22sH sss2022-12-15实验内容实验内容 实验题目实验题目 设确定性随机信号为 ：,其中A=B=2，为在0,2内均匀分布的随机变量。将X(t)输入到单位冲击响应为 的系统输入端。求：系统输出的随机信号的数学期望，自相关函数和功率谱。()cos(2)X tABt)(10)(10tUetht2022-12-15实验步骤实验步骤 建立输入信号的样本,采样时间从0到20s。建立系统传递函数。用直接法求各样本经过系统的响应，再对得到响应进行统计分析（求数学期望，自相关函数和功率谱）。用频域法进
30、行分析，求出输入信号的功率谱，利用公式(3-9)求响应的功率谱。分析和比较两种计算结果。2022-12-15实验报告要求实验报告要求 要求用直接法和频域法两种方法进行计算；给出调试成功的实验程序和实验结果。比较两种计算结果。2022-12-15目录实验一实验一 随机变量函数变换随机变量函数变换实验二实验二 随机信号的功率谱随机信号的功率谱实验三实验三 系统对随机信号的响应系统对随机信号的响应实验四实验四 窄带随机过程窄带随机过程2022-12-15实验四实验四 窄带随机过程窄带随机过程 实验目的实验目的 通过实验验证窄带平稳随机信号所具有的性质，理论结合实践，巩固所学的知识。2022-12-1
31、5窄带随机过程可以表示为 ：其中A(t)为窄带随机过程的包络，?(t)为窄带随机过程的相位，它们都是随机过程，当它们相对0都是慢变的。窄带随机过程X(t)的功率谱主要集中在载波频率0附近，频谱宽度远远小于0。由得到窄带随机过程的两个低频过程：(4-1)(4-2)00000()()cos()()cos()cos()sin()sin()cos()sinCSX tA tttA tttA tttA ttA tt()()cos()CA tA tt()()sin()SA tA tt0()()cos()X tA ttt2022-12-15 对于X(t)是零数学期望窄带平稳随机信号，AC(t)和AS(t)具有
32、如下性质：AC(t)和AS(t)皆为数学期望为零的平稳随机过程，且两者联合平稳；AC(t)和AS(t)具有相同的自相关函数和功率谱；即 ；AC(t)和AS(t)的互相关函数为奇函数 ，在同一时刻 ，互功率谱 ；如果窄带随机过程X(t)的单边功率谱是关于0对称的，那么AC(t)和AS(t)的互相关函数和互功率谱恒为零，两个低频过程正交即：()()CSAARR()()CSAASS()()()CSSCCSA AA AA ARRR (0)(0)0CSSCA AA ARR()()CSSCA AA ASS()()0CSSCA AA ARR()()0CSSCA AA ASS00()()cos()()cos(
33、)CSXAARRR 2022-12-15实验内容实验内容 实验题目实验题目 设窄带随机过程 ，其中 ,为在0,2上均匀分布的随机变量；?(t)为0,2上均匀分布的随机过程。求窄带随机过程X(t)的两个低频过程自相光函数，互相关函数以及功率谱和互功率谱；验证零数学期望窄带平稳随机信号所具有的性质。0()()cos()X tA ttt()2cos(2)A tt2022-12-15实验步骤实验步骤 建立窄带随机过程AC(t)和AS(t)的样本，样本数目1000，采样时间0,20s。计算AC(t)和AS(t)的数学期望。计算AC(t)和AS(t)的自相关函数。由AC(t)和AS(t)的自相关函数，计算AC(t)和AS(t)的功率谱。计算AC(t)和AS(t)的互相关函数。由AC(t)和AS(t)的互相关函数，计算AC(t)和AS(t)的互功率谱。观察AC(t)和AS(t)的自相关函数，功率谱，互相关函数，互功率谱的计算结果，是否满足零数学期望窄带平稳随机信号的性质。2022-12-15实验报告要求实验报告要求 给出调试成功的实验题目的程序；分析得到的仿真结果，讨论其中的误差和减小误差的方法；分析得到的仿真结果，是否满足零数学期望窄带平稳随机信号的性质。LOGO2022-12-
