1、第四节一、隐函数的导数一、隐函数的导数三、由参数方程确定的函数的导数三、由参数方程确定的函数的导数 四、相关变化率四、相关变化率 隐函数和参数方程求导 相关变化率 第二章 二、对数求导法二、对数求导法定义定义:0),(yxF)(xfy 隐函数的显化隐函数的显化一、隐函数的导数一、隐函数的导数31xy例如例如,013 yx可确定显函数03275xxyy可确定 y 是 x 的函数,但此隐函数不能显化.若由方程0),(yxF可确定 y 是 x 的函数,函数为隐函数隐函数.则称此由)(xfy 表示的函数,称为显函数显函数.0),(yxF0),(ddyxFx两边对 x 求导(注意注意 y=y(x)(含导
2、数 的方程)y问题问题:隐函数不易显化或隐函数不易显化或不能显化时，不能显化时，如何求导如何求导?隐函数求导法则隐函数求导法则:用复合函数求导法则用复合函数求导法则直接对方程两边求导直接对方程两边求导.即：例例1.1.,00 xyxdxdydxdyyeexy的导数的导数所确定的隐函数所确定的隐函数求由方程求由方程解解,求导求导方程两边对方程两边对x0 dxdyeedxdyxyyx解得解得,yxexyedxdy ,0,0 yx由原方程知由原方程知000 yxyxxexyedxdy.1 例例2.求椭圆191622yx在点)3,2(23处的切线方程.解解:椭圆方程两边对 x 求导8xyy920y23
3、23xyyx1692323xy43故切线方程为323y43)2(x即03843 yx解解:方程两边对 x 求导可得，从而，二、对数求导法二、对数求导法观察函数观察函数.,)4(1)1(sin23xxxyexxxy 方法方法:先先在方程两边在方程两边取对数取对数,然后然后利用隐函数的利用隐函数的求导求导方法方法求出导数求出导数.-对数求导法对数求导法适用范围适用范围:例例4.求)0(sinxxyx的导数.解解:两边取对数,化为隐式xxylnsinln两边对 x 求导yy1xx lncosxxsin)sinlncos(sinxxxxxyx法2：用e抬起法。例例5.求求)4)(3()2)(1(xxx
4、xyuuu)ln(21lny对 x 求导21yy)4)(3()2)(1(21xxxxy41312111xxxx解：取对数2ln1lnxx4ln3lnxx11x21x31x41x的导数。结论：三、由参数方程确定的函数的导数三、由参数方程确定的函数的导数定理定理：若参数方程)()(tytx可确定一个 y 与 x 之间的)(,)(tt可导,且,0)()(22tt则0)(t时,有xyddtxtydd1dd)()(tt函数关系,22ddxy)()()()()(3ttttt )dd(ddxyx分析：)(22dxdydxddxyd)(1)()()()()(2tttttt 由由复合函数及反函数的求导法则复合函
5、数及反函数的求导法则得得)()(tt dtdxdtdydxdy 即即xydd)()(dd22ttxy,)()(ttxydd?例例6.设)(tfx,且,0)(tf求.dd22xy ddxy)(tft)(tf ,t dd22xy1)(tf 已知解解:)()(tftfty注意注意:对谁求导?例例7.设由方程)10(1sin 222yytttx确定函数,)(xyy 求.ddxy解解:方程组两边对 t 求导,得故xydd)cos1)(1(ytttyddtxddt2yttycos12dd22 tycostydd0)1(2ddttxtyddtxdd例例8.抛射体运动轨迹的参数方程为 1tvx 求抛射体在时刻
6、 t 的运动速度的大小和方向.解解:速度的水平分量,dd1vtx垂直分量,dd2tgvty故速度大小22)dd()dd(tytxv2221)(gtvv速度方向(即轨迹的切线方向):设 为切线倾角,tanxyddtyddtxdd12vtgv 则2212tgtvyyxO四、相关变化率四、相关变化率)(,)(tyytxx为两个可导函数yx,之间有联系tytxdd,dd之间也有联系称为相关变化率相关变化率解题步骤:找出相关变量的关系式对 t 求导得相关变化率之间的关系式求出未知的相关变化率试求当容器内水Rhxhr例例9.有一底半径为 R cm,高为 h cm 的圆锥容器,今以 自顶部向容器内注水,sc
7、m253位等于锥高的一半时水面上升的速度.解解:设时刻 t 容器内水面高度为 x,水的VhR231)(231xhrh)(33322xhhhR两边对 t 求导tVdd22hR2)(xh,ddtx而,)(25222xhRh,2时当hx hxhRr故txdd)scm(25dd3tV)scm(100dd2Rtx体积为 V,则Rxr内容小结内容小结1.隐函数求导法则直接对方程两边求导2.对数求导法:适用于幂指函数及某些用连乘,连除表示的函数4.相关变化率问题列出依赖于 t 的相关变量关系式对 t 求导相关变化率之间的关系式3.参数方程求导参数方程求导法则法则 转化为对参数t求导 记住公式记住公式求其反函
8、数的导数.,exxy解解:xyddyxdd方法方法1xe1y1xe11方法方法2 等式两边同时对 求导y1yxddxeyxddyxdd备用题备用题xe111.设2.设,)2(2)(sin32lntanxxxxxyxx求.y1y2y提示提示:分别用对数求导法求.,21yy答案答案:21yyy)1sinln(sec)(sin2tanxxxx32ln)2(31xxxx)2(32)2(3ln21xxxxx3.设)(xyy 由方程eeyxy确定,)0(y解解:方程两边对 x 求导,得0eyxyyy再求导,得2eyy yxy)(e02 y当0 x时,1y故由 得e1)0(y再代入 得2e1)0(y 求.)0(y,求01sine232ytttxy.dd0txy解解：方程组两边同时对 t 求导,得 txddyetydd0ddtxy4.设26 ttyddtsin0ddtytycosettyysine1cosetxtydddd0)26)(sine1(cosetyyttt2e0t
