1、第十一章第十一章 流体力学流体力学(Mechanics of fluids)l理想流体理想流体l流体静力学流体静力学l流体运动学流体运动学 流迹流迹 流线流线 流管流管 定常流动定常流动 不可压缩流体作定常流动时的连续性方程不可压缩流体作定常流动时的连续性方程l流体动力学流体动力学 伯努利方程伯努利方程 流体的动量和角动量流体的动量和角动量理想流体理想流体 不可压缩流体不可压缩流体液体液体几乎不可压缩；几乎不可压缩；流动的气体流动的气体流速不大时，密度几流速不大时，密度几乎均匀，可认为不可压缩。乎均匀，可认为不可压缩。l 理想流体理想流体（ideal fluid）既既不可压缩不可压缩，又，又无
2、粘性无粘性的的 流体，是一个流体，是一个理想化模型理想化模型。非粘性流体非粘性流体流体流动时，流层与流层之间存在流体流动时，流层与流层之间存在内摩擦力内摩擦力（粘滞粘滞力力）。当流动性是主要时，可忽略粘滞力，认为流体）。当流动性是主要时，可忽略粘滞力，认为流体是是非粘性流体非粘性流体。管道中，中间流体流速大，管道中，中间流体流速大，两边流体流速小。两边流体流速小。静止流体内部静止流体内部不存在阻碍层与层之间发生相对滑动趋势不存在阻碍层与层之间发生相对滑动趋势的阻力（静摩擦力）。的阻力（静摩擦力）。这正是流体具有流动性的原因。这正是流体具有流动性的原因。l 静止流体的特点静止流体的特点流体静力学
3、流体静力学l 流体静力学流体静力学主要研究主要研究静止静止或或相对静止相对静止流体中流体中压力压力、密度密度、温度温度等参数的等参数的分布分布以及流体对器壁或物体的以及流体对器壁或物体的作用作用 的流体力学分支。的流体力学分支。l 静止流体内的压强静止流体内的压强Q点处对应于无限小点处对应于无限小S面的压强为面的压强为0limSFpS 问：问：1、压强是标量还是矢量？、压强是标量还是矢量？2、压强、压强 p与与S所取的方位有没有关系？所取的方位有没有关系？流体静力学流体静力学S（假想截面）（假想截面）Q 正压力正压力F0sin0coslnplxplnplypnynx因为因为cossinnynx
4、 所以所以nyxppp表明：表明：静止流体内一点的压强只与该点在液体内的静止流体内一点的压强只与该点在液体内的位置位置有关，而与有关，而与面元的方位面元的方位无关。无关。PyPxPnl 推导：推导：如图，在如图，在Q点附近取一点附近取一无限小无限小三棱直角柱体。由三棱直角柱体。由于重力很小，可忽略。可得于重力很小，可忽略。可得平衡方程平衡方程如下：如下：lnxyQpzpz静止流体内的压强静止流体内的压强 x y nxy QPxPyPnl 纵向：纵向：沿沿铅直方向铅直方向的压强分布的压强分布得到得到压强梯度压强梯度ddpgy 表明：表明：在重力场中，静止流体在重力场中，静止流体内的压强随流体的内
5、的压强随流体的高度高度的的增加增加而减少而减少，或随流体，或随流体深度深度的的增加增加而增加而增加。静止流体内的压强分布静止流体内的压强分布yyy+dypp+dpdmgdS流体中微小圆柱体处于平衡状态，所以有流体中微小圆柱体处于平衡状态，所以有:d(d)dddpSppSySg 压强梯度压强梯度静止流体内的压强分布静止流体内的压强分布.高度分别为高度分别为y1和和y2的两点的的两点的压强差压强差为：为：2121dyyppg y yy1y212O压强梯度压强梯度ddpgy l 横向：等高点横向：等高点的压强相等的压强相等面积力面积力 只作用在物体表面上的力。只作用在物体表面上的力。如压力、摩擦力等
6、。如压力、摩擦力等。体积力体积力 作用在物体全部体积上的力。作用在物体全部体积上的力。如重力、万有引力、电场力等。如重力、万有引力、电场力等。等压强的点组成的面叫等压强的点组成的面叫等压面等压面。在。在重力场重力场中，静止流中，静止流体的等压面是水平面，与重力体的等压面是水平面，与重力(体积力体积力)垂直。垂直。h1h2p1p2G静止流体内的压强分布静止流体内的压强分布pAS=pBS，即有，即有 pA=pB 如图，如图，A、B点等高，半径为无限小的圆柱体两底面分点等高，半径为无限小的圆柱体两底面分别经这两点，底面积为别经这两点，底面积为S。因为圆柱体处于平衡状态，。因为圆柱体处于平衡状态，所以
7、有：所以有：ABSpApB得得00ddppg yp 分离变量，积分得：分离变量，积分得：0000ddpyppg ypp 故有故有ypgepp000ypOp0例例 已知地面的大气压强和空气密度分别为已知地面的大气压强和空气密度分别为p0和和 0。若大若大气温度不随高度变化，则大气密度气温度不随高度变化，则大气密度 与大气压强与大气压强p成正比。成正比。试求大气压强试求大气压强p随高度变化的规律（假设重力加速度为一随高度变化的规律（假设重力加速度为一恒量）。恒量）。yO例例 题题 1解：解：根据根据 和和00 pp条（由初始件得出）ddpgy 静止流体内的压强分布静止流体内的压强分布式中式中p0是
8、液面处的压强，是液面处的压强，h是离液面的深度。是离液面的深度。由于液体由于液体近于不可压缩近于不可压缩，视其密度为恒量，那么有：，视其密度为恒量，那么有：0ppgh2121dyyppg y l 深度深度为为h处处液体液体压强压强Oyhp0py2y1任取一面元任取一面元S，其深度为其深度为h。所受的液体压强为。所受的液体压强为p。那么，。那么，竖直方向上的分力为：竖直方向上的分力为：dcoscosdFp Sgh Sg V如图，浸在液体中的物体所受的浮力等于如图，浸在液体中的物体所受的浮力等于液体作用液体作用于所于所接触的表面各面元的压力沿接触的表面各面元的压力沿竖直方向竖直方向的分力之和。的分
9、力之和。P hSp阿基米德原理阿基米德原理(Archimedes principle)问：问：为什么不是为什么不是？0ppgh式中式中dV是面元是面元S上方到液面上方到液面的那部分物体的体积。的那部分物体的体积。所以物体所受到的浮力为所以物体所受到的浮力为:此式亦可用于此式亦可用于压缩性影响压缩性影响可以忽略的可以忽略的气体气体产生的产生的浮力。浮力。P hSp阿基米德原理阿基米德原理(Archimedes principle)0dVFg VgVW浸浸排F合mg*tfma a因此，因此，小车中的左上方处，液体的压强小，而右下方处小车中的左上方处，液体的压强小，而右下方处液体的压强大液体的压强大
10、。如果在水下释放一软木球，它将垂直等压面向小车的左如果在水下释放一软木球，它将垂直等压面向小车的左上方运动。上方运动。相对于非惯性系静止的流体相对于非惯性系静止的流体l 如图，加速运动的小车里，车内液体任一质元受到重力如图，加速运动的小车里，车内液体任一质元受到重力 和惯性力两种体积力，它们的合力为和惯性力两种体积力，它们的合力为 （惯性力和重（惯性力和重 力具有相似的特征）力具有相似的特征）。F合 也是体积力，所以液体中的等压面与也是体积力，所以液体中的等压面与 垂直，是倾垂直，是倾斜的。斜的。F合F合l 一匀速转动的水桶，水相对桶静止。求水的自由表面达一匀速转动的水桶，水相对桶静止。求水的
11、自由表面达 到稳定时的形状。到稳定时的形状。相对于非惯性系静止的流体相对于非惯性系静止的流体rmg2m r rFO水面水面zl 教材思考题教材思考题11.5。l 研究流体运动的两种方法研究流体运动的两种方法流体运动学流体运动学流体力学用以上方法研究流体运动。流体力学用以上方法研究流体运动。例如：例如：城市公共交通部门采用两种方法统计客运量：城市公共交通部门采用两种方法统计客运量：（1）在每一辆公交车上设安排记录员，记录每辆车在不在每一辆公交车上设安排记录员，记录每辆车在不同时刻（站点）上下车人数，此法称为同时刻（站点）上下车人数，此法称为随体法随体法；6上上9下下7上上8下下2 路车路车5上上
12、3下下3上上4下下1 路车路车岗顶站岗顶站华师站华师站车名车名站名站名6上上9下下5上上3下下岗顶站岗顶站7上上8下下3上上4下下华师站华师站2 路车路车1 路车路车站名站名车名车名（2）在每一站点设记录员，记录不同时刻经过该站点的在每一站点设记录员，记录不同时刻经过该站点的车辆上下车人数，此法称为车辆上下车人数，此法称为当地法当地法。l 拉格朗日法（随体法）拉格朗日法（随体法）这种方法只有了解了这种方法只有了解了所有微团所有微团的运动规律后，才能的运动规律后，才能知道整个流体的运动情况。但由于微团的数量非常巨大，知道整个流体的运动情况。但由于微团的数量非常巨大，所以实际上很难做到。所以实际上
13、很难做到。把流体分成许多无限小的流体微团，并追踪把流体分成许多无限小的流体微团，并追踪每个微团每个微团，求出它们各自的运动规律。一定微团的运动轨迹叫该微求出它们各自的运动规律。一定微团的运动轨迹叫该微团的团的流迹流迹（pathline），其运动学方程为：），其运动学方程为：00(,)rr r v t 微团的运动规律是微团的运动规律是初位矢初位矢、初速度初速度和和时间时间的函数。的函数。两种方法两种方法 将运动学方程对时间求导数，以获得流体微团的速度将运动学方程对时间求导数，以获得流体微团的速度和加速度。和加速度。在流体力学中，欧拉法比拉格朗日法更有效。在流体力学中，欧拉法比拉格朗日法更有效。两
14、种方法两种方法l 欧拉法（当地法）欧拉法（当地法）把注意力转移到把注意力转移到各空间点各空间点，观测各个流体微团经过这些，观测各个流体微团经过这些空间点时的空间点时的流速流速。如果每一空间点的流速随时间变化的。如果每一空间点的流速随时间变化的规律知道了，则整个流体的运动情况就掌握了。规律知道了，则整个流体的运动情况就掌握了。微团经过微团经过某个空间点时的某个空间点时的流速流速为：为：流速是流速是空间点坐标空间点坐标与与时间时间的函数。的函数。),(),(tzyxvtrvv流体运动学的基本概念流体运动学的基本概念l 流线流线（streamline）（可类比）（可类比电场线电场线）流线是这样的曲线
15、：其上每一点流线是这样的曲线：其上每一点的的切线方向切线方向和位于该处的流体微和位于该处的流体微团的团的速度方向速度方向一致。其一致。其疏密疏密可表可表示该处示该处流速大小流速大小。Pvl 流速场流速场（flow velocity field）每一点都有一定的每一点都有一定的流速矢量流速矢量与之相对应的空间。与之相对应的空间。),(),(tzyxvtrvv(可类比可类比电场电场：),(),(tzyxEtrEE 一般地，一般地，流线是时间的函数流线是时间的函数，每一时刻，每一时刻的分布都不的分布都不 相同。即流线分布与一定的瞬时相对应相同。即流线分布与一定的瞬时相对应;流迹流迹描述的是描述的是同
16、一微团同一微团在在不同时刻不同时刻的空间位置和速的空间位置和速 度方向（电影）。度方向（电影）。流线流线描述的是描述的是同一时刻同一时刻不同微团不同微团 的速度情况（相片）的速度情况（相片）;一般地，流迹与流线一般地，流迹与流线不重合不重合;任意两条流线任意两条流线不相交不相交。基本概念基本概念l 几点说明：几点说明：基本概念基本概念l 定常流动定常流动（或（或稳定流动稳定流动，steady flow）任意空间点的流速不随时间而变化，这样的流动称为任意空间点的流速不随时间而变化，这样的流动称为定定常流动常流动。()(,)vv rv x y z 定常流动的定常流动的流线流线和和流管流管都保持都保
17、持固定形状固定形状和和位置位置。流线流线和和流迹重合流迹重合。定常流动时，。定常流动时，流体在固定的流管流体在固定的流管 中流动，而流管无限变细时就成为流线。所以此时中流动，而流管无限变细时就成为流线。所以此时 流迹与流线重合。流迹与流线重合。因为流线不相交，所以流管内外的流体都不具有穿过流因为流线不相交，所以流管内外的流体都不具有穿过流管壁面的速度。管壁面的速度。l 流管流管（tube of flow）在流体内部画在流体内部画微小封闭曲线微小封闭曲线，通过封，通过封闭曲线上各点的流线所围成的闭曲线上各点的流线所围成的细管细管。0limtVQt 在在t 时间间隔内，通时间间隔内，通过流管某横截
18、面过流管某横截面S 的流体体积为的流体体积为V，V和和t 之比当之比当t0时的极限称为该横截面上的时的极限称为该横截面上的流量流量。不可压缩流体作定常流动时的连续性方程不可压缩流体作定常流动时的连续性方程若流管很细，可认为形成流管的各条流线平行，且横若流管很细，可认为形成流管的各条流线平行，且横截面上各点流速相等，截面上各点流速相等，v 表示该横截面上的流速大小，表示该横截面上的流速大小，则则流量流量Q为为:0limtlSQv St l 流量流量Q（flow rate）单位：单位：3m s L s，VlSvl 不可压缩流体作定常流动时的连续性方程不可压缩流体作定常流动时的连续性方程S1S21v
19、2v不可压缩流体作定常流动时的连续性方程不可压缩流体作定常流动时的连续性方程通过流管各截面的流量相等通过流管各截面的流量相等不可压缩流体作定常流动时的不可压缩流体作定常流动时的连续性方程连续性方程或或v S常量因为因为流体不能穿越流管壁出入流管，故封闭体内流体流体不能穿越流管壁出入流管，故封闭体内流体质量恒定；且质量恒定；且流体不可压缩，故封闭体内流体密度恒流体不可压缩，故封闭体内流体密度恒定。因而定。因而 时间内：时间内：由由S1流入的流体质量流入的流体质量=由由S2流出的流体质量流出的流体质量dt即即2211SvSv S1处的流量处的流量=S2处的流量处的流量即即1122ddvS tvSt
20、 对对同一同一流管，横截面积流管，横截面积小小处，流速处，流速大大；横截面积；横截面积大大 处，处，流速流速小小。对对同一同一流管，横截面流管，横截面小小处流线处流线密密，流速，流速大大；横截面；横截面大大 处流线处流线疏疏，流速，流速小小。因此流线。因此流线疏密疏密反映了流速反映了流速大小大小。2211SvSvl 讨论：讨论：VlS1S21v2v问：问：为什么为什么水流自水流自上上而而下下由由粗粗变变细细？不可压缩流体作定常流动时的连续性方程不可压缩流体作定常流动时的连续性方程l 伯努利效应的应用举例伯努利效应的应用举例 飞机机翼、飞机机翼、船吸现象、汽油发动机的汽化器。船吸现象、汽油发动机
21、的汽化器。l 1726年，瑞士物理学家、数学家、医学家年，瑞士物理学家、数学家、医学家伯努利伯努利通过无通过无 数次实验，发现了数次实验，发现了“边界层表面效应边界层表面效应”：流体速度加快：流体速度加快 时。物体与流体接触的界面上的压力会减小，反之压力时。物体与流体接触的界面上的压力会减小，反之压力 会增加。为纪念这位科学家的贡献，这一发现被称为会增加。为纪念这位科学家的贡献，这一发现被称为 “伯努利效应伯努利效应”。伯努利（伯努利（D.Bernouli 17001782）。开辟）。开辟并命名了并命名了“流体动力学流体动力学”学科，十年寒窗学科，十年寒窗写就写就流体动力学流体动力学一书。一书
22、。理想流体动力学理想流体动力学伯努利效应伯努利效应l 在列车站台上都划有安全线。这是由于列车高速驶来在列车站台上都划有安全线。这是由于列车高速驶来 时，靠近列车车厢的空气将被带动而运动起来，压强就时，靠近列车车厢的空气将被带动而运动起来，压强就 减小，站台上的旅客若离列车过近，旅客身体前后出现减小，站台上的旅客若离列车过近，旅客身体前后出现 明显压强差，将使旅客被吸向列车而受伤害。明显压强差，将使旅客被吸向列车而受伤害。伯努利效应伯努利效应l 船吸现象船吸现象：1912年秋天，年秋天，“奥林匹克奥林匹克”号正在大海上航号正在大海上航 行，在距离这艘当时世界上最大远洋轮的行，在距离这艘当时世界上
23、最大远洋轮的100米处，有米处，有 一艘比它小得多的铁甲巡洋舰一艘比它小得多的铁甲巡洋舰“豪克豪克”号正在向前疾驶，号正在向前疾驶，两艘船似乎在比赛，彼此靠得较拢，平行着驶向前两艘船似乎在比赛，彼此靠得较拢，平行着驶向前 方。忽然，正在疾驶中的方。忽然，正在疾驶中的“豪克豪克”号好像被大船吸引似号好像被大船吸引似 地，一点也不服从舵手的操纵，竟一头向地，一点也不服从舵手的操纵，竟一头向“奥林匹克奥林匹克”号号 闯去。最后，闯去。最后，“豪克豪克”号的船头撞在号的船头撞在“奥林匹克奥林匹克”号的号的船舷船舷 上，撞出个大洞，酿成一件重大海难事故。上，撞出个大洞，酿成一件重大海难事故。参考系参考系
24、惯性系；惯性系；研究对象研究对象重力场中理想流体定常流动时的重力场中理想流体定常流动时的任一微团任一微团和和地球地球组成的组成的系统系统。l 伯努利方程伯努利方程（Bernoulli s equation）伯努利方程伯努利方程1738年伯努利提出的。研究在年伯努利提出的。研究在惯性系惯性系中，中，理想流体理想流体在在重重力场力场中作中作定常流动定常流动时时一流线上一流线上（或细流管内或细流管内）的）的压强压强、流速流速和和高度高度的关系。的关系。应用质点系应用质点系功能原理：功能原理：21AAEE外非保内微团线度和它所经过的路径相比非常小，可视为微团线度和它所经过的路径相比非常小，可视为质点质
25、点。l 在理想流体内某一细流管中任取微团在理想流体内某一细流管中任取微团ab，自位置，自位置1运动运动 至位置至位置2，在，在1和和2处的长度各为处的长度各为l1和和l2，底面积各为，底面积各为 S1和和S2，质量为，质量为 。1122mlSlS 伯努利方程伯努利方程a1l1b1h1h2l2a2b2S1S2 由于流体微团所受的由于流体微团所受的 侧压力侧压力不做功，而微不做功，而微 团运动过程中，团运动过程中，后面后面 的压力的压力做正功，做正功，前面前面 的压力的压力做负功。做负功。p2p11p2p 理想流体不存在粘性力。理想流体不存在粘性力。质点系不存在非保守内力。以下分析质点系外力以及外
26、质点系不存在非保守内力。以下分析质点系外力以及外力做功情况。力做功情况。应用质点系应用质点系功能原理：功能原理：21AAEE外非保内a1l1b1h1h2l2a2b2S1S2l 定常流动中，各定常流动中，各空间位置点空间位置点处的压强不随时间改变，所处的压强不随时间改变，所 以后底经过以后底经过b1a2段时，后方压力所做的段时，后方压力所做的正正功，与前底经功，与前底经 过过b1a2段时前方压力所做的段时前方压力所做的负负功，正好功，正好抵消抵消。于是：。于是：222111lSplSpA外伯努利方程伯努利方程p2p11p2p根据质点系的根据质点系的功能原理功能原理有：有：111222222222
27、2211 11111()21 ()2pSlpSlSl vSl ghSl vSl gh 因为因为2211lSlS伯努利方程伯努利方程所以所以恒量222211212121pghvpghv伯努利方程伯努利方程令令 ，流管变流，流管变流线，伯努利方程中的各量线，伯努利方程中的各量表示同一流线上不同两点表示同一流线上不同两点1和和2的取值。的取值。0S 1p2h1h2p121v2vl 伯努利方程伯努利方程在惯性系中，在重力场中做定常流动在惯性系中，在重力场中做定常流动 的理想流体的一定流线上（或细流管内）各点的量的理想流体的一定流线上（或细流管内）各点的量 为一常量。为一常量。212vghp 应用伯努利
28、方程解题时，应用伯努利方程解题时，必须画图必须画图，并在图中画出，并在图中画出 所选的流线所选的流线及及标出所选的点标出所选的点；伯努利方程中，下标为伯努利方程中，下标为1的量与下标为的量与下标为2的量所对应的量所对应 的的1、2两点两点必须必须是是同一流线同一流线上（或上（或细流管内细流管内）的）的两两 点点；对于对于不同不同的流线，的流线，恒量恒量一般是一般是不同不同的（有特例）；的（有特例）；对于对于水平流管水平流管有有2211221122vpvp；恒量 等高点的压强不一定相等等高点的压强不一定相等（与（与静止流体静止流体不同之不同之 处）。流速大处，压强小；流速小处，压强大。处）。流速
29、大处，压强小；流速小处，压强大。伯努利方程伯努利方程l 几点说明：几点说明：212vghp 恒量l 大容器的底部开有一小孔，小孔的线度与容器中液体的大容器的底部开有一小孔，小孔的线度与容器中液体的 深度深度h 相比很小。把液体视作理想流体，求在重力场中相比很小。把液体视作理想流体，求在重力场中 液体从小孔流出的速度（液体密度为液体从小孔流出的速度（液体密度为）。）。h12解：解：因为小孔很小，若观测时间较短，液面高度无明显变因为小孔很小，若观测时间较短，液面高度无明显变化，可认为液体的流动是定常流动。由于液面高度不变，化，可认为液体的流动是定常流动。由于液面高度不变，液体自由表面处流速为零。液
30、体自由表面处流速为零。对如图所示的流经对如图所示的流经1、2两点的流线应用两点的流线应用伯努利方程伯努利方程得：得：02021pvpgh所以液体从小孔流出的速度为所以液体从小孔流出的速度为:ghv2例例 题题 2l 文特利文特利(Venturi)流量计原理流量计原理文特利管常用于测量液体在管中的流量或流速。如图，在文特利管常用于测量液体在管中的流量或流速。如图，在变截面管的下方，装有变截面管的下方，装有U形管测压计，内装水银。测量水形管测压计，内装水银。测量水平管道内的流速时，可将流量计串联于管道中，根据水银平管道内的流速时，可将流量计串联于管道中，根据水银表面的高度差，即可求出流量或流速。表
31、面的高度差，即可求出流量或流速。已知文特利管截已知文特利管截面为面为S1和和S2，水，水银和液体的密度银和液体的密度分别为分别为 汞汞和和，水银面的高度差水银面的高度差为为h，求液体流，求液体流量。设管中理想量。设管中理想流体作定常流动。流体作定常流动。例例 题题 3液体液体管道管道h S1S2U型管测压计型管测压计文特利管文特利管例例 题题 3解：解：在在文特利管文特利管中心轴线取经过中心轴线取经过1、2两点的流线，应用两点的流线，应用伯伯努利方程努利方程：2221212121pvpv管道管道h S1,p1 21S2,p2 又据不可压缩流体在定常流动时的又据不可压缩流体在定常流动时的连续性方
32、程连续性方程有：有：2211SvSvQ再据再据静止流体的压强公式静止流体的压强公式有：有：12ppghgh汞由以上三式可解得由以上三式可解得流量流量:221222122()1122ghS SSSQv Sv S汞（）例例 题题 3管道管道h S1,p1 21S2,p2 例例 题题 4l 课本课本P357例题例题2 皮托管（皮托管（Pitot tube)原理原理 18世纪法国工程师皮托发明的。皮托管由一个圆头世纪法国工程师皮托发明的。皮托管由一个圆头的双层套管组成，外套管直径为的双层套管组成，外套管直径为D，在圆头中心，在圆头中心2处开一处开一个与内套管相连的总压孔，连接测压计的一端；同时在个与内
33、套管相连的总压孔，连接测压计的一端；同时在外套管侧表面距外套管侧表面距2处约处约3D的距离的的距离的1与与l处沿周向均匀地处沿周向均匀地开一排与外管壁垂直的静压孔，连接测压计的另一端。开一排与外管壁垂直的静压孔，连接测压计的另一端。测量时将皮托管放在欲测速度的测量时将皮托管放在欲测速度的稳定稳定气体气体中，并使管轴与气流方中，并使管轴与气流方向一致，管子的前缘对着来流，向一致，管子的前缘对着来流，测得两者的压力差测得两者的压力差p2-p1，即可得，即可得出流速。出流速。2为为驻点驻点，流速为零。，流速为零。U型管型管测压计测压计皮托管皮托管例例 题题 423l 将伯努利方程应用于将伯努利方程应
34、用于22附近的小流管，得到：附近的小流管，得到：22222212ghpvghp将伯努利方程应用于将伯努利方程应用于31附近的小流管，得到：附近的小流管，得到：221113331122vghpvghp例例 题题 423l 由于离皮托管很远的由于离皮托管很远的2和和3点很靠近，所以可认为它们点很靠近，所以可认为它们 有相同的速度、高度和压强，因此：有相同的速度、高度和压强，因此：22211112ghpvghp2和和1点高度差近似为零，因此：点高度差近似为零，因此：2112ppv例例 题题 421ppgh液因此：因此：12ghv液皮托管很小，放进流体后不会显著地影响各点流速，因皮托管很小，放进流体后
35、不会显著地影响各点流速，因此可认为待测流速为此可认为待测流速为2ghv液l 设理想流体在沿设理想流体在沿弯管弯管作定常流动，则流体对弯管作用以作定常流动，则流体对弯管作用以 力，现用动量的概念讨论流体施予弯管的力（与习题力，现用动量的概念讨论流体施予弯管的力（与习题 3.7.4比较一下）。比较一下）。流体的动量流体的动量流体的动量流体的动量l1a1a2b1b2l21F2F2v1v3Fmgl 设弯管入口处的流体速度为设弯管入口处的流体速度为 ，出口处速度为，出口处速度为 。横截。横截 面面a1和和a2分别靠近入、出口，取分别靠近入、出口，取它们之间的流体它们之间的流体为研究为研究 对象。对象。1
36、v2vl 流体在流体在t 时间内从时间内从a1a2流到流到b1b2，动量变化为：，动量变化为：111222vSlvSlKl 用用 表示表示 的的矢量和矢量和在在t 时间内的平均时间内的平均 值，重力值，重力mg很小，可忽略。很小，可忽略。F123FFF、流体的动量流体的动量l1a1a2b1b2l21F2F2v1v3Fmg据质点系动量定理得：据质点系动量定理得：22211 1F tlS vlS v 212211llFSvSvtt 21123dttFFFtFt流体的动量流体的动量l1a1a2b1b2l21F2F2v1v3Fmg21221 1002221 1121limlim ()ttllFS vS
37、 vttS v vS v vQ vv 当当t0 时，时，12321()FFFFQ vv对于对于定常流动定常流动，32121FFFvvQ、都不随时间而变化，所以都不随时间而变化，所以管壁对流体的作用力管壁对流体的作用力为：为：)()(21123FFvvQF据牛顿第三定律得，据牛顿第三定律得，流体对管壁的作用力流体对管壁的作用力为：为：)(122133vvQFFFF流体的动量流体的动量结论：结论：流体对管壁的作用力与流体对管壁的作用力与流体密度流体密度、流量的大小流量的大小、流速的变化流速的变化以及以及入、出口的压力入、出口的压力都有关系。都有关系。l 大容器下有小孔，自大容器下有小孔，自A处向容
38、器供水，自处向容器供水，自B处泻水，液处泻水，液 面呈漏斗状。面呈漏斗状。l 自自A处进入容器的流体微团，由外周向中间旋转，因无处进入容器的流体微团，由外周向中间旋转，因无 切向力，所以对中间轴角动量守恒。在切向力，所以对中间轴角动量守恒。在液体表面上液体表面上自自A 处附近至接近处附近至接近B处取处取A B流线流线，A处运动半径大，切向处运动半径大，切向 速度就小，速度就小，B处半径小，切向速度就大；处半径小，切向速度就大；流体的角动量流体的角动量A BAh Bl 流体微团向下泄出，泄水口直径流体微团向下泄出，泄水口直径 远小于容器口径，则由连续性方远小于容器口径，则由连续性方 程可知，流体微团向下运动的分程可知，流体微团向下运动的分 速度也越来越大。速度也越来越大。BAvv因此：因此：A处在水的表面，所以处在水的表面，所以0ppA据伯努利方程有据伯努利方程有ghvvAB222121故故h大于零，即筒内水表面不可能大于零，即筒内水表面不可能是水平的，中间必下降呈漏斗状。是水平的，中间必下降呈漏斗状。流体的角动量流体的角动量又因为又因为B处很靠近处很靠近B处处，所以所以0pppBBA BAh B作作 业业l 习题习题 11.4.3
