1、 记为记为 0，其，其方向不定方向不定.如果方向如果方向相同、模相等，相同、模相等，模等模等于于 1 的向量称为的向量称为单位向量单位向量.即经即经平行移动后，两向量完全重合平行移动后，两向量完全重合.既有大小又有方向的量，既有大小又有方向的量，如力、位移、速度、如力、位移、速度、加速度等加速度等.这类量称为这类量称为向量向量，或称为或称为矢量矢量.向量向量 a 的大小称为该向量的模，的大小称为该向量的模，记作记作|a|;与与 a 同向的单位向量记同向的单位向量记为为 a ，模等于模等于 0 的向量称为的向量称为零向量零向量，两个向量两个向量 a 与与 b 不论起点是否一致，不论起点是否一致，
2、则它们是则它们是相等的相等的，记为记为 a=b.允许自由移动的向允许自由移动的向量称为量称为自由向量自由向量.一、向量的概念一、向量的概念 这就这就是向量加法的是向量加法的平行四边形法则平行四边形法则.这个法则可以推广到这个法则可以推广到任意有限个向量相加的情形任意有限个向量相加的情形.以以 a、b 为为边的平行四边形的对角线所表示的向量边的平行四边形的对角线所表示的向量如左图如左图，则由则由 a 的起点到的起点到 b 的终点的向量的终点的向量.设有两个非零向量设有两个非零向量 a、b，称为两向量称为两向量 a 与与 b 的的和向量和向量，记为记为 a+b，若以向量若以向量 a 的终点作为向量
3、的终点作为向量 b 的起点，的起点，也是也是 a 与与 b 的和向量的和向量.这是向量加法的这是向量加法的三角形法则三角形法则.定义定义 1 baababca+bb+c(a+b)+c=a+(b+c)a+b 若向量若向量 b 加向加向量量 c 等于向量等于向量 a，从图中可以看出从图中可以看出:向量的加法满足交换律和结向量的加法满足交换律和结合律合律.即即 a+b=b+a (a+b)+c=a+(b+c).根据向量加法的三角形法则，根据向量加法的三角形法则，则称向量则称向量 c 为为 a 与与 b 之差，之差，记为记为 c=a-b.c=a-bab 是一个非零是一个非零实数实数，定义定义 2 设设
4、a 是一个非零向量是一个非零向量，则则 a 与与 的乘积仍是一个向量的乘积仍是一个向量，记作记作 a，且且(1)|a|=|a|;(2)a 的方向的方向与与 a 同向同向，当当 0，与与 a 反向反向，当当 0，如果如果 =0 或或 a=0，规定规定 a=0.数乘向量满足结合律与分配律，即数乘向量满足结合律与分配律，即 (a)=()a，(a+b)=a+b，(+)a=a+b，其中其中 ，是数量是数量.设设 a 是非零向量，是非零向量，由数乘向量的定义可知，由数乘向量的定义可知，且与且与 a 同方向，同方向，所以有所以有向量向量 的模等于的模等于 1，aa,aaa 因此任一非零向量因此任一非零向量
5、a 都可以表示为都可以表示为.aaa 终点为终点为 P(x,y,z).过过 a 的终点的终点 P(x,y,z)作三个平面分别垂直于三条坐作三个平面分别垂直于三条坐标轴，标轴，则点则点 A 在在 x 轴上轴上的坐标为的坐标为 x，在空间直角坐标系中，在空间直角坐标系中，与与x 轴、轴、y 轴、轴、z 轴的正向轴的正向同向的单位向量分别记为同向的单位向量分别记为 i、j、k，称为称为基本单位向基本单位向量量.设向量设向量 a 的起点在坐标原点的起点在坐标原点 O，设垂足依次为设垂足依次为 A，B，C，根据向量与数的乘法运算得向量根据向量与数的乘法运算得向量 ,jyOB 同同理理.kzOC 二、向量
6、的坐标表示法二、向量的坐标表示法,ixOA 于是，于是，由向量的三角形法则，由向量的三角形法则，有有QPOQOP aOCOBOA .kjizyx 称称 a=xi+yj+zk 为向量为向量 a 的坐标表达式，的坐标表达式，记作记作 ,zyx a其中其中 x，y，z 称为向量称为向量 a 的坐标的坐标.xzABCQaijPOyk 向量的坐标表示法向量的坐标表示法 求向量求向量 a 的坐标表达的坐标表达式式.例例 1已知已知 是以是以 A(x1,y1,z1)为起点，为起点，AB aB(x2,y2,z2)为终点的向量，为终点的向量，解解AB aOAOB-)()(111222kjikjizyxzyx -
7、kji)()()(121212zzyyxx-121212,zzyyxxaaazyx-aAz yxOBa设设,kjiazyxaaa ,kjibzyxbbb 则则,)()()(kjibazzyyxxbababa ,)()()(kjizyxaa (为数量为数量).或或 ba),(zzyyxxbababa .,zyxaaa a例例 2已知已知 a=2,-1,-3，b=2,1,-4 ，求求 a+b,a-b,3a-2b.解解 )4(3,11,22-,7,0,4-)4(3,11,22-,1,2,0-8,2,49,3,6-.1,5,2-a+ba-b3a-2b 那么它的终点坐标那么它的终点坐标 A 的坐标就是的
8、坐标就是(ax,ay,az).a 的起点放在坐标原点，的起点放在坐标原点，由两点间距离公式可知由两点间距离公式可知.222zyxaaaOA axPQyRzAOa ab b 非零向量非零向量 a 与三坐标轴正向的夹角与三坐标轴正向的夹角 a a、b b、(其中其中0 a a ,0 b b ,0 )，称为向量，称为向量 a a 的的方向角方向角;这三个角的余弦这三个角的余弦 cos a a、cos b b、cos 称为向量称为向量a 的的方向余弦方向余弦.因为因为OPA、ORA 都是直角三角形，所以都是直角三角形，所以,cos222zyxxxaaaaa aa a,cos222zyxyyaaaaa
9、ab b,cos222zyxzzaaaaa a 1coscoscos222 b ba a例例 3已知已知 M1(1,-2,3)、M2(4,2,-1)，求求 的模及方向余弦的模及方向余弦.21MM解解 由条件可得由条件可得 ,4,4,331,)2(2,1421-MM,41)4(4322221-MM.414cos,414cos,413cos-b ba a设向量设向量 a 的两个方向余弦为的两个方向余弦为,31cos a a,32cos b b,6 又又求向量求向量 a 的坐标的坐标.可知可知例例 4解解 因为因为.32cos,31cos b ba ab ba a 22coscos1cos-22)3
10、2()31(1-32 所以所以 a a=2,4,4 或或 a a=2,4,4 .因此因此.4326cos ）（a az,4326cos b ba ay,2316cos a aa ax 求其合力求其合力F 的大小及的大小及方向角方向角.例例 5已知作用于一质点的三个力为已知作用于一质点的三个力为 F1=i2k，F2=2i 3j+4k，F3=j+k，解解因为因为 F=F1+F2+F3 1,1,04,3,22,0,1-,3,2,3-所以，可得所以，可得,7.4223)2(3222 -F.223cos,222cos,223cos-b ba a精品课件精品课件！精品课件精品课件！合力的合力的三个方向角为三个方向角为，4150 a a,41115 b b,4150 查表可得查表可得因此，合力大小的近似值为因此，合力大小的近似值为 4.7 个单位，个单位，,41115 b b，4150 a a.4150
