1、1标题标题第三章第三章 扭扭 转转3 3-2-2、外力偶矩、外力偶矩 扭矩和扭矩图扭矩和扭矩图3 3-1-1、概述、概述3 3-4-4、圆轴扭转时截面上的应力计算、圆轴扭转时截面上的应力计算3 3-5-5、圆轴扭转时的变形计算、圆轴扭转时的变形计算3 3-6-6、圆柱形密圈螺旋弹簧的应力和变形、圆柱形密圈螺旋弹簧的应力和变形3 3-7-7、非圆截面杆的扭转、非圆截面杆的扭转3 3-3-3、外力偶矩、外力偶矩 扭矩和扭矩图扭矩和扭矩图2一、概一、概述述汽车传动轴汽车传动轴3 3-1-1、概述概述3汽车方向盘汽车方向盘3 3-1-1、概述概述4丝锥攻丝丝锥攻丝3 3-1-1、概述概述5 扭转变形是
2、指杆件受到大小相等扭转变形是指杆件受到大小相等,方向方向相反且相反且作用平面垂直于杆件轴线的力偶作用作用平面垂直于杆件轴线的力偶作用,使杆件的横截面绕轴线产生转动。使杆件的横截面绕轴线产生转动。受扭转变形杆件通常为轴类零件，其横受扭转变形杆件通常为轴类零件，其横截面大都是圆形的。所以本章主要介绍圆轴截面大都是圆形的。所以本章主要介绍圆轴扭转。扭转。3 3-1-1、概述概述6直接计算直接计算3 3-2-2、外力偶矩、外力偶矩 扭矩和扭矩图扭矩和扭矩图1.1.外力偶矩外力偶矩二、外力偶矩二、外力偶矩 扭矩和扭矩图扭矩和扭矩图7按输入功率和转速计算按输入功率和转速计算电机每秒输入功：电机每秒输入功：
3、外力偶作功完成：外力偶作功完成：)N.m(1000kPW602nMWekPkP已知已知轴转速轴转速n n 转转/分钟分钟输出功率输出功率P Pk k 千瓦千瓦求：力偶矩求：力偶矩M Me e3 3-2-2、外力偶矩、外力偶矩 扭矩和扭矩图扭矩和扭矩图8T=Me2.2.扭矩和扭矩图扭矩和扭矩图3 3-2-2、外力偶矩、外力偶矩 扭矩和扭矩图扭矩和扭矩图9T=Me3 3-2-2、外力偶矩、外力偶矩 扭矩和扭矩图扭矩和扭矩图103 3-2-2、外力偶矩、外力偶矩 扭矩和扭矩图扭矩和扭矩图113 3-2-2、外力偶矩、外力偶矩 扭矩和扭矩图扭矩和扭矩图12扭矩正负规定扭矩正负规定右手螺旋法则右手螺旋法
4、则右手拇指指向外法线方向为右手拇指指向外法线方向为 正正(+),(+),反之为反之为 负负(-)(-)3 3-2-2、外力偶矩、外力偶矩 扭矩和扭矩图扭矩和扭矩图13扭矩图扭矩图 3 3-2-2、外力偶矩、外力偶矩 扭矩和扭矩图扭矩和扭矩图14解解:(1)(1)计算外力偶矩计算外力偶矩由公式由公式Pk k/n3 3-2-2、外力偶矩、外力偶矩 扭矩和扭矩图扭矩和扭矩图例题例题4-14-115(2)(2)计算扭矩计算扭矩(3)(3)扭矩图扭矩图3 3-2-2、外力偶矩、外力偶矩 扭矩和扭矩图扭矩和扭矩图163 3-2-2、外力偶矩、外力偶矩 扭矩和扭矩图扭矩和扭矩图173-3 3-3 纯剪切纯剪
5、切 一、纯剪切一、纯剪切 单元体截面上只有切应力而无正应力作用，单元体截面上只有切应力而无正应力作用，这种应力状态叫做纯剪切应力状态。这种应力状态叫做纯剪切应力状态。183-3 3-3 纯剪切纯剪切-薄壁圆筒扭转薄壁圆筒扭转19 薄壁圆筒的壁厚薄壁圆筒的壁厚 t 远小于其平均半径远小于其平均半径 r0（即（即 ）薄壁圆筒扭转时其横截面上的内力，可用截面法求得。薄壁圆筒扭转时其横截面上的内力，可用截面法求得。200rt 1、用截面法求任一横截面、用截面法求任一横截面 nn 上的内力上的内力mmlnn(a)m(b)nnT3-3 3-3 纯剪切纯剪切-薄壁圆筒扭转薄壁圆筒扭转20mmlnn(a)m(
6、b)nnT 薄壁圆筒扭转时其任一横截面薄壁圆筒扭转时其任一横截面 n-n 上的内力是一作用在上的内力是一作用在该横截面上的力偶，该内力偶称作扭矩该横截面上的力偶，该内力偶称作扭矩 T。由内力与应力的由内力与应力的关系可知，横截面上的应力只能是关系可知，横截面上的应力只能是。21mm(c)薄壁圆筒扭转试验薄壁圆筒扭转试验预先在圆筒的表面画上等间距预先在圆筒的表面画上等间距的纵向线和圆周线，从而形成的纵向线和圆周线，从而形成一系列的正方格子。一系列的正方格子。圆周线保持不变；纵向线发生倾斜圆周线保持不变；纵向线发生倾斜观察到的现象观察到的现象设想设想薄壁圆筒扭转后，横截面保持为形状，大小均无改变的
7、平面，薄壁圆筒扭转后，横截面保持为形状，大小均无改变的平面，相邻两横截面绕圆筒轴线发生相对转动。相邻两横截面绕圆筒轴线发生相对转动。2、求横截面上的切应力、求横截面上的切应力22mm(c)ABCD圆筒两端截面之间相对转圆筒两端截面之间相对转动的角位移，称为动的角位移，称为，用，用 表示。表示。圆筒表面上每个格子的直角圆筒表面上每个格子的直角的改变量，称为的改变量，称为。用用 表示表示(c,d)。由设想推知由设想推知圆周各点处剪应力的方向于圆周相圆周各点处剪应力的方向于圆周相切，且数值相等。近似的认为沿壁切，且数值相等。近似的认为沿壁厚方向各点处剪应力的数值无变化。厚方向各点处剪应力的数值无变化
8、。ACDB(d)23m(b)nnx推导公式推导公式TtrrdArrdAAA)2(000由上述分析，就可得出薄壁筒由上述分析，就可得出薄壁筒扭转时，横截面上任一点处的扭转时，横截面上任一点处的剪应力剪应力向于圆周相切。向于圆周相切。都是相等的，都是相等的，而其方而其方于是由静力关系，得到于是由静力关系，得到A d，A0为以薄壁圆筒平均半径为以薄壁圆筒平均半径 r0 所作圆的面积所作圆的面积。=引入引入得到得到t t2 20 0(4-4)24 薄壁圆筒的扭转薄壁圆筒的扭转 试验发现，当外力偶试验发现，当外力偶 m 在某一范围内在某一范围内时，时，与与 m（在数值上等于（在数值上等于 T）成正比。）
9、成正比。由图（由图（c）所示的几何）所示的几何关系得到关系得到式中，式中，r为薄壁圆筒的外半徑为薄壁圆筒的外半徑mm(c)ABCDllr(3-2)3、剪切胡克定律剪切胡克定律25由由 、间的线性关系，可推出间的线性关系，可推出图图 3-4(a)To G（3-3）o(b)该式称为材料的该式称为材料的 G 称为材料的称为材料的 。其单位是其单位是 Pa。只有在剪应力不超过材料的只有在剪应力不超过材料的剪切比例极限时才适用。剪切比例极限时才适用。即材料在线弹性范围内工作。即材料在线弹性范围内工作。26)1(2EG 对各向同性材料可以证明，弹性常数对各向同性材料可以证明，弹性常数E E、G G、存在关
10、系存在关系表明表明3 3个常数只有个常数只有2 2个是独立的个是独立的3-3 3-3 纯剪切纯剪切 27思考题：指出下面图形的剪应变思考题：指出下面图形的剪应变 2 剪应变为剪应变为剪应变为剪应变为0283-3 3-3 纯剪切纯剪切 二二.切应力互等定理切应力互等定理 293-3 3-3 纯剪切纯剪切 301 1、切应力计算、切应力计算令令抗扭截面系数抗扭截面系数3 3-4-4、圆轴扭转时截面上的应力计算、圆轴扭转时截面上的应力计算312.2.I Ip p 与与 W Wp p 的计算的计算实心轴实心轴3 3-4-4、圆轴扭转时截面上的应力计算、圆轴扭转时截面上的应力计算32空心轴空心轴令令则则
11、3 3-4-4、圆轴扭转时截面上的应力计算、圆轴扭转时截面上的应力计算33实心轴与空心轴实心轴与空心轴 I Ip p 与与 W Wp p 对比对比3 3-4-4、圆轴扭转时截面上的应力计算、圆轴扭转时截面上的应力计算34已知：已知：P P7.5kW,7.5kW,n n=100r/min,=100r/min,最最大切应力大切应力不得超过不得超过40MPa,40MPa,空心圆轴空心圆轴的内外直径之比的内外直径之比 =0.5=0.5。二轴长。二轴长度相同。度相同。求求:实心轴的直径实心轴的直径d d1 1和空心轴的外和空心轴的外直径直径D D2 2；确定二轴的重量之比。；确定二轴的重量之比。解：解：
12、首先由轴所传递的功率计算作用在轴上的扭矩首先由轴所传递的功率计算作用在轴上的扭矩实心轴实心轴31616 716 20 045m=45mm40 10.d3 3-4-4、圆轴扭转时截面上的应力计算、圆轴扭转时截面上的应力计算例题例题4-24-27 595499549716 2N m100.xPMTnmax13111640MPaxxPMMWdTT35已知：已知：P P7.5kW,7.5kW,n n=100r/min,=100r/min,最大最大切应力切应力不得超过不得超过40MPa,40MPa,空心圆轴的空心圆轴的内外直径之比内外直径之比 =0.5=0.5。二轴长度。二轴长度相同。相同。求求:实心轴
13、的直径实心轴的直径d d1 1和空心轴的外和空心轴的外直径直径D D2 2；确定二轴的重量之比。；确定二轴的重量之比。空心轴空心轴d20.5D2=23 mm324616 716 20 046m=46mm 1-40 10.D3 3-4-4、圆轴扭转时截面上的应力计算、圆轴扭转时截面上的应力计算max234221640MPa1xxPMMWDTT36确定实心轴与空心轴的重量之比确定实心轴与空心轴的重量之比空心轴空心轴D D2 246 mm46 mmd d2 223 mm23 mm 实心轴实心轴d d1 1=45 mm=45 mm 长度相同的情形下，二轴的重量之比即为长度相同的情形下，二轴的重量之比即
14、为横截面面积之比：横截面面积之比：28.15.01110461045122332222121DdAA3 3-4-4、圆轴扭转时截面上的应力计算、圆轴扭转时截面上的应力计算37已知：已知：P P1 114kW,14kW,P P2 2=P P3 3=P P1 1/2/2，n n1 1=n n2 2=120r/min,z=120r/min,z1 1=36,z=36,z3 3=12;=12;d d1 1=70mm,70mm,d d 2 2=50mm,=50mm,d d3 3=35mm.=35mm.求求:各各轴轴横截面上的最大切应力。横截面上的最大切应力。P P1 1=14kW,=14kW,P P2 2
15、=P P3 3=P P1 1/2=7 kW/2=7 kWn n1 1=n n2 2=120r/min=120r/min360r/minr/min12361203113zznn解：解：1 1、计算各轴的功率与转速、计算各轴的功率与转速M M1 1=T=T1 1=1114 N.m=1114 N.mM M2 2=T=T2 2=557 N.m=557 N.mM M3 3=T=T3 3=185.7 N.m=185.7 N.m2 2、计算各轴的扭矩、计算各轴的扭矩3 3-4-4、圆轴扭转时截面上的应力计算、圆轴扭转时截面上的应力计算例题例题4-34-3338 16.54MPaPa1070111416E9-
16、31P1maxWT.69MPa22Pa105055716H9-32P2maxWT.98MPa12Pa10537.18516C9-33P3maxWT3 3、计算各轴的横截面上的、计算各轴的横截面上的 最大切应力最大切应力3 3-4-4、圆轴扭转时截面上的应力计算、圆轴扭转时截面上的应力计算3391.1.等截面圆轴：等截面圆轴：2.2.阶梯形圆轴：阶梯形圆轴：圆轴扭转时的强度条件圆轴扭转时的强度条件 刚度条件刚度条件 圆轴的设计计算圆轴的设计计算圆轴扭转时的强圆轴扭转时的强 刚度设计刚度设计40单位长度扭转角单位长度扭转角扭转刚度条件扭转刚度条件许用单位扭转角许用单位扭转角 圆轴扭转时的强度条件圆
17、轴扭转时的强度条件 刚度条件刚度条件 圆轴的设计计算圆轴的设计计算41扭转强度条件扭转强度条件扭转刚度条件扭转刚度条件已知已知T T 、D D 和和，校核强度校核强度已知已知T T 和和，设计截面设计截面已知已知D D 和和，确定许可载荷确定许可载荷已知已知T T 、D D 和和/，校核刚度校核刚度已知已知T T 和和/，设计截面设计截面已知已知D D 和和/，确定许可载荷确定许可载荷圆轴扭转时的强度条件圆轴扭转时的强度条件 刚度条件刚度条件 圆轴的设计计算圆轴的设计计算42例题例题4-44-4圆轴扭转时的强度条件圆轴扭转时的强度条件 刚度条件刚度条件 圆轴的设计计算圆轴的设计计算43 传动轴
18、的转速为传动轴的转速为n n=500r/min=500r/min，主动轮，主动轮A A 输入功率输入功率P P1 1=400kW=400kW，从动轮，从动轮C C，B B 分别输出功率分别输出功率P P2 2=160kW=160kW，P P3 3=240kW=240kW。已知已知=70MPa=70MPa，=1=1/m/m，G G=80GPa=80GPa。(1)(1)试确定试确定AC AC 段的直径段的直径d d1 1 和和BC BC 段的直径段的直径d d2 2；(2)(2)若若AC AC 和和BC BC 两段选同一直径，试确定直径两段选同一直径，试确定直径d d；(3)(3)主动轮和从动轮应
19、如何安排才比较合理主动轮和从动轮应如何安排才比较合理?1eMABC2eM3eM1d2dnPMe119549mN76405004009549mN306040016012eeMMmN458040024013eeMM解：解：1.1.外力外力 例题例题4-54-5圆轴扭转时的强度条件圆轴扭转时的强度条件 刚度条件刚度条件 圆轴的设计计算圆轴的设计计算44 2.2.扭矩图扭矩图 mm2.82m102.821070764016 1633631Td按刚度条件按刚度条件 mm4.86m104.8611080180764032180323429421GTd3.3.直径直径d d1 1的选取的选取 按强度条件按强
20、度条件 mN7640mN4580 mm4.861d1eMABC2eM3eM1d2d 31max16dT1803241maxdGT圆轴扭转时的强度条件圆轴扭转时的强度条件 刚度条件刚度条件 圆轴的设计计算圆轴的设计计算45 按刚度条件按刚度条件 4.4.直径直径d d2 2的选取的选取 按强度条件按强度条件 1eMABC2eM3eM1d2dmN7640mN4580 mm3.69m103.6910704580161633632Tdmm76m107611080180458032180323429422GTdmm762d 5.5.选同一直径时选同一直径时mm4.861 dd圆轴扭转时的强度条件圆轴扭转
21、时的强度条件 刚度条件刚度条件 圆轴的设计计算圆轴的设计计算46 6.6.将将主动轮按装在主动轮按装在两从动轮之间两从动轮之间1eMABC2eM3eM1d2dmN7640mN4580 2eMCBA1eM3eM1d2d受力合理受力合理mN3060mN4580 圆轴扭转时的强度条件圆轴扭转时的强度条件 刚度条件刚度条件 圆轴的设计计算圆轴的设计计算47相对扭转角相对扭转角抗扭刚度抗扭刚度四、圆轴扭转时的变形计算四、圆轴扭转时的变形计算3 3-5-5、圆轴扭转时的变形计算、圆轴扭转时的变形计算niPiiiGIlT1483 3-7-7、非圆截面杆的扭转、非圆截面杆的扭转49自由扭转自由扭转约束扭转约束扭转截面翘曲不受约束截面翘曲不受约束各截面翘曲不同各截面翘曲不同 3 3-7-7、非圆截面杆的扭转、非圆截面杆的扭转50开口开口/闭口薄壁杆件扭转比较闭口薄壁杆件扭转比较 3 3-7-7、非圆截面杆的扭转、非圆截面杆的扭转51小结小结1 1、受扭物体的受力和变形特点、受扭物体的受力和变形特点2 2、扭矩计算，扭矩图绘制、扭矩计算，扭矩图绘制3 3、圆轴扭转时横截面上的应力计算及强度计算、圆轴扭转时横截面上的应力计算及强度计算 PWTmaxPIT4 4、圆轴扭转时的变形及刚度计算、圆轴扭转时的变形及刚度计算 180PGITPGITl
