1、第九章第九章 压杆稳定压杆稳定目录9.1 9.1 压杆稳定的概念压杆稳定的概念9.2 9.2 两端铰支细长压杆的临界压力两端铰支细长压杆的临界压力9.4 9.4 欧拉公式的适用范围欧拉公式的适用范围 经验公式经验公式9.5 9.5 压杆的稳定压杆的稳定校核校核9.6 9.6 提高压杆稳定性的措施提高压杆稳定性的措施9.3 9.3 其他支座条件下细长压杆的其他支座条件下细长压杆的 临界压力临界压力maxNmaxAF 微小扰动就使小球远离原来的微小扰动就使小球远离原来的平衡位置平衡位置 微小扰动使小球离开原来的平衡微小扰动使小球离开原来的平衡位置，但扰动撤销后小球回复到平衡位置，但扰动撤销后小球回
2、复到平衡位置位置 crFF crFF crFF 压力等于临压力等于临界力界力压力大于压力大于临界力临界力压力小于临压力小于临界力界力 压杆丧失压杆丧失直线直线状态的平衡状态的平衡，过渡，过渡到到曲线状态的平衡曲线状态的平衡。称为丧失稳定，简称为丧失稳定，简称称失稳，失稳，也称为也称为屈屈曲曲压力等于临界力压力等于临界力压杆的稳定性试验压杆的稳定性试验 临界压力临界压力 能够保持压杆在微小弯曲能够保持压杆在微小弯曲状态下平衡的最小轴向压力。状态下平衡的最小轴向压力。9.2 9.2 两端铰支细长压杆的临界压力两端铰支细长压杆的临界压力挠曲线近似微分方程挠曲线近似微分方程弯矩弯矩FwM令令则则通解通
3、解9.2 9.2 两端铰支细长压杆的临界压力两端铰支细长压杆的临界压力边界条件：边界条件：若若则则（与假设矛盾）（与假设矛盾）所以所以B=0w9.2 9.2 两端铰支细长压杆的临界压力两端铰支细长压杆的临界压力得得当当 时，时，临界压力临界压力欧拉公式欧拉公式挠曲线方程挠曲线方程wl 欧拉公式与精确解曲线欧拉公式与精确解曲线u 精确解曲线精确解曲线crPP152.1l 3.0时，1、适用条件：、适用条件：理想压杆（轴线为直线，压理想压杆（轴线为直线，压力与轴线重合，材料均匀）力与轴线重合，材料均匀）线弹性，小变形线弹性，小变形两端为铰支座两端为铰支座-欧拉公式欧拉公式2 2、21lFcrEIF
4、cr杆长，杆长，F Fcrcr小，易失稳小，易失稳刚度小，刚度小，F Fcrcr小，易失稳小，易失稳lxAwlk sin,3 3、在、在 F Fcrcr作用下，作用下，挠曲线为一条半波正弦曲线挠曲线为一条半波正弦曲线Awlx,2即即 A A 为跨度中点的挠度为跨度中点的挠度例例1解：截面惯性矩临界压力269kNN102693lFcr2l()2cr22EIFl Fcrl0.3l0.7l(.)2cr207EIFl Fcrl2cr2EIFl l 22cr)(lEIF lFcrl/4l/4l/2(/)2cr22EIFl l对于其他支座条件下细长压杆，求临界压力的方法：对于其他支座条件下细长压杆，求临界
5、压力的方法：从挠曲线微分方程入手；比较变形曲线从挠曲线微分方程入手；比较变形曲线 22crlEIF 22cr)7.0(lEIF 22cr)5.0(lEIF 22cr)2(lEIF 22cr)(lEIF 22cr)(lEIF zyx例例 2(书例书例 9.2)已知已知:两端固支压杆，两端固支压杆，E,I，l。求求：临界压力。：临界压力。解解：lxl 考察考察微弯微弯平衡状态平衡状态l x 处处截面的弯矩截面的弯矩Ml 挠曲线近似微分方程挠曲线近似微分方程EIMxw22ddl 两端的水平约束力为零两端的水平约束力为零wEIPwEImEImwEIPw yxPPmmPMPwmxwyxPPmmEIPk
6、2引入记号引入记号EImwkw 2通解为通解为PmkxBkxAwcossin其中，其中，A、B为积分常数，由边界条件确定。为积分常数，由边界条件确定。则则边界条件为边界条件为:0 x时，时，,0wlx 时，时，;0w,0w;0wkxBkkxAkwsincos又又0PmB0Ak0cossinPmklBklA0sincosklBkklAk0APmB0cosPmklPm0sinkl1coskl),4,2,0(,nnkl最小非零解为最小非零解为2kl22cr)2/(lEIP代入代入EIPk 2将边界条件代入通解将边界条件代入通解x8801000yzyxz880FFlxz880 x8801000yzyk
7、N6.134)11(105.6101.214.3)(2811222cr lEIF x8801000yzykN4.406)88.05.0(108.3101.214.3)(2811222cr lEIF FFlxz880 AlEIAF22crcr)()()(/)2222crcr222FEIEEiAlAll iil AIi 22cr E crcrAF 2crp2 E 1pE 2p E 916p206 10100200 10E scr ba 12 bas bas 2 2800.19028.7松木701.454332.2铸铁952.568461优质碳钢s=306MPa1021.12304A3钢 s=235
8、MPa1b(MPa)a(MPa)材料l 直线经验公式直线经验公式bacr式中式中,a,b是与是与材料有关的常数材料有关的常数(表表9.2,p302)。1 12 ba crscr 2 1pE 22cr E bas 2 2scr ba cr22cr E cr PslilAFcrcrdF1.3 a BF1.6 aCaFAal22 al3.11 aal12.16.17.07.0 dF1.3 a BF1.6 aCaFA22cr)(lEIF30mm20mmyz1p99E m0058.002.003.0)02.003.0(1213 AIiyym0087.0 AIizz15.0 zy 30mm20mmyz11
9、586 zzzyyyilil kN5.8922crcr zEAAF 1p100E 222244414)(64)(dDdDdDAIi 1004122 dDlilm6.11404.005.010022min lm2.143min ll122754 dDlil 5712.1240304s2bakN5.155)(4)(22crcr dDbaAF 压杆稳定问题的解题步骤压杆稳定问题的解题步骤stcrnFF stcrnFFn 1 1 稳定校核稳定校核问题问题1)1)计算计算 1 1 ，2 2，；2)2)确定属于哪一种杆确定属于哪一种杆(大柔度，中柔度，小柔度大柔度，中柔度，小柔度)；3)3)根据杆的类型求
10、出根据杆的类型求出 crcr 和和 F Fcrcr ;4)4)计算杆所受到的实际压力计算杆所受到的实际压力 F F；5)5)校核校核 n n=F Fcrcr /F F n nstst 是否成立。是否成立。2 2 确定许可载荷确定许可载荷前前3 3步同步同稳定校核稳定校核问题；问题；4)4)F F F Fcrcr /n nstst 。3 3 截面设计截面设计问题问题1)1)计算实际压力计算实际压力 F F；2)2)求出求出 F Fcrcr;；3)3)先假设为先假设为大柔度杆大柔度杆，由欧拉公式求出，由欧拉公式求出 I,I,进一步求出直径进一步求出直径 d(d(若为圆截面杆若为圆截面杆););4)
11、4)计算计算 1 1 和和 ；5)5)检验检验 1 1是否成立。若成立，则结束是否成立。若成立，则结束;6)6)若若 1 1 不不成立，则成立，则设为设为中柔度杆中柔度杆，按经验公式求出按经验公式求出直径直径 d d(若为圆截面杆若为圆截面杆);bacrilbaAFcrd7 7）计算）计算 2 2 ；8)8)检验检验 2 2 是否成立。是否成立。若成立，则若成立，则结束。结束。1p86E 4dAIi 15.62 il 2.43s2baMPa301cr baMPa478crcr AF.stcrnFFn 5 51111pD活塞杆活塞杆活塞活塞dN398042 pDFN23900stcr FnFAI
12、i il pD活塞杆活塞杆活塞活塞d24222cr)(64)(ldElEIF 2004 dlil 97P1 E ABCF0.60.30.80 CM0 06 60 09 90 0 .sin.N FF8.06.08.0sin22 FF27272 2.N 1P99E 4dAIi ABCF0.60.30.8180 ils257ab 12 MPa214cr bakN268NcrcrFAF FF27.2N ABCF0.60.30.8如图（如图（a a）,截面的惯性矩应为截面的惯性矩应为cm77.520128000cm800012201243AIiIyyy惯性半径为两端铰支时，长度系数两端铰支时，长度系数1
13、解解:（1 1）计算）计算xozxoz平面的临界力平面的临界力 和临界应力和临界应力7mF12cm20cmyz7mFy20cm12cmz截面为截面为1212 2020cmcm2 2,l l=7=7m m,E E=1010GPaGPa,试求木柱的临界压力和临试求木柱的临界压力和临界应力。界应力。例例101110MPa73.6121101014.3kN16171108101014.329222259222ElEIFcrycr因因 1 1 故可用欧拉公式计算。故可用欧拉公式计算。11 7001211105.77yli其柔度为其柔度为7mF12cm20cmyz7mFy20cm12cmz（2 2）计算）
14、计算xoyxoy平面内的临界力平面内的临界力 及临界应力。及临界应力。如图（如图（b b）,截面的惯性矩为截面的惯性矩为43cm2880121220zIcm46.320122880AIizz相应的惯性半径为两端固定时长度系数两端固定时长度系数5.011010146.37005.01zil柔度为柔度为7mF12cm20cmyz7mFy20cm12cmz 应用经验公式计算其临界应力应用经验公式计算其临界应力,查表得查表得 kN8.2322.012.0107.96AFcrcr194.0,3.29bMPaaMPa7.9101194.03.29bacr则则临界压力为临界压力为木柱的临界压力木柱的临界压力
15、临界应力临界应力kNFcr161MPacr73.67mF12cm20cmyz7mFy20cm12cmz欧拉公式欧拉公式22)(lEIFcr越大越稳定越大越稳定crF减小压杆长度减小压杆长度 l减小长度系数减小长度系数（增强约束）（增强约束）增大截面惯性矩增大截面惯性矩 I（合理选择截面形状）（合理选择截面形状）增大弹性模量增大弹性模量 E（合理选择材料）（合理选择材料）9.6 9.6 提高压杆稳定性的措施提高压杆稳定性的措施减小压杆长度减小压杆长度 l减小长度系数减小长度系数（增强约束）（增强约束）增大截面惯性矩增大截面惯性矩 I I（合理选择截面形状）（合理选择截面形状）小结小结1 1、了解压杆稳定平衡、不稳定平衡和临界、了解压杆稳定平衡、不稳定平衡和临界 载荷的概念载荷的概念2 2、掌握压杆柔度的计算方法，以及判断大、掌握压杆柔度的计算方法，以及判断大 柔度、中柔度、小柔度压杆的原则柔度、中柔度、小柔度压杆的原则3 3、熟知压杆临界应力总图，能根据压杆的、熟知压杆临界应力总图，能根据压杆的 类别选用合适的公式计算临界应力类别选用合适的公式计算临界应力4 4、掌握简单压杆的稳定计算方法、掌握简单压杆的稳定计算方法5 5、了解提高压杆稳定性的主要措施、了解提高压杆稳定性的主要措施
