1、一、二进制数的表示及其对量化的影响一、二进制数的表示及其对量化的影响 10 是基数iiibbx任何一个数任何一个数x可以表示为：可以表示为：)(2101mnnbbbbbbx2)011(10010 375.18十进制小数点用十进制小数点用“.”表示，其他进制的基数点用表示，其他进制的基数点用“”表示。表示。2)0110(375.011、定点制、定点制：小数点在数码中的位置固定不变，把数限制在：小数点在数码中的位置固定不变，把数限制在如如:之间，即把小数点规定在符号位与数据位之间。之间，即把小数点规定在符号位与数据位之间。75.0 )1100()(22表示x2)011.1(表示是表示是 -0.37
2、5？iLiibbx2)1(10 210Lbbbbx原码：符号加绝对值。原码：符号加绝对值。反码：符号加反码。反码：符号加反码。补码：符号加补码。补码补码：符号加补码。补码=反码反码+1符符号号位位二二进进制制点点数数据据位位1位符号位，位符号位，L位尾数位位尾数位正数的反码、补码与原码一样！正数的反码、补码与原码一样！0101222)1(0bbbbxLiLiiiLiibiLiibbx210原码的优点：原码的优点：乘除运算方便，不论正负数，乘除运算都一样，乘除运算方便，不论正负数，乘除运算都一样，以符号位简单的决定结果的正负数。以符号位简单的决定结果的正负数。原码的缺点：原码的缺点：加减运算不方
3、便，加法要判断符号是否相同；减加减运算不方便，加法要判断符号是否相同；减法要判断两数绝对值大小。法要判断两数绝对值大小。补码的优点：补码的优点：加法运算方便，不论正负都可以直接相加。加法运算方便，不论正负都可以直接相加。22210)0110.1(1.0101)1.1010)(0.625-625.0)(x原码原码反码反码补码补码010.1110.0100.00.25 .750 5.0不会增加字长不会增加字长，但会出现溢出，需修正比例因子。，但会出现溢出，需修正比例因子。乘法运算：乘法运算：不会出现溢出，但会增加字长，需尾数处理。不会出现溢出，但会增加字长，需尾数处理。（b+1）位）位 乘法乘法
4、2b位位 尾数处理尾数处理 b位位尾数处理办法：截尾（截尾误差）、舍入（舍入误差）。尾数处理办法：截尾（截尾误差）、舍入（舍入误差）。定点运算的缺点：定点运算的缺点：数的动态范围小，可能出现溢出。数的动态范围小，可能出现溢出。由截尾舍入产生的百分比误差随数的绝对值的减小而增加。由截尾舍入产生的百分比误差随数的绝对值的减小而增加。定点制优点定点制优点：运算快速简单，只有乘法有舍入或截尾误差。：运算快速简单，只有乘法有舍入或截尾误差。保留小数点右边保留小数点右边4位，前者位，前者4.59%，后者，后者39.6%。0001101010 110110100 315.0 2MMxc0102110如：如：
5、M称为尾数，是小数，常用补码表示。尾数字长决定运算精度。称为尾数，是小数，常用补码表示。尾数字长决定运算精度。c 称为指数，或阶码，指数字长决定动态范围。称为指数，或阶码，指数字长决定动态范围。规格化处理规格化处理浮点数寄存在寄存器中也分为两段，一段用于存带有符号的尾浮点数寄存在寄存器中也分为两段，一段用于存带有符号的尾数，另一段用于带有符号的指数。数，另一段用于带有符号的指数。2275.000120111210100045 2100000 4FF0112200101045 F调整乘法运算：乘法运算：1）尾数相乘阶码相加）尾数相乘阶码相加 2）调整阶码）调整阶码 3）截尾或舍入尾数处理）截尾或
6、舍入尾数处理加法运算：加法运算：1）对阶使阶码相等）对阶使阶码相等2）尾数相加）尾数相加3）调整阶码）调整阶码4）截尾或舍入尾数处理）截尾或舍入尾数处理0110112121010102)001010100000(FF结果已经规格化，不需要调整。结果已经规格化，不需要调整。浮点制特点：浮点制特点：.增加数的动态范围大，不会溢出。增加数的动态范围大，不会溢出。.运算速度慢，加法和乘法都有舍入或截尾误差。运算速度慢，加法和乘法都有舍入或截尾误差。3、分组浮点数、分组浮点数 一组数采用一共同的阶码。适用于运算的数较多，一组数采用一共同的阶码。适用于运算的数较多，数值相近的情况。数值相近的情况。最大的那
7、个数规格化，其他不一定规格化。结合了最大的那个数规格化，其他不一定规格化。结合了定点制和浮点制各自的优点。定点制和浮点制各自的优点。一旦定点制实现中的寄存器长度给定，寄存器可表示的数就固定。一旦定点制实现中的寄存器长度给定，寄存器可表示的数就固定。字长为字长为L+1位：其中位：其中1位符号位，位符号位，L位尾数位。可以表示的最位尾数位。可以表示的最小正数是小正数是L2量化间距。量化间距。大于大于L位的数要存储在长度为位的数要存储在长度为L的寄存器中，必须进行处理。的寄存器中，必须进行处理。1）将寄存器容纳不下的所有位截短；）将寄存器容纳不下的所有位截短；2）将数舍入成寄存器可表示的数。）将数舍
8、入成寄存器可表示的数。这种处理过程称为量化。量化就会产生误差，称为量化误差。这种处理过程称为量化。量化就会产生误差，称为量化误差。xxQeiMiibx21iLiibxQ21如果数如果数x被量化，则将引入量化误差：被量化，则将引入量化误差：其中其中Qx代表代表x的量化值，的量化值，e的范围取的范围取决于数的表示形式以及量化方法。决于数的表示形式以及量化方法。截尾处理截尾处理正数：原码、反码和补码的形式都相同。正数：原码、反码和补码的形式都相同。M+1位的正数表示：位的正数表示：截尾到截尾到L位：位：iMLiitbxxQe21截尾误差为：截尾误差为：截尾误差范围为：截尾误差范围为：量化间距 2 0
9、LtqeqiMiibx21iLiibxQ21iMLiitbxxQe21原码：原码：0 0 xqet截尾误差范围为：截尾误差范围为：补码：补码：iMiibx211iLiibxQ211iMLiitbxxQe210 0 xeqt截尾误差范围为：截尾误差范围为：反码：反码：MiMiibx2211LiLiibxQ2211MLiMLiitbe22210 220 xqeMLt截尾误差范围为：截尾误差范围为：结论：补码的截尾误差全是负值，原码和反码的截尾误差与数的正结论：补码的截尾误差全是负值，原码和反码的截尾误差与数的正负有关，正数时为负，负数时为正。负有关，正数时为负，负数时为正。补码补码原码、反码原码、
10、反码舍入处理舍入处理83984375.0110101110 x84375.011011000 xQ 对定点数舍入处理为对定点数舍入处理为L位是通过数据的第位是通过数据的第L+1位加位加1，然，然后截断数据到后截断数据到L位实现。位实现。定点制舍入处理的量化特性定点制舍入处理的量化特性 舍入是根据数的绝对值进行的，舍入是根据数的绝对值进行的，所以误差与负数的表示方法无关，其所以误差与负数的表示方法无关，其误差总是在误差总是在1/2 q之间。之间。舍入成舍入成7位位 22qeqr)()()()(nenxnxQnx其中：其中：e(n)为量化噪声，为量化噪声，x(n)精确取样值。精确取样值。量化取样值
11、表达式：量化取样值表达式：1、量化误差的统计分析、量化误差的统计分析A/D变换器变换器（定点补码表示）（定点补码表示）统计模型统计模型统计模型在下列假设下成立：统计模型在下列假设下成立：1）e(n)是一个平稳的随机取样序列；是一个平稳的随机取样序列；2）与信号）与信号x(n)不相关；不相关；3）样值间不相关；）样值间不相关；4）等概率分布。）等概率分布。证明大多数实际遇到的信号都符合这些假设。所以量证明大多数实际遇到的信号都符合这些假设。所以量化误差是一个与信号序列完全不相关的白色噪声序列，称化误差是一个与信号序列完全不相关的白色噪声序列，称为量化噪声。为量化噪声。12/0 22qmeee方差
12、；的平均值 12/2/22qqmee寄存器字长每增加一位，信噪比近似提高寄存器字长每增加一位，信噪比近似提高6DB。舍入时：舍入时：补码截尾时：补码截尾时：舍入时信噪比：舍入时信噪比：22222221212/2 xLLxex对数表示：对数表示：)lg(1079.1002.610lgSNR 222xexL 22qeqr 0teq根据第四条等概率分布的假设，得到如下的概率分布图。根据第四条等概率分布的假设，得到如下的概率分布图。舍入舍入补码截尾补码截尾)()()(nenxnx)()()(nfnyny)(nh单位冲击响应 当量化的信号通过一线性系统时，输入的误差也会在最当量化的信号通过一线性系统时，
13、输入的误差也会在最后的输出中，以误差的形式表现出来。后的输出中，以误差的形式表现出来。线性系统线性系统0)()()(mmnemhnf可以推出：可以推出：cejelefdzzHzHzjdeHlh)()(2)()(112202222帕塞维尔定理帕塞维尔定理999.0)(zzzH 32 12 -1622qe0.00254500.25 32 1622Ief设有一个设有一个8位位(L=7)的的A/D变换器，它的输出经下列一变换器，它的输出经下列一阶阶IIR滤波器，传输函数为滤波器，传输函数为求此滤波器输出端的量化噪声功率。求此滤波器输出端的量化噪声功率。解：由于解：由于A/D变换器的量化效应，输入此滤波
14、器的噪声功率为：变换器的量化效应，输入此滤波器的噪声功率为：)999.0)(999.0(21 11czzdzzjI)4.01)(5.01(1)(111zzzH2122.09.011)(zzzH)375.01)(5.01(1)(111zzzHQ 系数量化对极点位置的影响系数量化对极点位置的影响 用计算机来实现数字系统时，系数的量化会影响滤波器的特用计算机来实现数字系统时，系数的量化会影响滤波器的特性，即与计算器的存储字长有关，同时选择不同的滤波器结构对性，即与计算器的存储字长有关，同时选择不同的滤波器结构对系统的影响也不尽相同。系统的影响也不尽相同。举例说明不同网络结构对极点位置的影响举例说明不
15、同网络结构对极点位置的影响四位字长量化，然后系数截尾。四位字长量化，然后系数截尾。），极点：18.0 0.695 (125.0865.011)(212zzzHQ级联实现对滤波器系数量化不敏感，级联型实现比直接型更有价值！级联实现对滤波器系数量化不敏感，级联型实现比直接型更有价值！（极点0.4 0.5）)()(1)()()(10zAzBzazbzXzYzHNiiiMiii iiba iiiiiibbbaaaIIR直接结构的滤波器直接结构的滤波器为量化误差。为量化误差。极点位置灵敏度：每个极点位置对各系数偏差的敏感程度。极点位置灵敏度：每个极点位置对各系数偏差的敏感程度。NiiiMiiiQzazb
16、zH101)(分析极点的情况：分析极点的情况：量化后：量化后：N1i1i1)z-(1 1)(zzazANiii N,1,2,i iizz N,1,2,i N1kkkiiaazz位置偏移以后的极点：位置偏移以后的极点：的影响程度。对的大小决定了ikkizaaz 结论：直接型所有的系数对极点都有影响，级联和并联只有本结论：直接型所有的系数对极点都有影响，级联和并联只有本小节的系数有影响，应该避免采用直接型。小节的系数有影响，应该避免采用直接型。)()(nxany)()()(nenxany典型相乘典型相乘：a为滤波器系数，为滤波器系数，x(n)是数据值。是数据值。在一定的假设下成立在一定的假设下成立
17、如果寄存器长度是如果寄存器长度是(L+1)位，则舍入误差为：位，则舍入误差为：2 21221LrLee(n)在这个范围内均匀分布，则在这个范围内均匀分布，则e(n)的平均值为零，方差为：的平均值为零，方差为：2 312121 1)2(L-22Le以一阶以一阶IIR滤波器运算中的乘法舍入误差为例。滤波器运算中的乘法舍入误差为例。)()1()(nxnyany)()()(nfnyny221122112121)()(2adzzHzHzjLcef211172.07.114.0)8.01)(9.01(4.0)(zzzzzH 4.223 222qIef1、直接型结构、直接型结构2、级联型结构、级联型结构)8
18、.01(1)9.01(4.0)(11zzzH 2.15 22qf118.0132.09.0136.0)(zzzH 误差并联型级联型误差直接型误差比较三种结构的误差大小，可以看到：比较三种结构的误差大小，可以看到：34.1 22qf五、研究有限字长效应的目的五、研究有限字长效应的目的2、在专用硬件实现时，分析精度以选取最小字长。、在专用硬件实现时，分析精度以选取最小字长。1、在通用计算机上实现时，字长固定，做误差分析以了解、在通用计算机上实现时，字长固定，做误差分析以了解结果的可信度。结果的可信度。第六章第六章 多抽样率数字信号处理基础多抽样率数字信号处理基础 前面介绍的数字信号处理结构都属于单
19、抽样率的系统，即前面介绍的数字信号处理结构都属于单抽样率的系统，即信号的抽样率都是一样的。而在有些应用中，需要将给定抽样信号的抽样率都是一样的。而在有些应用中，需要将给定抽样率的信号转化为具有不同抽样率的其他信号。率的信号转化为具有不同抽样率的其他信号。例如：在数字音频中，目前使用三种不同的抽样率：例如：在数字音频中，目前使用三种不同的抽样率：广广 播：播：32kHz 数字压缩光盘：数字压缩光盘：44.1kHz 数字音频磁带：数字音频磁带：48kHz视频：视频：NTSC：全国电视系统委员会制式：全国电视系统委员会制式 14.3181818MHzPAL：逐行倒相彩色电视制式：逐行倒相彩色电视制式
20、 17.734475MHz在在NTSC和和PAL混合视频信号系统中要转换抽样率。混合视频信号系统中要转换抽样率。高，称为“内插”抽样器：抽样率由低到上到低，称为“抽取”下抽样器：抽样率由高抽样率转化器 转换方法数字域方法：最常用的转换方法模拟域方法：最直观的抽样率转换方法 抽样率转换抽样率转换：将信号原给定采样率转换成新采样率的过程。：将信号原给定采样率转换成新采样率的过程。多率系统多率系统：能够以多种抽样率实现数字信号处理的系统。：能够以多种抽样率实现数字信号处理的系统。模拟域方法模拟域方法：模拟域方法的缺点模拟域方法的缺点：D/A和和A/D环节会引入信号重构误差和量环节会引入信号重构误差和
21、量化误差，使信号产生失真。化误差，使信号产生失真。目标抽样频率原信号抽样频率:DsDsffffD 下采样过程主要在信号传输和处理的实际中，为了减下采样过程主要在信号传输和处理的实际中，为了减少数据量而采取的措施。少数据量而采取的措施。实现：通过对原数字信号每隔实现：通过对原数字信号每隔D-1个样点抽取一个样点的方法。个样点抽取一个样点的方法。例：例：D=3对对x(n)进行每隔进行每隔2个点抽取一个值构成新的序列。个点抽取一个值构成新的序列。)()(sTjsseXnx率是信号的最高模拟角频hDTTDffffDsDsDs 对其进行抽样和分别以nssnssTjsjsTnXTnXTeXeXs)2(1)
22、(1)()()()(jXtxa)()(DTjDDeXnxnssnDDTjDjDDTnXDTnXTeXeXD)2(1)(1)()(结论：抽样率越小，序列的周期谱中谱瓣之间的距离就越小。结论：抽样率越小，序列的周期谱中谱瓣之间的距离就越小。模拟信号模拟信号原采样率信号原采样率信号现采样率信号现采样率信号nssnssTjsjsTnXTnXTeXeXs)2(1)(1)()(nssnDDTjDjDDTnXDTnXTeXeXD)2(1)(1)()(抽取前抽取前抽取后抽取后随着随着D的增大，两个谱瓣之的增大，两个谱瓣之间的距离越来越近。间的距离越来越近。在保证不引入混叠失真的前在保证不引入混叠失真的前提下，
23、对其进行抽取的最大提下，对其进行抽取的最大因子为：因子为：hmD )()(DnxnxpdmmDnnp)()(0 )()()()(其他mDnnxnpnxnxp对信号先滤波带限处理减小抽取因子解决办法 第二种方法只适用于关注的频段在低频段的情况。第二种方法只适用于关注的频段在低频段的情况。其他 0,2,1,0 )/()(nInxnyI I倍因子内插就是在两个样点间插入倍因子内插就是在两个样点间插入I-1个零值点，使个零值点，使抽样频率提高为原来的抽样频率提高为原来的I倍。倍。输入输出关系：输入输出关系：由于内插过程中在原信号相邻样点间插入的是零值点，由于内插过程中在原信号相邻样点间插入的是零值点，
24、而非真正的抽样值点，因此在插值操作之后还需要一个低而非真正的抽样值点，因此在插值操作之后还需要一个低通滤波器。通滤波器。njnxnjnyjIyyyeInTxenTyeY)/()()()()()()(IjjmjmxmjmIxyxxyeXeXemTxemTxITIITTfIfxxyxyxy/令令m=n/I输出信号的频谱是通过对输入信号做输出信号的频谱是通过对输入信号做I倍的压缩得到的。倍的压缩得到的。压缩后原先压缩后原先2的周期变成了的周期变成了2/I。在。在0,2内出现了内出现了I-1个重复谱瓣，称为镜像。个重复谱瓣，称为镜像。其他 0 )(IIeHjI滤除镜像的低通滤波器特性滤除镜像的低通滤波
25、器特性 在实际应用中，整数因子的抽样率转换不能很好地满在实际应用中，整数因子的抽样率转换不能很好地满足需要，提出有理因子足需要，提出有理因子I/D实现抽样率转换。实现抽样率转换。抽取操作，使原信号的样点数减少，在有些情况下可抽取操作，使原信号的样点数减少，在有些情况下可能造成信号的信息损失，因此，先内插后抽取。能造成信号的信息损失，因此，先内插后抽取。有理数抽取转换有理数抽取转换原信号原信号最大抽取最大抽取D=3先内插先内插I=2最大抽取最大抽取D=7上抽样过程：长度上抽样过程：长度50，抽样因子为，抽样因子为3，正弦信号频率，正弦信号频率0.12Hz131下抽样过程：长度下抽样过程：长度50，下抽样因子，下抽样因子3，频率，频率0.042Hz132
