1、第 7 章应力状态和强度理论7.1 应力状态概述应力状态概述 前面前面,在研究轴向拉伸在研究轴向拉伸(或压缩或压缩)、扭转、弯曲等基本变、扭转、弯曲等基本变形构件的强度问题时已经知道形构件的强度问题时已经知道,这些构件横截面上的危这些构件横截面上的危险点处只有正应力或切应力险点处只有正应力或切应力,并建立了相应的并建立了相应的强度条件强度条件 maxmax,在一般情况下在一般情况下,受力构件内的一点处可能受力构件内的一点处可能既有正应既有正应力力,又有切应力又有切应力。若需对这类点的应力进行强度计算若需对这类点的应力进行强度计算,则则不能分别按不能分别按正应力和切应力来建立强度条件正应力和切应
2、力来建立强度条件,而需综合考虑正应力而需综合考虑正应力和切应力的影响。和切应力的影响。此外此外,构件在拉压、扭转、弯曲等基本变形构件在拉压、扭转、弯曲等基本变形情况下情况下,并不都是沿构件的横截面破坏的。例如并不都是沿构件的横截面破坏的。例如,在拉伸试验中在拉伸试验中,低碳钢屈服时在与试件轴线成低碳钢屈服时在与试件轴线成45的方向出现滑移线的方向出现滑移线;铸铁扭转时铸铁扭转时,试件却沿着试件却沿着与轴线成与轴线成45的螺旋面破坏。的螺旋面破坏。这表明杆件的破坏这表明杆件的破坏还与斜截面上的应力有关还与斜截面上的应力有关。因此必须研究通过某点各个不同方位截面因此必须研究通过某点各个不同方位截面
3、上应力的变化规律上应力的变化规律,从而确定该点处的最大正应从而确定该点处的最大正应力和最大切应力及其所在截面的方位。力和最大切应力及其所在截面的方位。受力构受力构件内一点处不同方位截面上应力的集合件内一点处不同方位截面上应力的集合,称为称为一一点处的应力状态点处的应力状态。如何研究？如何研究？7.1 应力状态概述应力状态概述 是围绕该点取一个无限小的是围绕该点取一个无限小的正六面体正六面体单元体单元体来研究来研究。单元体的边长为无穷小量单元体的边长为无穷小量(且一般不考且一般不考虑重量虑重量)，故可以认为单元体各个面上的，故可以认为单元体各个面上的应力均匀分布，且任意一对平行平面上的应力均匀分
4、布，且任意一对平行平面上的应力大小、性质完全相同应力大小、性质完全相同。当单元体三对相互垂直面上的应力已知当单元体三对相互垂直面上的应力已知时，就可以求得通过该点的任意斜截面上时，就可以求得通过该点的任意斜截面上的应力，从而确定该点的应力状态。的应力，从而确定该点的应力状态。应力状态的研究方法应力状态的研究方法单元体单元体截取单元体的基本原则截取单元体的基本原则 三对平行平面上的应力应该是给定三对平行平面上的应力应该是给定的或经过分析后可以求得的，而构件在的或经过分析后可以求得的，而构件在各种基本变形时横截面上的应力分布及各种基本变形时横截面上的应力分布及计算前面已学过，计算前面已学过，故单元
5、体的三对平行故单元体的三对平行平面中通常常有一对平行平面是构件的平面中通常常有一对平行平面是构件的横截面。横截面。应力的标注应力的标注 xyxy表示与表示与x轴垂直的面上沿轴垂直的面上沿y方向的切应力。方向的切应力。x 表示外法线方向为表示外法线方向为x方向的方向的正应力。正应力。zxxyz x z y例例7-1 画出下列图中画出下列图中A、B两点的原始单元体。两点的原始单元体。A x xAPPB x xz zxxyzBP主平面、主平面、主应力、主单元体：主应力、主单元体：、主单元体：主单元体：各侧面上切应力均为各侧面上切应力均为零的单元体。零的单元体。、主平面：主平面：切应力为零的截面。切应
6、力为零的截面。、主应力：主应力：主平面上的正应力。主平面上的正应力。xyz、主应力排列规定：主应力排列规定：按代数值大小按代数值大小321 、三向应力状态三向应力状态 三个主应力都不为零的应力状态。三个主应力都不为零的应力状态。主平面、主平面、主应力、主单元体：主应力、主单元体：、二向应力状态：二向应力状态：两个主应力不为零的应力状态。两个主应力不为零的应力状态。、单向应力状态：单向应力状态：一个主应力不为零的应力状态。一个主应力不为零的应力状态。xB xz zxA x x主平面、主平面、主应力、主单元体：主应力、主单元体：若单元体有若单元体有一对平行平面一对平行平面上的应力等于零上的应力等于
7、零,则则称为称为二向二向（平面）应力状态。平面）应力状态。abxd xy y x y xy yx yx xycxy y y yx yx xy xy x xabcd7.2 二向应力状态二向应力状态设一平面应力状态如图设一平面应力状态如图所示。为求任一斜截面所示。为求任一斜截面上的应力上的应力,可应用截面可应用截面法。法。7.2.1 斜截面上的应力斜截面上的应力xy y y yx yx xy xy x xabcdefa ana a设斜截面设斜截面 ef 的外法线的外法线n与与x轴间的夹角为轴间的夹角为a a,简称为简称为a a截面截面,并规定从并规定从x轴到外法线轴到外法线n逆时针转向的方位角为正
8、值逆时针转向的方位角为正值。a a截面上的应力分量用截面上的应力分量用 a a和和 a a表示。表示。对对正应力正应力 a a,规定以拉规定以拉应力为正应力为正,压应力为负压应力为负;对对切应力切应力 a a,则以其对单则以其对单元体内任一点的矩为元体内任一点的矩为顺顺时针转向者为正时针转向者为正,反之为反之为负负。yx a a a aa a y x xyxy y y yx yx xy xy x xabcdefa ana an0,d(dcos)cos(dcos)sin(dsin)sin(dsin)cos0 xxyyyxFAAAAAaaaaaaaaaefbdAdAsina adAcosa ad(
9、dcos)cos(dcos)sin(dsin)sin(dsin)cos0 xxyyyxAAAAAaaaaaaaaa221 cos21 cos2cos,sin,2sincossin222aaaaaaa由切应力互等定理由切应力互等定理,xy yx,则上式可简化为则上式可简化为 22cossin2sincosxyxyaaaaa又由三角关系又由三角关系:将其代入前式将其代入前式,可得可得 cos2sin222xyxyxyaaat0,d(dcos)sin(dcos)cos(dsin)cos(dsin)sin0 xxyyyxFAAAAAaaaaaaaaa对于斜截面的切线对于斜截面的切线t参考轴列平衡方程为
10、参考轴列平衡方程为efbdAdAsina adAcosa a由切应力大小互等由切应力大小互等,xy yx,则上式可简化为则上式可简化为 22()sincos(cossin)xyaaaaaa由三角关系化简得由三角关系化简得 sin2cos22xyxyaaasin2cos22xyxyaaacos2sin222xyxyxyaaa利用这两个公式利用这两个公式,就可以从单元体上的已知应就可以从单元体上的已知应力力 x、y、xy(yx),),求得任意斜截面上的正应求得任意斜截面上的正应力力 a a和切应力和切应力 a a。并且由此两式出发。并且由此两式出发,还可求还可求得单元体的极值正应力和极值切应力。所
11、以得单元体的极值正应力和极值切应力。所以,这两个方程也称为这两个方程也称为应力转换方程。应力转换方程。sin2cos22xyxyaa acos2sin222xyxyxyaa a7.2.2 求极值正应力求极值正应力令令:d2sin2cos2 0d2xyxyaaaa 以以a a0表示主平面的法线表示主平面的法线n与与x轴间的夹角轴间的夹角,由上由上式可得式可得 02tan2xyxya以以a a0和和a a090确定两个互相垂直的平面确定两个互相垂直的平面,这表这表明明,两个主平面是相互垂直的两个主平面是相互垂直的;同样同样,两个主应力两个主应力也必相互垂直也必相互垂直。02tan2xyxya a
12、a0a a090两主平面上的极值正应力为两主平面上的极值正应力为:2222xyxyxy当当 x y时时,由上式直接求出的较小由上式直接求出的较小a a0角对应较角对应较大正应力的方向。大正应力的方向。注意注意:主应力按代数值大小排列，在主应力按代数值大小排列，在二向应力状态中二向应力状态中,有一个主应力为有一个主应力为0。321 02tan2xyxya a a0a a0902222xyxyxy7.2.3 极值极值切应力切应力:1d:0daa aa令1tan22xyxyasin2cos22xyxyaaamax13min2 0145 ,4aa即极值切应力面与主平面成02tan2xyxya10tan
13、2tan21aa 由于书中公式书中公式7-87-87.2.4 两个特例两个特例FFkkaFkkpa a a a a aa a2cossin22aaaaxn1 单向应力状态单向应力状态轴向拉压轴向拉压2.二向应力状态二向应力状态圆轴受扭圆轴受扭分析过程：分析过程：确定危险点确定危险点并画其原始单元体并画其原始单元体C C求极值应力求极值应力0yxpxyTW2222xyxyxy（）3210C xy yx xy yx 扭转扭转破坏分析破坏分析002tan245xyxyaa max13min2 11tan2002xyxyaa（剪坏）（剪坏）（拉坏）（拉坏）xy45 1 3sin2cos22xyxyaa
14、acos2sin222xyxyxyaaa02tan2xyxya上节公式复习上节公式复习2222xyxyxymax13min2 MPa53MPa170321，10102050(MPa)20MPax 22()22xyxyxy例例7-2 已知单元体上的应力，求主应力、最大切已知单元体上的应力，求主应力、最大切应力及画主单元体。应力及画主单元体。2235151035 1817MPa53 10MPaxy 50MPay 解解:022(10)2tan220503xyxya 画出主单元体如右图画出主单元体如右图0()xyxa，10102050n320ax(MPa)最大切应力最大切应力13max26.5MPa2
15、MPa53MPa170321，20MPa50MPa10MPaxyxy ，00233.716.85aa，MPa4.1723316080 x解得：sin60cos602380MPa42xxyxyxa1208030 xyx(MPa)120MPa80MPa300yaaa、cos60sin602233120MPa42xxxyxxya8040 310.7MPaxy思考题思考题：已知单元体上的应力，求已知单元体上的应力，求 ，。xxy解解:由上述两公式可知由上述两公式可知,当已知一平面应力状态单当已知一平面应力状态单元体上的应力元体上的应力 x,xy和和 y,yx(-xy)时时,任一任一a a截截面上的应力
16、面上的应力 a a和和 a a均以均以2 2a a为参变量。从上两式为参变量。从上两式中消去参变量中消去参变量2a a后后,即得即得222222xyxyxyaa*7.2.5 二向应力状态分析二向应力状态分析-图解法图解法cos2sin222xyxyxyaaasin2cos22xyxyaaacos2sin222xyxyxyaaa222222xyxyxyaa2xy22()2xyxy O圆心位于横坐标轴上。圆心位于横坐标轴上。其坐标为其坐标为(,0)2xy半径为半径为22()2xyxyC7.2.5 二向应力状态分析二向应力状态分析-图解法图解法由上式可见由上式可见,当斜截面随方位角当斜截面随方位角a
17、 a变化时变化时,其上的应力其上的应力 a a,a a在在 直角坐标系内的轨迹是一个圆直角坐标系内的轨迹是一个圆,其圆心位其圆心位于横坐标轴于横坐标轴(轴轴)上上,该圆习惯上称为该圆习惯上称为应力圆应力圆,或称为或称为莫莫尔尔(O.Mohr)应力圆。应力圆。应力圆的作法应力圆的作法 y y yx yx xy xy x xabcd在在 -坐标系内坐标系内,选定比例尺选定比例尺;O量取量取OB1 x,已知应力已知应力 x,xy和和 y,yx(-xy);xB1B1D1 xy得点得点D1;量取量取OB2 y,B2D2 yx得点得点D2;yB2连接连接D1D2两点的直线与两点的直线与 轴轴相交于点相交于
18、点C,以以C为圆心为圆心,CD1或或CD2为半径作圆为半径作圆;C yxD2D1 xy y y yx yx xy xy x xabcd该圆的圆心该圆的圆心C到坐标原点的距离为到坐标原点的距离为 O xB1D1 xy y yxD2B2C22xyxyyOC22()2xyxy半径为半径为该圆就是对应于该单元体应该圆就是对应于该单元体应力状态的应力圆。力状态的应力圆。点点D1的坐标为的坐标为(x,xy),因因而点而点D1代表单元体代表单元体x平面平面(即横截面即横截面)上的应力上的应力。同样同样,点点D2的坐标为的坐标为(y,yx),因而点因而点D2代表单元体代表单元体y平面平面(即横截面即横截面)上
19、的应力上的应力。利用应力圆求单元体上任一利用应力圆求单元体上任一a a截面上的应力截面上的应力从应力圆的半径从应力圆的半径CD1按方位角按方位角a a的转向转动的转向转动2a a,得到得到半径半径CE。圆周上点圆周上点E的的 坐标就依次为斜截面上的正应力坐标就依次为斜截面上的正应力 a a,切应力切应力 a a。a a a aE2a a O xB1D1 xy y yxD2B2Cxy y y yx yx xy xy x xabcdefa ana a点点E的横坐标为的横坐标为OFOCCF0cos(22)OCCEaa00cos2cos2sin2sin2OCCECEaaaa1()2xyOC010cos
20、2cos21()2xyCECDaa010sin2sin2xyCECDaaF O xB1D1 xy y yxD2B2CE2a a a a a a2a a000cos2cos2sin2sin2cos2sin222xyxyxyOFOCCECEaaaaaaa0011(),cos2(),sin222xyxyxyOCCECEaa同样可证点同样可证点E的的纵坐标为纵坐标为sin2cos22xyxyEFaaaF O xB1D1 xy y yxD2B2CE2a a a a a a2a a0应力圆上的点与单元体上的面之间的对应关系应力圆上的点与单元体上的面之间的对应关系:单元体某一面上的应力单元体某一面上的应力,
21、必对应于应力圆上某一点的必对应于应力圆上某一点的坐标。坐标。O xB1D1(x,xy)xy y yxD2(y,yx)B2CE2a a a a a axy y y yx yx xy xy x xabcdea ana a a a a a从应力圆上可见从应力圆上可见,A1和和A2两点的横坐标分别两点的横坐标分别为该单元体垂直于为该单元体垂直于xy平面各截面上正应力中的平面各截面上正应力中的极大值和极小值极大值和极小值,在这两个截面上的切应力在这两个截面上的切应力(即即A1,A2两点的纵坐标两点的纵坐标)均等于零。均等于零。O xB1D1 xy y yxD2B2C 2A2 1A1正应力中的极大值和极小
22、值正应力中的极大值和极小值22111()()422xyxyxy22211()()422xyxyxy O xB1D1 xy y yxD2B2C 2A2 1A1由于圆上点由于圆上点D1和点和点A1分别对应于单元体上的分别对应于单元体上的x平面和平面和 1主平面主平面,D1CA1为上述两平面间夹角为上述两平面间夹角a a0的两倍的两倍,所以所以单元体上从单元体上从x平面转到平面转到 1主平面的转角为顺时针转向主平面的转角为顺时针转向,按规定应为负值按规定应为负值。因此。因此,由应力圆可得从而解得由应力圆可得从而解得0tan(2)1()2xyxya主平面方位角主平面方位角 O xB1D1 xy y y
23、xD2B2C 2A2 1A12a a0 O xB1D1 xy y yxD2B2C 2A2 1A12a a0主平面方位角主平面方位角由由CD1顺时针转顺时针转2a a0到到CA1。所以单元体上从所以单元体上从x轴顺时针转轴顺时针转a a0(负值负值)即即到到 1对对应的应的主平面的外法线。主平面的外法线。a a0确定后确定后,1对应的对应的主平面方位即确定。主平面方位即确定。y y yx y x xy x xabcdxa a0 1 1 2 2例例7-5(习题习题7-7)用应力圆求图示单元体的主应力及主用应力圆求图示单元体的主应力及主平面的位置。平面的位置。(单位：单位：MPa)453253259
24、51502020 a a a ao(MPa)(MPa)CAB解解 建立应力坐标系如图建立应力坐标系如图)325,45(B)325,95(A在在坐标系内画出点坐标系内画出点、AB的垂直平的垂直平分线与分线与 a a 轴的交轴的交点点C便是圆心，以便是圆心，以C为圆心，以为圆心，以AC为半径画圆为半径画圆应力圆应力圆AB4532532595150AB 1 2a a 0、主应力及主平面如图主应力及主平面如图0MPa20MPa120321 300 a a2020 a a a ao(MPa)(MPa)CABaaa2cos2sin2xyyx解法解法2解析法：分析解析法：分析建立坐标系如图建立坐标系如图xy
25、yxyMPa325MPa45?x222122xyyxyx）（453253259515060606095MPa 253MPaxyO例例7-4:图示矩形截面简支梁图示矩形截面简支梁,试分析任一横截试分析任一横截面面m-m上各点的主应力上各点的主应力,并进一步分析全梁的并进一步分析全梁的情况。情况。解解:1.截面上各点主应力截面上各点主应力xyqq(x)Oabcdemm在截面在截面m-m上上,截面上、下边缘的点截面上、下边缘的点a和和e处于单向应力处于单向应力状态状态;中性轴上的点中性轴上的点c处于纯剪切状态处于纯剪切状态;而在其间的点而在其间的点b和和d则同时承受弯曲正应力和弯曲切应力。则同时承受
26、弯曲正应力和弯曲切应力。mm22()22xyxyxy02tan2xyxya 22122321(4)021(4)020(a)(b)式式(a)和和(b)表明表明,在梁内任一点处的两个主应力在梁内任一点处的两个主应力中中,其一必为拉应力其一必为拉应力,而另一则必为压应力而另一则必为压应力。可知可知,梁内任一点处的主应力及其方位角可由下式确定梁内任一点处的主应力及其方位角可由下式确定:2.主应力迹线主应力迹线mm根据梁内各点处的主应力方向根据梁内各点处的主应力方向,可可在梁的在梁的xy平面内绘制两组曲线。平面内绘制两组曲线。在一组曲线上在一组曲线上,各点的切向即各点的切向即该点的主拉应力方向该点的主拉
27、应力方向;在另一组曲线上在另一组曲线上,各点的切向各点的切向则为该点的主压应力方向则为该点的主压应力方向。由于各点处的主拉应力与主压应力相互垂直由于各点处的主拉应力与主压应力相互垂直,所以所以,上述两组曲线相互正交。上述曲线族称上述两组曲线相互正交。上述曲线族称为梁的为梁的主应力迹线主应力迹线。受均布载荷作用的简支梁的主应力迹线受均布载荷作用的简支梁的主应力迹线如图所示。如图所示。实线表示主拉应力实线表示主拉应力 1 的迹的迹线线,虚线表示主压应力虚线表示主压应力 3 的迹线的迹线。yx 当一点处的三个主应力都不等于零时，称当一点处的三个主应力都不等于零时，称该点处的应力状态为该点处的应力状态
28、为空间应力状态空间应力状态(三向应力三向应力状态状态)；钢轨在轮轨接触点处就处于空间应力；钢轨在轮轨接触点处就处于空间应力状态状态(图图a)。7.3 三向应力状态三向应力状态最一般形式的空间最一般形式的空间应力状态中有应力状态中有9个个应力分量。但根据应力分量。但根据切应力互等定理有切应力互等定理有 xy yx，yz zy，xz zx，因而，因而独立独立的应力分量为的应力分量为6个个，即即 x，y，z，xy，yz，zx。xyz根据一般形式的空间应力状态根据一般形式的空间应力状态6个应力分量个应力分量为为 x，y，z，xy，yz，zx，可求出主单元体和可求出主单元体和三个主应力。三个主应力。当空
29、间应力状态的三当空间应力状态的三个主应力个主应力 1，2，3已知时已知时(图图a)，与任何一个主平面，与任何一个主平面垂直的那些垂直的那些斜截面斜截面(即平行即平行于该主平面上主应力的斜于该主平面上主应力的斜截面截面)上的应力均可用应力上的应力均可用应力圆显示。圆显示。例如图例如图a中所示平行于中所示平行于 3的斜截面，其上的应力的斜截面，其上的应力由图由图b所示分离体可知，它们与所示分离体可知，它们与 3无关，无关，因而表示这因而表示这类斜截面上应力的点必落在以类斜截面上应力的点必落在以 1和和 2作出的应力圆上作出的应力圆上(参见图参见图c)。同理，表示与同理，表示与 2(或或 1)平行的
30、那类斜截面上应力平行的那类斜截面上应力的点必落在以的点必落在以 1和和 3(或或 2和和 3)作出的应力圆上。作出的应力圆上。进一步的研究证明进一步的研究证明*，表示任意斜截面，表示任意斜截面(图图a中的中的abc截面截面)上应力的点上应力的点D必位于如图必位于如图c所示以主应力作所示以主应力作出的三个应力圆所围成的阴影范围内。出的三个应力圆所围成的阴影范围内。(a)(c)据此可知，受力物体内一点处代数值最大的正据此可知，受力物体内一点处代数值最大的正应力应力 max就是主应力就是主应力 1，即，即max1max131()2上述两公式同样适用于平上述两公式同样适用于平面应力状态或单轴应力状面应
31、力状态或单轴应力状态态,只需将具体问题的主应只需将具体问题的主应力 求 出力 求 出,并 按 代 数 值并 按 代 数 值 1 2 3 的顺序排列。的顺序排列。而最大切应力为而最大切应力为例例7-6 7-6 单元体的应力如图所示单元体的应力如图所示,求出主应力求出主应力和最大切应力值。和最大切应力值。xyz20 MPa40 MPa20 MPa20 MPaxyz20 MPa40 MPa20 MPa20 MPa因此与该主平面正交的各截面因此与该主平面正交的各截面上的应力与主应力上的应力与主应力 z无关，无关，可可采用解析法求出采用解析法求出另外两个另外两个主应主应力。力。也可画出应力圆求也可画出应
32、力圆求解解(不不鼓励鼓励)。20 MPaz解解:该单元体有一个已知主应该单元体有一个已知主应力力40 MPa,20 MPa20 MPaxyxy xy y y yx yx xy xy x xabcd得另外两个主应力为得另外两个主应力为 46 MPa,-26 MPa40 MPa 20 MPa 20 MPa xyxy 该单元体的三个主应力按其代数值的大小顺序该单元体的三个主应力按其代数值的大小顺序排列为排列为:()max13136MPa22246MPa26MPa22xyxyxy（）12346MPa,20MPa,26MPa 单向拉压时，单向拉压时，当正应力低于比例极限时当正应力低于比例极限时,正应力与
33、正应变成正比正应力与正应变成正比,即即拉压胡克定律拉压胡克定律7.4 应力和应变的关系应力和应变的关系E7.4.1 单向拉压时应力和应变的关系单向拉压时应力和应变的关系 纯剪切时纯剪切时，当切应力不超过材料的剪切当切应力不超过材料的剪切比例极限时，切应力与切应变成正比，比例极限时，切应力与切应变成正比，即即剪切胡克定律剪切胡克定律7.4 应力和应变的关系应力和应变的关系7.4.2 纯剪切时应力和应变的关系纯剪切时应力和应变的关系G对于各向同性材料对于各向同性材料,沿各方向的弹性常数沿各方向的弹性常数E,G,均分别相同。在均分别相同。在线弹性范围、小线弹性范围、小变形条件变形条件下下,正应力只引
34、起线应变正应力只引起线应变,而切而切应力只引起同一平面内的切应变应力只引起同一平面内的切应变。可用叠加原理可用叠加原理,分别计算出分别计算出 x,y,z单独单独存在时存在时x,y,z方向的线应变方向的线应变 x,y,z,然后然后代数相加。代数相加。7.4 应力和应变的关系应力和应变的关系7.4.3 广义胡克定律广义胡克定律1xxE x单独存在时单独存在时 y单独存在时单独存在时 z单独存在时单独存在时x 方向的线应变方向的线应变2yxyE 3zxzE 在在 x,y,z同时存在时同时存在时,x方向的线应变方向的线应变 x为为1()xxyzE 7.4.3 广义虎克定律广义虎克定律xyz依此类推，依
35、此类推，y,z方向的线应变方向的线应变 为为1()1()yyzxzzxyEE 1()xxyzE 切应变切应变 xy,yz,zx与切应力与切应力 xy,yz,zx间的关系分间的关系分别为别为,xyyzzxxyyzzxGGG 一般空间应力状态下一般空间应力状态下,在线弹性范围内、小在线弹性范围内、小变形条件下各向同性材料的变形条件下各向同性材料的广义胡克定律广义胡克定律1()yyzxE 1()xxyzE,xyyzzxxyyzzxGGG1()zzxyE 7.4.3 广义胡克定律广义胡克定律22311()E 11231()E 33121()E 若已知空间应力状态下单元体的三个主应力若已知空间应力状态下
36、单元体的三个主应力,则沿主应则沿主应力方向只有线应变力方向只有线应变,而无切应变。而无切应变。与主应力与主应力 1,2 2,3相应的线应变分别记为相应的线应变分别记为 1,2,3,称为称为主应变主应变。主应变主应变每单位体积的体积变化每单位体积的体积变化,称为称为体积应变体积应变,用用q q 表示。表示。1 2 3a1a2a3如图如图,设单元体的三对平面为设单元体的三对平面为主平面主平面,三个边长为三个边长为a1,a2,a3。变 形 后 的 边 长 分 别 为变 形 后 的 边 长 分 别 为a1(1+),a2(1+2),a3(1+3)。112233(1)(1)(1)Vaaa 变形后单元体的体
37、积为变形后单元体的体积为7.4.4 体积应变体积应变由体积应变的定义由体积应变的定义,并在小变形条件下并在小变形条件下略去线应略去线应变乘积项的高阶微量变乘积项的高阶微量,可得可得VVVq112233123123(1)(1)(1)aaaa a aa a a123123123123(1)a a aa a aa a a12322311()E 11231()E 33121()E 1231 2()Eq在任意形式的应力状态下在任意形式的应力状态下,各向同性材料内一各向同性材料内一点处的体积应变与通过该点的任意三个相互垂点处的体积应变与通过该点的任意三个相互垂直平面上的正应力之和成正比直平面上的正应力之和
38、成正比,而与切应力无而与切应力无关。关。1231 2()Eq3(12)EK令令123m3mKqK为体积弹性模量，为体积弹性模量，m为平均主应力。为平均主应力。物体受外力作用而产生弹性变形时物体受外力作用而产生弹性变形时,在物体内在物体内部将积蓄有应变能部将积蓄有应变能,每单位体积内所积蓄的应每单位体积内所积蓄的应变能称为变能称为应变能密度应变能密度。在在单轴应力状态单轴应力状态下下,物体内所积蓄的应变能密度为物体内所积蓄的应变能密度为应变能密度的计算公式应变能密度的计算公式12v*7.4.5 复杂应力状态下的应变能密度复杂应力状态下的应变能密度在在同一比例加载同一比例加载时时,对应于每一主应力
39、对应于每一主应力,其应变能密度等于该主应力在与之相应其应变能密度等于该主应力在与之相应的主应变上所作的功的主应变上所作的功,而而其它两个主应力其它两个主应力在该主应变上并不做功在该主应变上并不做功。因此。因此,同时考虑同时考虑三个主应力在与其相应的主应变上所作三个主应力在与其相应的主应变上所作的功的功,单元体的应变能密度应为单元体的应变能密度应为1 122331()2v 1 122331()2v 22311()E 11231()E 33121()E 经整理得经整理得22212312233112()2vE 在一般情况下在一般情况下,单元体将同时发生单元体将同时发生体积改变体积改变和和形状改形状改
40、变变。可将主单元体分解为图示两种单元体的叠加。其。可将主单元体分解为图示两种单元体的叠加。其中中 m称为称为平均应力平均应力,即即 m m mm1231()3(b)1-m 2-m 3-m(c)1 2 3(a)在平均应力作用下在平均应力作用下(图图b),单元体的单元体的形状不变形状不变,仅发仅发生体积改变生体积改变,故其应变能故其应变能密度就等于图密度就等于图a所示单元所示单元体的体的体积改变能密度体积改变能密度,即即 m m m222222vmmmmmm22m12312()23(1 2)1 2()26vEEE(b)图图c所示单元体的所示单元体的三个主应力三个主应力之和为零之和为零,故其体积不变
41、故其体积不变,仅仅发生形状改变。于是发生形状改变。于是,其应变其应变能密度就等于图能密度就等于图a所示单元体所示单元体的的形状改变能密度形状改变能密度(畸变能密畸变能密度度)。1-m 2-m 3-m222s1223311()()()6vE(c)mKqvsvvv应变能密度应变能密度v等于体积改变能密度等于体积改变能密度vV与畸变能密度与畸变能密度vs之和。之和。例例7-7 已知一受力构件自由表面上某一点处的两个面已知一受力构件自由表面上某一点处的两个面内主应变分别为：内主应变分别为：x=240 10-6，y=-160 10-6，弹性，弹性模量模量E=210 GPa，泊松比为，泊松比为 =0.3，
42、试求该点处的主试求该点处的主应力及另一主应变应力及另一主应变。根据广义胡克定律根据广义胡克定律,有有:xy61160 10yyxE 6124010 xxyE解：在自由面上，有一个主应力等于。解：在自由面上，有一个主应力等于。44.3MPa 20.3MPaxyxy()696100.3(20.344.3)10210 1034.3 10zxyE 12344.3MPa020.3MPa 321例例7-8 边长边长a=0.1 m的铜质立方体置于的铜质立方体置于刚性刚性很很大钢块中的凹坑内大钢块中的凹坑内(图图a)，钢块与凹坑之间无间，钢块与凹坑之间无间隙。试求当铜块受均匀分布于顶面的竖向外加隙。试求当铜块
43、受均匀分布于顶面的竖向外加荷载荷载F=300 kN时，铜块内的主应力、最大切时，铜块内的主应力、最大切应力。已知铜的弹性模量应力。已知铜的弹性模量E=100 GPa，泊松比，泊松比 0.34。铜块与钢块上凹坑之间的摩擦忽略不。铜块与钢块上凹坑之间的摩擦忽略不计。计。(a)解：解：1.铜块水平面上的压应力为铜块水平面上的压应力为 326300 100.130 10 Pa30 MPayFA 2.铜块在铜块在 y作用下不能横向膨胀，即作用下不能横向膨胀，即 x=0，z0，可见铜块的，可见铜块的x截面和截面和z截面上必有截面上必有 x和和 z存在存在(图图b)。(b)按照广义胡克定律及按照广义胡克定律
44、及x0和和z0的条件有方程的条件有方程：()()1010 xxyzzzyxEE 从以上二个方程可见，当它们都得到满足时显从以上二个方程可见，当它们都得到满足时显然然 x z。于是解得。于是解得()660.3430 10 Pa15.5 10 Pa11 0.34 15.5 MPaxzy (b)由于忽略铜块与钢块上凹坑之间的摩擦，所以由于忽略铜块与钢块上凹坑之间的摩擦，所以 x，y，z都是主应力，且都是主应力，且MPa30MPa5.153213.铜块内的最大切应力为铜块内的最大切应力为()()max131115.53022 7.25 MPa(b)例例7-9 一直径一直径d20 mm的实心圆轴的实心圆
45、轴,在轴的两端在轴的两端加力偶矩加力偶矩Me126 Nm。在轴的表面上某一点。在轴的表面上某一点A处用应变仪测出与轴线成处用应变仪测出与轴线成-45方向的应变方向的应变 5.0 10-4,试求此圆轴材料的剪切弹性模量试求此圆轴材料的剪切弹性模量G。解解:包围点包围点A取一单取一单元体元体Axyyx-45132222xyxyxyxy 02tan2xyxya 045a MeA45xMeAxyyx-4513123,0,xyxy 11311()xyEEe3p116xyMTWde11p3-4112(1)2211260.022 5.0 101680.2 GPaxyMEGW-4455.0 10MeA45xM
46、e例例7-10 在一体积较大的钢块上有一直径为在一体积较大的钢块上有一直径为50.01 mm的凹座，凹座内放置一直径为的凹座，凹座内放置一直径为50 mm的钢制圆柱如图，圆柱受到的钢制圆柱如图，圆柱受到P=300 kN的轴的轴向压力。假设钢块不变形，试求圆柱的主应向压力。假设钢块不变形，试求圆柱的主应力。取力。取E=200 GPa，=0.30。FpFpp在轴向压缩下，圆柱将向横向膨胀，当它胀到塞满在轴向压缩下，圆柱将向横向膨胀，当它胀到塞满凹座后，凹座与柱体之间将产生径向均匀压力凹座后，凹座与柱体之间将产生径向均匀压力p。柱。柱体横截面内任一点均为二向均压应力状态，柱内任体横截面内任一点均为二
47、向均压应力状态，柱内任一点的径向与周向应力均为一点的径向与周向应力均为-p。解：解：r5.001 50.00025 考虑到柱与凹座之间的间隙，可得半径方向考虑到柱与凹座之间的间隙，可得半径方向的应变的应变 r的值为：的值为：32300 104(50)153MPazFA 在柱体横截面上的压应力为在柱体横截面上的压应力为F/App1238 43MPa153MPa p.，柱内各点的三个主应力为：柱内各点的三个主应力为：求得：求得：5153 0.30.0002 2 108.43MPa1 0.3p rr1530.0002zppEEEEEE 由广义虎克定律：由广义虎克定律：F/App1(7.5)61.25
48、MPayz xyz解：建立坐标系如图解：建立坐标系如图MPa5.72zaPAP0 x1()0yyxzE P习题习题:一边长为一边长为a200mm的正方体混凝土块，无空隙的正方体混凝土块，无空隙的放在刚性凹槽内，受到压力的放在刚性凹槽内，受到压力P=300kN作用，作用，=1/6，求，求混凝土各面上的应力。混凝土各面上的应力。7.5 材料破坏的形式材料破坏的形式 7.5.1 材料破坏的基本形式材料破坏的基本形式 在前面的实验中在前面的实验中,曾接触过一些材料曾接触过一些材料的破坏现象的破坏现象,如果以如果以低碳钢低碳钢和和铸铁铸铁两种材两种材料为例料为例,它们在拉伸它们在拉伸(压缩压缩)和扭转试
49、验时和扭转试验时的破坏现象虽然各有不同的破坏现象虽然各有不同,但都可把它归但都可把它归纳为两类基本形式纳为两类基本形式,即即塑性屈服塑性屈服和和脆性断脆性断裂裂。铸铁拉伸或扭转时铸铁拉伸或扭转时,在未产生明显的塑性变形在未产生明显的塑性变形的情况下就突然断裂的情况下就突然断裂,材料的这种破坏形式材料的这种破坏形式,叫做叫做脆性断裂脆性断裂。石料压缩时的破坏也是这种。石料压缩时的破坏也是这种破坏形式。破坏形式。低碳钢在拉伸、压缩和扭转时低碳钢在拉伸、压缩和扭转时,当试件中的应力达到当试件中的应力达到屈服点后屈服点后,就会发生明显的塑性变形就会发生明显的塑性变形,使其失去正常使其失去正常的工作能力
50、的工作能力,这是材料破坏的一种基本形式这是材料破坏的一种基本形式,叫做叫做塑塑性屈服。性屈服。7.5 材料破坏的形式材料破坏的形式 7.5.2 应力状态对材料破坏形式的影响应力状态对材料破坏形式的影响 材料的破坏形式是呈脆性断裂材料的破坏形式是呈脆性断裂,还是呈塑性屈服还是呈塑性屈服,不仅不仅由由材料本身的性质材料本身的性质所决定所决定,还与还与材料的应力状态材料的应力状态有很有很大关系。大关系。试验证明试验证明,同一种材料在不同的应力状态下同一种材料在不同的应力状态下,会发生会发生不同形式的破坏不同形式的破坏。也就是说。也就是说,不同的应力状态将影响不同的应力状态将影响材料的破坏形式。材料的
