1、二维随机变量及其分布二维随机变量及其分布第三章第三章 n 二维随机变量及其联合分布二维随机变量及其联合分布n 边缘分布与独立性边缘分布与独立性n 两个随机变量的函数的分布两个随机变量的函数的分布例如例如 E E：抽样调查：抽样调查15-1815-18岁青少年的身高岁青少年的身高 X X与体重与体重 Y,Y,以研究当前该年龄段青少年的身体以研究当前该年龄段青少年的身体发育情况发育情况。前面我们讨论的是随机实验中单独的一个随机变量，又称为一维随机变量；然而在许多实际问题中，常常需要同时研究一个试验中的两个甚至更多个随机变量。不过此时我们需要研究的不仅仅是不过此时我们需要研究的不仅仅是X X及及Y
2、Y各自的性各自的性质，质，更需要了解这两个随机变量的相互依赖和制约更需要了解这两个随机变量的相互依赖和制约关系。因此，关系。因此，我们将二者作为一个整体来进行研究，我们将二者作为一个整体来进行研究，记为记为(X,Y),称为称为二维二维随机变（向）量随机变（向）量。设设X、Y 为定义在同一样本空间为定义在同一样本空间上的随机变上的随机变量，则称向量量，则称向量（X X，Y Y）为为上的一个上的一个二维随机变二维随机变量量。n 定义定义二维随机变量二维随机变量二维随机变量二维随机变量(X,Y)的取值可看作平面上的点的取值可看作平面上的点（x，y）A二维随机变量的联合分布函数二维随机变量的联合分布函
3、数若若随机变量，随机变量，对于任意的实数对于任意的实数x,y.x,y.(,),F x yP Xx Yy称为二维随机变量的称为二维随机变量的联合分布函数联合分布函数(1)(,)F x yxy分别关于 和 单调不减(,)0Fy(,)0F x (,)0F (,)1F (2)0(,)1F x y(3)xy(x,y)x1x2y1y2 P P（x x1 1 X X x x2 2，y y1 1 Y Y y y2 2）=F(x=F(x2 2,y,y2 2)-F(x)-F(x2 2,y,y1 1)-F(x)-F(x1 1,y,y2 2)+F(x)+F(x1 1,y,y1 1)联合分布函数表示矩形域概率联合分布函
4、数表示矩形域概率P P（x x1 1 X X x x2 2，y y1 1 Y y y2 2）F(xF(x2 2,y,y2 2)-F(x-F(x2 2,y,y1 1)-F(x-F(x1 1,y,y2 2)+F(x+F(x1 1,y,y1 1)二维离散型随机变量二维离散型随机变量 若二维若二维 随机变量随机变量 的所有可能取的所有可能取值只有限对或可列对，则称值只有限对或可列对，则称为为二维离散型二维离散型随机变量。随机变量。如何反映（如何反映（X X，Y Y）的取值规律呢？）的取值规律呢？n 研究问题研究问题联想一维离散型随机变量的分布律。联想一维离散型随机变量的分布律。111ijijp YX1
5、y2yjy1x11p12p1 jp2x21p22p2 jpix1 ip2ipijp。.。.。.。.。.。.。.。.。.。.。.。.。.。性质性质 01ijp,(1,2,;1,2,)ijijP Xx Yypij 一个口袋中有三个球，一个口袋中有三个球，依次标有数字依次标有数字1，2，2，从中任从中任取一个，取一个，不放回袋中，不放回袋中，再任取一个，再任取一个，设每次取球时，设每次取球时，各球被各球被取到的可能性相等取到的可能性相等.以、分别记第一次和第二次取到的球以、分别记第一次和第二次取到的球上标有的数字，上标有的数字，求求(,)X Y的联合分布列的联合分布列.(,)X Y的可能取值为的可能
6、取值为(1，2)，(2，1)，(2，2).，(1/3)(1/3)(2/2)(2/2)1/31/3，(2/3)(2/3)(1/2)(1/2)1/31/3，=(2/3)=(2/3)(1/2)(1/2)1/31/3，1/31/31/3 例例解解 见书见书P69，习题，习题1(,)X Y的可能取值为的可能取值为例例解解(0，0)，(-1，1)，(-1，1/3)，（，（2，0）11(,)(0,0),(,)(1,1)6315(,)(1,1 3),(,)(2,0)1212PX YPX YPX YPX Y （X，Y）的）的联合分布律为联合分布律为 y X011/301/600-101/31/1225/1200
7、若存在若存在非负函数非负函数 f f（x x，y y），使对任意，使对任意实数实数x x，y y，二元随机变量，二元随机变量(X,Y)(X,Y)的分布函数的分布函数 可表示成如下形式可表示成如下形式(,)(,)xyF x yf u v dudv 则称则称(X,Y)(X,Y)是二元连续型随机变量。是二元连续型随机变量。f f（x x，y y）称为二元随机变量称为二元随机变量(X,Y)(X,Y)的的联合联合概率密度函数概率密度函数.二维连续型随机变量的联合概率密度二维连续型随机变量的联合概率密度 联合概率密度函数联合概率密度函数的性质的性质(,)1fx y dxdy(,)(,)DPx yDf x
8、y dn 非负性非负性Dxy(,)f x y(,)0f x y n.2(,)(,)F x yf x yx y n.(,)1F 随机事件的概率随机事件的概率=曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积 设二维随机变量设二维随机变量(,)X Y的概率密度为的概率密度为(1)确定常数确定常数 k；(23)0,0(,)0 xykexyf x y其它(,)X Y(2)求求的分布函数；的分布函数；04,01PXY(3)求；.P XY(4)求求例例23 00 xykedxedy230011 23xykee6k(1)(23)0 0 xykedxdy 116k (,)f x y dxdy 所以所以 解解 (,)(,)xyF
9、x yf u v dudv(2)当当 时，时，0,0 xy或(,)0F x y 当当 时，时，0,0 xy且2300(,)6xyxyF x yedudv 23(1)(1)xyee 所以，所以，23(1)(1),(0,0)(,)0 xyeexyF x y 其他 04,01PXY(3)1 4(23)0 06xyedxdy 83(1)(1)0.95ee4 1或解或解 04,01PXY(4,1)(0,0)(4,0)(0,1)FFFF(4,1)F83(1)(1)0.95ee0,0 xyyx x0y(,)DP XYf x y dxdy(4)32310yyeedy35323310055yyedyedy(,)
10、x yf x y dxdy(23)600 xyyedx dy224例例 已知二维随机变量（已知二维随机变量（X，Y）的分布密度为）的分布密度为 1(6),02,24(,)8 0,xyxyf x y其他求概率求概率 (1)1,3;(2)3P XYP XY解解 1,3(,)DP XYf x y dxdy13021(6)8dxxy dy112320113(6)828yxyydx3(,)DP XYf x y dxdy13021(6)8xdxxy dy1232011(6)82xyxyydx524续解续解 .x+y=3 思考思考 已知二维随机变量（已知二维随机变量（X，Y）的分布密度为）的分布密度为 1(
11、6),02,24(,)8 0,xyxyf x y其他求概率求概率 41P XYX2241解答解答 41P XYX4,11P XYXP X241224121(6)81(6)8xdxxy dydxxy dy7 4873 818二维均匀分布二维均匀分布1,(,)(,)0,x yDf x yA其它设二维随机变量设二维随机变量(,)X Y的概率密度为的概率密度为 DA(,)X YD上服从均匀分布上服从均匀分布.在在，则称，则称是平面上的有界区域，其面积为是平面上的有界区域，其面积为其中其中 思考思考 已知二维随机变量（已知二维随机变量（X，Y）服从区域）服从区域D上的上的均匀分布，均匀分布，D为为x轴，
12、轴，y轴及直线轴及直线y=2x+1所围成的三角形所围成的三角形区域。求（区域。求（1）分布函数；（）分布函数；（2）12P Y解解 （X,Y）的密度函数为）的密度函数为 y=2x+1-1/2 (,),F x yP Xx Yy（1）当）当 时，时，12x (,)0F x yP 分布函数为分布函数为 14,(0,021)(,)20,xyxf x y其他y=2x+1-1/2 （2）当）当 时，时，102x0(,)0,yf x y时，(,)0F x y 所以，021yx 时，(,)4F x ydxdy梯形42212ySyx 梯形21yx 时，(,)4F x ydxdy三角形21442Sx三角形y=2x
13、+1-1/2 （3）当）当 时，时，0 x 0(,)0,yf x y时，(,)0F x y 所以，01y 时，(,)4F x ydxdy梯形4212ySy梯形1y 时，(,)4F x ydxdy三角形41S三角形所以，所求的分布函数为所以，所求的分布函数为 21 0,(0)21221,(0,021)2211(,)4,(0,21)2221,(0,01)2 1,(0,1)xyyyxxyxF x yxxxyyyxyxy 或0.5y=2x+1-1/2 12P Y4dxdy梯形34二维正态分布二维正态分布设二维随机变量设二维随机变量(,)X Y的概率密度为的概率密度为 12222112222211221
14、(,)21()()()()1exp22(1)f x yxxyy (,)xy 1212,120,0,11 其中其中均为参数均为参数 则称则称(,)X Y服从参数为服从参数为 1212,的的二维正态分布二维正态分布 221212(,)N 边缘分布边缘分布 marginal distribution(,)X Y 二维随机变量二维随机变量 ,是两个随机变量视为是两个随机变量视为一个整体，来讨论其取值规律的，我们可用分布一个整体，来讨论其取值规律的，我们可用分布函数来描述其取值规律。函数来描述其取值规律。(,),F x yP Xx Yy 问题问题：能否由二维随机变量的分布来确定两个：能否由二维随机变量的
15、分布来确定两个一维随机变量的取值规律呢？如何确定呢？一维随机变量的取值规律呢？如何确定呢？边缘分布问题边缘分布问题 边缘分布边缘分布 marginal distribution(,)X Y(,)F x y 设二维随机变量设二维随机变量 的分布函数为的分布函数为 ，(,)X YXY依次称为二维随机变量依次称为二维随机变量关于关于和关于和关于的边缘分布函数的边缘分布函数(),(,)XFxP XxP Xx YF x ()(,)XFxF x()(,)YFyFy(),(,)YFyP YyP XYyFy 二维离散型二维离散型R.v.的边缘分布的边缘分布,ijijP Xx Yyp,1,2,3,i j 如果二
16、维离散型随机变量（如果二维离散型随机变量（X,Y）的联合分布律为）的联合分布律为 即即 YXy1y2y3x1p11p12p13x2p21p22p23x3p31p32p33ijjiipP Xxp二维离散型二维离散型R.v.的边缘分布的边缘分布jijijpP Yyp关于关于X的边缘分布的边缘分布关于关于Y的边缘分布的边缘分布 YXy1y2y3Pi.x1p11p12p13P1.x2p21p22p23P2.x3p31p32p33P3.p.jp.1p.2p.3二维离散型二维离散型R.v.的边缘分布的边缘分布jijijpP Yyp关于关于X的边缘分布的边缘分布关于关于Y的边缘分布的边缘分布第第j列之和列之
17、和Xx1x2x3概率P1.P2.P3.ijjiipP Xxp第第i行之和行之和Yy1y2y3概率P.1P.2P.3二维离散型二维离散型R.v.的边缘分布的边缘分布例例1 设二维离散型随机变量（设二维离散型随机变量（X,Y）的联合分布律为）的联合分布律为 YX011/3-101/31/1201/60025/1200求关于求关于X、Y的边缘分布的边缘分布关于关于Y的边缘分布的边缘分布Y011/3概率7/121/31/12解解 关于关于X的边缘分布为的边缘分布为 X-102概率5/121/65/12 YX011/3-101/31/1201/60025/1200（X，Y）的联合分布列）的联合分布列 二
18、维连续型随机变量的边缘分布二维连续型随机变量的边缘分布()(,)(,)XxFxF xf u v dv du n关于关于X的边缘概率密度为的边缘概率密度为()(,)Xfxf x y dyn关于关于Y的边缘概率密度为的边缘概率密度为()(,)(,)YyFxFyf u v du dvY的边缘分布函数为的边缘分布函数为 关于关于 ()(,)Yfyf x y dxX的边缘分布函数为的边缘分布函数为 关于关于 例例2 2 设（设（X,Y）的联合密度为）的联合密度为01,13(,)0kxyxyf x y其它求求k值和两个边缘分布密度函数值和两个边缘分布密度函数12k()(,)Xfxf x y dy 3110
19、21kydyxdxk解解由由 (,)1dxf x y dy得得 0,1x当当 时时 31122()Xfxxydyx 关于关于X的边缘分布密度为的边缘分布密度为 113113()0Xfx 20,1()0Xxxfx其它1,3()40Yyyfy其它解解所以，关于所以，关于X的边缘分布密度为的边缘分布密度为 ()(,)Yfyf x y dx ()0Yfy 所以，关于所以，关于Y的边缘分布密度为的边缘分布密度为 0,1x当当 时时 1,3y当当 时时 1,3y当当 时时 10124()Yyfyxydx 关于关于Y的边缘分布密度为的边缘分布密度为 边缘分布密度和概率的计算边缘分布密度和概率的计算例例3设（
20、设（X,Y)的联合分布密度为的联合分布密度为 221(,)0kxyf x y 其它其它（1）求）求k值值(2)求关于求关于X和和Y的边缘密度的边缘密度（3）求概率）求概率P(X+Y1/2)(2)()(,)Xfxf x y dy 22111()xXxfxdy均匀分布均匀分布解解 (1)由由 (,)1f x y dxdy 2211xykdxdyk得得 1k 1,1x 当当 时时221x-11221 1,1()0Xxxfx 其它 1,1x 当当 时时()0Xfx 所以，关于所以，关于X的边缘的边缘分布密度函数为分布密度函数为 -11续解续解 .-11()(,)Yfyf x y dx 22111()y
21、Yyfydx221 1,1()0Yyyf y其它解解 1,1y 当当 时时 1,1y 当当 时时()0Yfy 所以，关于所以，关于Y的边缘的边缘分布密度函数为分布密度函数为 221y1()(,)2DP Xf x y dxdy(1)(,)DP XYf x y dxdy 解解 （3）13()3411Ddxdy11()4221Ddxdy201111xxdxdy 22111121xxdxdy见课本见课本P59P59例例3 3 如果二维随机变量（如果二维随机变量（X，Y）服从正态分布）服从正态分布 221212,N 则两个边缘分布分别服从正态分布则两个边缘分布分别服从正态分布 211,XN 222,YN
22、 与相关系数与相关系数 无关无关 可见，联合分布可以确定边缘分布，可见，联合分布可以确定边缘分布，但边缘分布不能确定联合分布但边缘分布不能确定联合分布例例4 设（设（X，Y）的联合分布密度函数为）的联合分布密度函数为 2221(,)(1 sin sin),2xyf x yexyx y 求关于求关于X，Y的边缘分布密度函数的边缘分布密度函数 解解 关于关于X的分布密度函数为的分布密度函数为 ()(,)Xfxf x y dy2221(1 sin sin)2xyexy dy22222211sin sin22xyxyedyexydy22221122xyeedy2212xe22221sinsin2xye
23、xeydy0,1XN所以，所以，0,1YN同理可得同理可得 不同的联合分布，可不同的联合分布，可有相同的边缘分布。有相同的边缘分布。可见，联合分布可以确定边缘分布，可见，联合分布可以确定边缘分布，但边缘分布不能确定联合分布但边缘分布不能确定联合分布随机变量的相互独立性随机变量的相互独立性(,)()()XYf x yfxfyn 特别，对于离散型和连续型的随机变量，该定义特别，对于离散型和连续型的随机变量，该定义分别等价于分别等价于 ijijppp对任意对任意i,j 对任意对任意x,y 在实际问题或应用中，当在实际问题或应用中，当X X的取值与的取值与Y Y的取值的取值互不影响时，互不影响时，我们
24、就认为我们就认为X X与与Y Y是相互独立的，进是相互独立的，进而把上述定义式当公式运用而把上述定义式当公式运用.在在X X与与Y Y是相互独立的前提下是相互独立的前提下，(,)()()XYF x yFxFy设（设（X，Y）的概率分布（律）为）的概率分布（律）为证明：证明：X、Y相互独立相互独立。例例1 1ijijppp 2/5 1/5 2/5 p.j 2/4 4/20 2/20 4/20 2 1/4 2/20 1/20 2/20 1 1/4 2/20 1/20 2/20 1/2 pi.2 0 -1yx逐个验证等式逐个验证等式 证证 X与与Y的边缘分布律分别为的边缘分布律分别为XX、Y Y相互
25、独立相互独立111.1220ppp 2/5 1/5 2/5 p.i 2 0-1 X 2/4 1/4 1/4 Pj.2 1 1/2 Y121.2120ppp131.3420ppp212.1ppp222.2ppp232.3ppp313.1ppp323.2ppp333.3ppp例例2 2 设（设（X X，Y)Y)的概率密度为的概率密度为(23)60,0(,)0 xyexyx y其他求求 (1)(1)P P（0X1 0X1，0Y10Y1）(2)(X,Y)(2)(X,Y)的边缘密度，的边缘密度，（3 3）判断）判断X X、Y Y是否独立。是否独立。解解 设设A=A=（x x，y y）：）：0 x1 0
26、x1，0y10y1）(,)01,01(,)x yAPxyx y dxdy112323006(1)(1)xydxedyee11()(,)Xxx y dy22,(0)()0,(0)xXexxx 边缘密度函数分别为边缘密度函数分别为当当 时时0 x 2320()62xyxXxedye当当 时时0 x()0Xx所以，所以，同理可得同理可得 33,(0)()0,(0)yYeyyy232,03,0(),()0,00,0 xyXYexeyxyxy(23)6,(0,0)()()0,xyXYexyxy其它所以所以 X X 与与 Y Y 相互独立。相互独立。(,)xy例例3 已知二维随机变量（已知二维随机变量（X
27、，Y）服从区域）服从区域D上的均匀分上的均匀分 布，布，D为为x轴，轴，y轴及直线轴及直线y=2x+1所围成的三角形区所围成的三角形区 域。判断域。判断X，Y是否独立。是否独立。解解 （X,Y）的密度函数为）的密度函数为 14,(0,021)(,)20,xyxf x y其他当当 时，时，102x210()4xXfxdy4(21)x所以，关于所以，关于X的边缘分布密度为的边缘分布密度为 14(21),(0)()2 0,Xxxfx其它关于关于X的边缘分布密度为的边缘分布密度为 ()(,)Xfxf x y dy当当 或或 时时12x 0 x()0Xfx 当当 时，时，01y012()4yYfydx2
28、(1)y所以，关于所以，关于Y的边缘分布密度为的边缘分布密度为 2(1),(01)()0,Yyyfy其它关于关于Y的边缘分布密度为的边缘分布密度为 ()(,)Yfyf x y dx当当 或或 时时0y 1y()0Yfy 18(21)(1),(0,01)()()2 0,XYxyxyfxfy其它所以所以 (,)f x y所以，所以，X与与Y不独立不独立。1,()()(,)0axb cydba dcf x y其他(,)|,x yaxbcyd11()(,)()()dXcfxf x y dydyba dcba a x b 1()0Xfxbaotherwiseaxb 1()0ycxydfycdotherw
29、ise 于是于是(,)()()XYf x yfxfy()0Xfx (,)x ab()(,)ZFzP ZzP g x yz设设(,)X Y是二维随机变量是二维随机变量,其联合分布函数为其联合分布函数为(,),F x y(,)Zg X Y是随机变量是随机变量,X Y的二元函数的二元函数Zn 的分布函的分布函数数问题：如何确定随机变量问题：如何确定随机变量Z的分布呢？的分布呢？设设(,)X Y是二维离散型随机变量是二维离散型随机变量,其联合分布列为其联合分布列为,(1,2,;1,2,)iji jP Xa Ybpij(,)Zg X Y则则 是一维的离散型随机变量是一维的离散型随机变量 其分布列为其分布
30、列为 (,),(1,2,;1,2,)iji jP Zg a bpij例例 设设 的联合分布列为的联合分布列为 (,)X Y YX-2-10-11/121/123/122/121/12032/1202/12分别求出（分别求出（1）X+Y；（；（2）X-Y；（；（3）X2+Y-2的的分布列分布列解解 由（由（X X，Y Y）的联合分布列可得如下表格）的联合分布列可得如下表格 概率1/121/123/122/121/122/122/12-3-2-1-3/2-1/21310-15/23/253-3-2-1-15/4-11/457(,)X Y(1,2)(1,1)(1,0)1(,2)21(,1)2(3,2
31、)(3,0)XYXY22XY 解解 得所求的各分布列为得所求的各分布列为 X+Y-3-2-1-3/2-1/213概率1/121/123/122/121/122/122/12X-Y10-15/23/253概率1/121/123/122/121/122/122/12X2+Y-2-3-2-1-15/4-11/457概率1/121/123/122/121/122/122/12设设(,)X Y是二维连续型随机变量是二维连续型随机变量,其联合分布密度为其联合分布密度为(,)Zg X Y则则 是一维的连续型随机变量是一维的连续型随机变量 其分布函数为其分布函数为 ()(,)ZFzP g X Yz(,),f
32、x y(,)zg x y是二元连续函数，是二元连续函数，其分布密度函数为其分布密度函数为 ()()ZZfzFz(,)(,)g x yzf x y dxdy例例 设二维随机变量（设二维随机变量（X,Y）的概率密度为）的概率密度为(2)20,0(,)0 xyexyf x y其它求随机变量求随机变量 Z=X+2Y 的分布密度函数的分布密度函数解解()2ZF zP ZzP XYz0z 0P Zz0z (2)2002z xzxyP Zzdxedy1zzeze 2(,)xy zf x y dxdy例例 设二维随机变量（设二维随机变量（X,Y）的概率密度为）的概率密度为(2)20,0(,)0 xyexyf
33、x y其它求随机变量求随机变量 Z=X+2Y 的分布函数的分布函数00()10ZzzzFzezez解解 所求分布函数为所求分布函数为 分布密度函数为分布密度函数为 00()0Zzzfzzez见课本见课本P67P67例例1 1 如果（如果（X，Y）的联合分布密度函数为）的联合分布密度函数为 f(x,y)，则，则Z=X+Y的分布密度函数为的分布密度函数为 ()(,)Zfzf x zx dx()(,)Zfzf zy y dy或或 特别，当特别，当X，Y相互独立时，有相互独立时，有卷积公式卷积公式 ()()()ZXYfzfx fzx dx或或 ()()()ZXYfzfzy fy dy记记 住住 结结 论！论！独立独立1122()()()XPXYPYP n 如果如果X X与与Y Y相互独立相互独立(,)(,)(,)XB mXYB mn pBppYn 211221212222(,)(,)(,)XNXYNYN 例例 证明：如果证明：如果X与与Y相互独立，且相互独立，且XB（n,p），），YB（m,p），则），则X+YB（n+m,p）证明证明 X+Y所有可能取值为所有可能取值为 0，1，,m+n.0,kiP XYkP Xi Yki0kiP XiP Yki0kiin ik ik im k inmiC p qCpq 0kik inmiknkmp qCCkknmkmnCp q证毕证毕
