1、第三篇 动力学 理论力学 Nanjing University of Technology 第9章 动量定理及其应用 第三篇第三篇 动力学动力学 分析电动机运动特点？第9章 动量定理及其应用？磅秤指示数发生变化 第第9章章 动量定理及其应用动量定理及其应用 光滑台面上的台式风扇工作时，会发生什么现象 第9章 动量定理及其应用？水池 隔板 光滑台面 抽去隔板后将会 发生什么现象 水 第9章 动量定理及其应用？二人在太空中拔河，初始静止，同时用尽全力相互对拉。若A的力气大于B的力气，则拔河的胜负将如何？第9章 动量定理及其应用?9.1 动量定理与动量守恒?9.2 质心运动定理?9.4 结论与讨论
2、第9章 动量定理及其应用?9.3 综合应用举例 第9章 动量定理及其应用?9.1 动量定理与动量守恒 即将靠岸的轮船，虽速度很慢，撞坏用钢筋混凝土筑成的码头。即将靠岸的轮船，虽速度很慢，撞坏用钢筋混凝土筑成的码头。？m AK47式步枪的威力很大，能射穿8毫米左右的钢板？v 质点的动量 质点的质量与质点速度的乘积 vpm?矢量 标量 质点的动量 矢量（单位：kg?m/s）质点系的动量 质点系中各质点动量的矢量和 质点系的动量质点系的动量?iiimvp,xi ixyi iyzi iziiipmvpmvpmv?直角坐标系的投影形式 rriiiCmm?mmmmiiiiiiiiC?rrr质点系的动量计算
3、？iiimvp?质心 vC vi 质点系的动量质点系的动量?CiimmvvpvC O?C?C O?vC 下面两个简单的例子中的动量分别是多少呢？质点系的动量 动量不能描述质点系整体运动全部，因为它不能反应质点系的转动效应。0?c v 思考?Ciimmvvp?iciimvp2211CCiciimmmvvvp?o vc2 m1 m2 vc1 1.计算几何形状规则的均质刚体动量；Cmvp?刚体和刚体系统的动量计算？左边刚体系统的动量是多少？C1 C2 思考 2.计算几何形状规则的均质刚体系统动量 椭圆规机构中。已知：OC=AC=CB=l；mA=mB=m；mOC=mAB=0；?=const.；角度q=
4、?t为任意值。求：图示位置时，系统的总动量。A O B?例题1?iiimvpCmvp?质点系的动量质点系的动量?iCiimmvvpA O B?解法1：BBAAvmvmp?建立Oxy坐标系，在角度q q为任意值的情形下 x y qqcos2sin2lxlyBA?vB vA q?qqq?qqsin2sin2cos2cos2llxvllyvBBAA?例题 1 质点系的动量质点系的动量?iiimvpijq?q?sin2cos2lmlm?)cos(-sin2jiqq?lmBBAAmmvvp?解法二：系统的总质量 mC=mA+mB=2m 系统的总动量?lmp2?90o vC?例题 1 Cmvp?质点系的动
5、量质点系的动量 A O B?质点系的质心在C处，其速度大小为?lvC?方向同vC方向)cos(-sin2jiqq?lmCmvp?对质点系中第i个质点应用牛顿第二定律有：质点系动量定理的微分形式。xyzoimjm(e)iF(e)jFiiFijFivjv质点系的动量定理质点系的动量定理?微分形式 质点?iiimFvp?dtddtdeiiiFF?质点系?iiiiiiimtei)(ddFFv0i?iiFeedtdRiFFp?动量定理的积分形式?iiitteite1221dIFpp?izizziyiyyixixxFFtpFFtpFFtpeReeReeRedddddd这一定理广泛应用于求解碰撞问题。动量定
6、理在直角坐标中投影 力在作用时间上的累积效应 力的冲量（冲量定理）质点系的动量定理?积分形式 eedtdRiFFp?恒矢量 10C?pp动量守恒定律动量守恒定律 若作用于质点系的外力的主矢等于零，则质点系的动量保持不变。eedtdRxiixxpFF?若作用于质点系的外力的主矢在某一轴上的投影恒等于零，质点系的动量在该轴上的投影保持不变。恒量 20Cxx?pp0eR?F0eR?xFeedtdRiFFp?P v0 30 Q FN v 0 0恒量恒量?xxpp00)(?exF 把炮筒和炮弹看成一个质点系，则在发射炮弹时弹药（其质量忽略不计）爆炸所产生的气体压力是内力，它不能改变整个质点系的动量。但是
7、，爆炸力一方面使弹丸获得一个向前的动量，同时使炮筒沿反方向获得同样大小的向后动量。炮车反座 思考?9.3 质心运动定理 第9章 动量定理及其应用 质点系动量定理的另一种形式。ddvaCCt?质心运动定理质心运动定理 eeRddddvpFFCiimtt?eReiCmFFa?投影式为?iizCiiyCiixCFzmFymFxmeee?CiimmvvpeReiFFp?dtd1.对于几何形状规则的均质刚体 刚体和刚体系统的质心运动定理 eRieiCmFFa?2.对于几何形状规则的均质刚体系统 质心运动定理质心运动定理 Cmv?iCCiimmaa?niciim1vpeReiCmFFa?Ciima内力不能
8、改变质点系的动量和质心的运动！内力不能改变质点系的动量和质心的运动！eReiCmFFa?eReiFFp?dtd 两个相同的均质圆盘，放在光滑水平面上，在圆盘的不同位置上，各作用一水平力F和F，使圆盘由静止开始运动，设F=F，试问哪个圆盘的质心运动得快？(A)A盘质心运动得快 (B)B盘质心运动得快(C)两盘质心运动相同 (D)无法判断 F F A B 四种答案中哪一个是正确的？思考 质心运动定理质心运动定理 eReiCmFFa?0?CavCC?质心位置保持不变。0?Cv1Cr?C质心运动守恒定律质心运动守恒定律 0eR?F恒矢量 这表明：质点系的质心作匀速直线运动。恒矢量 eRxieixCxm
9、aFF?0eR?xF0Cxa?2CxvC?恒量 恒量 0?Cxv3CxC?质心在x方向位置保持不变。以上结论称为质心运动守恒定律。eReiCmFFa?9.4 综合应用举例 第9章 动量定理及其应用 均质杆OA 绕O轴转动。已知：m，2l，图示瞬时?和a。例题2 试求：此时杆在O轴的约束力。?OA?a?9.3 综合应用举例 解法1：对象：杆 受力：如图 运动：定轴转动 方程：建立如图坐标 sincosxypmlpml?根据动量定理 得到 解得 22(sincos)(cossin)OxOyFmlFmgmla?a?xy?例题2?OA?amg FOx FOy p?eRyieiyyeRxieixxppF
10、FFFdtddtd?mgmlmlOyOxFF?a?asincoscossin22?9.3 综合应用举例 eReiFFp?dtd解法2：2sincossincostnCxCCaaall?a?2cossincossintnCyCCaaall?a?2(sincos)OxmlFa?2(cossin)OymlFmga?解得 2(sincos)OxFmla?2(cossin)OyFmgmla?例题2 对象：杆 受力：如图 运动：定轴转动 方程：建立如图坐标 xy?OA?amg FOx FOy?CanCa?eRyieiyCyeRxieixCxmamaFFFF根据质心运动定理 得到?9.3 综合应用举例 eR
11、eiCmFFa?质量为m1的均质曲柄OA，长为l，以等角速度?绕O轴转动，并带动滑块A在竖直的滑道AB内滑动，滑块A的质量为m2；而滑杆BD在水平滑道内运动，滑杆的质量为m3，其质心在点C处。开始时曲柄OA为水平向右。BO?xyDCAl/2试求：1.系统质心运动规律；2.作用在O轴处的最大水平约束力。例题3?9.3 综合应用举例?例题 3 解：1.求系统质心运动规律 以曲柄、滑块和滑杆所组成的系统作为研究对象。建立直角坐标系oxy，系统质心坐标 BO?xyDCAl/2123123coscos(cos)22Cllmtm ltm ltxmmm?312312312322cos2()2()m lmmm
12、ltmmmmmm?121212312322sinsin2()Clmm lmmytltmmmmmm?9.3 综合应用举例?例题 3 2求作用在O轴处的最大水平约束力 由质心运动定理 e1nCxixiMaF?tlmmmmmmmmmlmxC?cos22223213213213?212312322cos2()Cmmmxltmmm?2123(22)cos2oxCxlFMammmt?cos1t?当 时，水平约束力最大，其值为 2,max123(22)2oxcxlFMammm?BO?xyDCAl/2?9.3 综合应用举例 质点系的动量 复习上次课要点复习上次课要点 质点系动量定理 eReiFFp?dtdeR
13、eiCmFFa?Ciimmvvp?Ciimv0?质心运动定理 0?Ciima例题4?9.3 综合应用举例 电动机的外壳和定子的总质量为 m1，质心C1与转子转轴 O1 重合；转子质量为m2，质心 O2 与转轴不重合，偏心距 O1O2=e。若转子以等角速度?旋转，初始时?=0。求：电动机底座所受的水平和铅垂约束力。?例题 4 例题4?9.3 综合应用举例 解：对象：包括外壳、定子、转子的电动机 受力：如图所示?例题 4?9.3 综合应用举例 m1g m2g Fx Fy M 运动：定子和电动机外壳静止，转子做定轴转动 aC1=aO1=0;aC2=aO2=e2(向心加速度)aO2 方程：应用质心运动
14、定理 eRxiCixiFam?eRyiCiyiFam?xFtemm?cos0221gmgmFtemmy21221sin0?eReiFFp?dtdeReiCmFFa?例题 4 temFx?cos22?temgmgmFy?sin2221?9.3 综合应用举例 m1g m2g Fx Fy M aO2 电动机底座所受的水平和铅垂约束力：动约束力与轴承动反力 静约束力与轴承静反力 temFy?sin22d?temFx?cos22d?若电动机基座不固定，且接触面光滑？?例题 5?9.3 综合应用举例 1.外壳在水平方向的运动规律？2.质心的运动规律？3.电动机跳起的条件？电动机的外壳和定子的总质量为 m1
15、，质心C1与转子转轴 O1 重合；转子质量为m2，质心 O2 与转轴不重合，偏心距 O1O2=e。若转子以等角速度?旋转，初始时?=0。解：对象：包括外壳、定子、转子的电动机 受力：如图所示 运动：外壳作平移 转子作平面运动：?例题 5?9.3 综合应用举例 eReiFFp?dtdeReiCmFFa?m1g m2g Fy M x y O y1 x1 02211?xOxOvmvmxvvxOO?110t)sin(21?exmxm?0?CvmpiCixix?例题 5 re2vvv?O1eOvv?ev?r?9.3 综合应用举例 1.外壳在水平方向的运动规律？0ddeR?xxFtp)d(sind0212
16、0ttmmemxtx?tmmemx?cos1212?11sinmmtemx?txx?eReiFFp?dtdm1g m2g Fy M x y O y1 x1 vr?例题5?9.3 综合应用举例 eeR0 xixiFF?01?CvCx2CxC?例题5?9.3 综合应用举例 2.质心的运动规律？0?CxaeReiCmFFa?m1g m2g Fy M x y O y1 x1?例题5?9.3 综合应用举例 eRyiCiyiFam?gmgmFtemmy21221sin0?例题5 temgmgmFy?sin2221?temgmgm?sin221?9.3 综合应用举例 2221min?emgmgmFy?0mi
17、n?yFaC1=aO1;aC2=ae+ar：ae=aO1 ar=aO2=e2 3.电动机跳起的条件？角速度较大时容易跳起！eReiCmFFa?m1g m2g Fy M x y O y1 x1 aO1 aO1 aO2?例题5?9.3 综合应用举例?例题5?9.3 综合应用举例 例题6 图示系统中，三个重物的质量分别为m1、m2、m3，由一绕过两个定滑轮的绳子相连接，四棱柱体的质量为m4。如略去一切摩擦和绳子、滑轮的重量。3若将上述系统放在有凸起的地面上，如图所示，当物块1下降s时，系统对凸起部分的水平压力。求：1系统动量的表达式；2系统初始静止，当物块1下降s时，假设物体相对四棱柱体的速度vr已
18、知，求四棱柱体的速度和四棱柱体相对地面的位移。?例题 6?9.3 综合应用举例 解：1.确定系统的动量表达式。建立坐标系如图示。根据 取四棱柱为动系，假设四棱柱体的速度为v，各物块相对四棱柱体的速度为vr，方向均如图所示，则 vmvmvvmvvmpx43r2r1)()cos(?a0)(0sin4r32r1?mvmmvmpyajip)sin()cos()(31r214321mmvmmvmmmm?aa?例题6?9.3 综合应用举例 jivp)()(iyiiixiiiiivmvmm?2.系统初始静止，当物块1下降s时，假设物体相对四棱柱体的速度vr已知，四棱柱体的速度和四棱柱体相对地面的位移。因不计
19、一切摩擦，系统在水平方向上动量守恒，即 1r2r34(cos)()0 xpm vvm vvmvm va?123412r()(cos)0mmmm vmm va?由此解得 r432121cosvmmmmmmv?a?例题例题 6?9.3 综合应用举例 又因为系统初始静止，对上式积分，得到四棱柱体的位移。smmmmmmx432121cos?a3.确定对凸起部分的作用力，可以采用质心运动定理。设物块相对四棱柱体的加速度为ar，由于凸起部分的作用，四棱柱体不动，根据质心运动定理 aa?re40aa?得到四棱柱体对于地面凸起部分的水平作用力 12coscxmamam aFa?故，物块的加速度a 极易由牛顿定
20、律求出。?例题 6?Facixim?9.3 综合应用举例 eReiCmFFa?9.4 结论与讨论 第9章 动量定理及其应用?2、实例现象的解释?1、流体在管道中流动时动量定理的应用?9.5 结论与讨论 质量流 非刚性的、开放的质点系统的运动。质量流的三种形式 流体在管道中流动时动量定理的应用流体在管道中流动时动量定理的应用 流体形式 由滑流边界限定的空气流 气体形式 颗粒形式 不可压缩的流体在变截面弯管中定常流动，如图所示。系统的边界由截面1和2所确定。流体的重力为W，出口和入口两截面上分别受到相邻流体压力F1和F2的作用，管壁的总约束力为FN。流体在管道中流动时动量定理的应用流体在管道中流动
21、时动量定理的应用 定常质量流：质量流中的质点流动过程中，在每一位置点都具有相同速度。定常质量流特点 1、质量流是不可压缩流动；2、非粘性：忽略流层之间以及质量流与管壁之间的摩擦力。以截面1和2之间的流体为研究对象。设在?t时间间隔内，流体由截面1和2之间运动至1?和2?之间。在t瞬时，其动量为 p，在t?t瞬时，动量为p?，则在?t时间间隔内动量的改变量为 由于定常流在每一位置点都有相同的速度?2121iiimmvvi又因由1至1 和2至均是非常小的质量微团，近似认为速度分别一致 流体在管道中流动时动量定理的应用流体在管道中流动时动量定理的应用?211122212121iiiiiiiiiiii
22、mmmmmmvvvvvvppp?121122vvvvp?mmmiiii将此式等号两侧同除以?t，并对?t取极限，则有 )(dd12vvp?mqt质量流量（qm）：表示单位时间内流入或流出的质量。2211vAvAqm?流体的密度；A1 和A2入口和出口处的横截面面积；v1 和v2入口和出口处的速度。?121122vvvvp?mmmiiii流体在管道中流动时动量定理的应用流体在管道中流动时动量定理的应用 )(dd12vvp?mqt根据质点系动量定理微分形式的表达式，有 定常流体的动量定理。流体在管道中流动时动量定理的应用流体在管道中流动时动量定理的应用 N212FFFWFvv?)(1mq矢量形式
23、光滑台面上的台式风扇工作时，会发生什么现象？实例现象的解释实例现象的解释 空气流从台式风扇排出，出口处滑流边界直径为D，排出空气流速度为v，密度为?，风扇所受重力为W。求：风扇不致滑落的风扇底座与台面之间的最小摩擦因数。解：空气流入风扇叶片，在叶片周围由叶片转动所形成的边界所限定。气流没有进入叶片之前，横截面尺寸很大，在入口处气流的速度与出口处相比很小。故有：入口处v1=0；出口处v2=v。实例现象的解释实例现象的解释 分析空气流的受力 考察刚要进入和刚刚排出的一段空气流，在Oxy坐标系中，空气流所受叶片的约束力为Ff；这一段空气流都处于大气的包围之中，两侧截面所受大气的总压力都近似为0。f1
24、2)(Fvvqxxm?2fAvF?实例现象的解释实例现象的解释 N212FFFWFvv?)(1mqfFvqm?2211vAvAqm?分析不包括空气流的风扇受力 0f?FFW风扇所受重力；F静滑动摩擦力；FN台面对风扇的约束力；Ff空气流对风扇的反作用力 0?xFWfFFmin sf?0?yFWF?N思考 如果桌面光滑，向哪个方向滑落？WAvf2min s?2fAvF?实例现象的解释实例现象的解释？水池 隔板 光滑台面 抽去隔板后将会 发生什么现象 水 eRieiCmFFa?实例现象的解释实例现象的解释 定向爆破的飞石 为了工程需要，需要削去一座山头或拆掉一座楼房而不影响周围的建筑，往往采用定向
25、爆破。定向爆破时，为了确保周边一定范围以外区域内建筑物以及人身安全，必须预先计算爆破飞石散落的地点。实例现象的解释实例现象的解释 eRieiCmFFa?你知道爆破飞石散落的地点是根据什麽计算出来的吗？二人在太空中拔河，初始静止，同时用尽全力相互对拉。若A的力气大于B的力气，则拔河的胜负将如何？实例现象的解释实例现象的解释 eRieiFFp?dtd系统动量守恒 mAvA+mBvB=(mA+mB)vC=0 从受力分析来看，二者受力大小相等 本章作业本章作业 P179：92 P181：95，97 复习：运动学内容 Nanjing University of Technology 附录：习题解答 作业
26、中存在的问题 1、一定要有必要的受力分析和运动分析。?92 附录：习题解答 92 图示机构中，已知均质杆AB质量为m，长为l；均质杆BC质量为4m，长为2l。图示瞬时AB杆的角速度为?，求此时系统的动量。解：杆BC瞬时平移，其速度为vB#2942?mlmllmpppBCAB?方向同vB。vB A B C O 45?45?95 附录：习题解答 95 图示均质滑轮A质量为m，重物M1、M2质量分别为m1和m2，斜面的倾角为q，忽略摩擦。已知重物M2的加速度a，试求轴承O处的约束力（表示成a的函数）。qqsincosN2FFamOx?gmmmFFamamOy)(cossin21N21?qq以M2作为
27、研究对象可知：qcos2NgmF?O A M1 M2 a m1g m2g FN FOx FOy mg#cos)sin(sincoscos222qqqqqmgagmamFOx?#)(cos)sin(212221gmmmgmammFOy?qq解：对象：滑轮A和重物M1、M2系统 受力：如图 运动：如图 方程：根据质心运动定理 RxCixiFam?RyCiyiFam?a?97 附录：习题解答 97 匀质杆AB长2l，B端放置在光滑水平面上。杆在图示位置自由倒下，试求A点轨迹方程。解：对象：杆 受力：如图 运动：平面运动 方程：水平受力为零，初始静止，质心位置xC守恒：?1coscos0?allxA?2sin2?lyA?由（1），得?3coscos0?allxA?由（2），得?4sin2?lyA?（3）、（4）两边平方后相加，得 22204)cos(lylxAA?a此为椭圆方程。?mg FB Nanjing University of Technology
