1、一、一、自相关函数的性质自相关函数的性质 0022 XXtXER 性质性质 即平稳过程的均方值可以由自相关函即平稳过程的均方值可以由自相关函数，令数，令 得到，后面我们将指出得到，后面我们将指出代表了平稳过程的代表了平稳过程的“平均功率平均功率”。0XR0 2 tXtXERX依据这个性质，在实际问题中只需计算依据这个性质，在实际问题中只需计算或测量或测量 在在 的值。的值。XR0 XR XXRR性质性质是偶函数，即满足是偶函数，即满足这是因为相关函数具有对称性这是因为相关函数具有对称性 XRtXtXE3即：即：0222 tXtXtXtXE 022XRtXEtXE 0XXRR 性质性质 3 3
2、tX对于平稳过程对于平稳过程 ，有，有 0222 tXEtXtXEtXE4证：证：由由 02 tXtXE 0)(202 XXRR 0XXRR 代入上述不等式得：代入上述不等式得：可见，当可见，当 时，平稳过程的时，平稳过程的相关函数具有最大值。相关函数具有最大值。0 5 0XXCC 2XXC 或或对对协协方差函数，不难得到相同的结论：方差函数，不难得到相同的结论：非负定，即对任意实数非负定，即对任意实数 和任意实函数和任意实函数 ，XRn ,21 g性质性质 01,jinjijiXggR 有有 jinjijiXggR 1,事实上事实上 jinjijiggXXE 1,6 021 niiigXE
3、对于平稳过程而言，自相关函数的对于平稳过程而言，自相关函数的非负定性是最本质的，这是因为在理论非负定性是最本质的，这是因为在理论上可以证明，任一连续函数，只要有非上可以证明，任一连续函数，只要有非负定性，那么该函数必是某平稳过程的负定性，那么该函数必是某平稳过程的自相关函数。自相关函数。7 TtXtXETRX 事实上事实上性质性质 若平稳过程若平稳过程 满足条件：满足条件：则称它为则称它为周期平稳过程周期平稳过程其中其中 为过程的为过程的周期周期，那么，那么，是是以以 为周期的函数。为周期的函数。)(tX)()(TtXtX )(XRTT XRtXtXE 8性质性质 设平稳过程设平稳过程 ，若若
4、当当 时，过程的状态时，过程的状态 与与 相互相互独立，则有：独立，则有：)(tX)(tX)(tX2)(limXXR 这是因为：从物理意义上说，当这是因为：从物理意义上说，当增大时增大时 与与 之间相关性会之间相关性会减弱，在减弱，在 的极限情况下，两的极限情况下，两者相互独立。者相互独立。)(tX)(tX 9 tXtXERXlimlim于是有：于是有：2limXtXEtXE 10若若0)(tXE则则 0lim XR 25lim2 XXR解：解：由性质得：由性质得：261425 XR例：例：已知平稳过程已知平稳过程 ，当当 的绝对值的绝对值充分大时，充分大时，过程的状态过程的状态 与与 相互独
5、立，相互独立，其其相关函数为：相关函数为：)(tX)(tX)(tX)(tX求求 的均值。的均值。5 X 11性质性质7 7 在在 连续的充要连续的充要条件为条件为 在在 处连续。处连续。XR XR0 ),(这一性质很有趣，对于平稳过程的这一性质很有趣，对于平稳过程的相关函数相关函数 ，只要知道在，只要知道在 处连续，就可以得出对任意处连续，就可以得出对任意 处都连处都连续，这对于一般连续函数是不具备这样续，这对于一般连续函数是不具备这样的性质的。的性质的。XR0 12 设设 和和 为联合平稳过程，为联合平稳过程，其互相关函数为：其互相关函数为：)(tX)(tY)()()(tYtXERXY二、二、互相关函数的性质互相关函数的性质)(tRXY具有下列性质：具有下列性质：13事实上事实上 )()()(tYtXERXY)0()0()(2YXXYCCC )0()0()(2YXXYRRR 性质性质2 2)()()(YXRtXtYE14)()(YXXYRR性质性质 1 1性质性质3 3 设设 ，其中，其中 为联合平稳的，则为联合平稳的，则 也也是平稳过程，且其相关函数为：是平稳过程，且其相关函数为：)()()(tYtXtZ )(),(tYtX)(tZ)()()()()(YXXYYXZRRRRR 15
