1、3.2 3.2 立体几何中的向量方法立体几何中的向量方法-直线的方向向量与平面的法向量直线的方向向量与平面的法向量 一、点、直线、平面的位置的向量表示一、点、直线、平面的位置的向量表示点点OP基点基点空间中任意一点空间中任意一点P的的位置可用向量位置可用向量 表示表示 OP直线直线APal)(RaAP 点点A和和 不仅可以确不仅可以确定直线定直线l的位置，还可的位置，还可以具体表示出以具体表示出l上的任上的任意一点意一点P。a平面平面OabP)(RyxbyaxOP 、点点O和和 、不仅可以确定平面不仅可以确定平面 的位置，还可以具体表示出的位置，还可以具体表示出 内的任内的任意一点意一点P。a
2、b 平面平面法向量：若法向量：若 ，则，则 叫做平面叫做平面 的法向量。的法向量。aa A a过点过点A，以，以 为法向量为法向量的平面是完全确定的的平面是完全确定的a二、线线、线面、面面间的位置关系与向二、线线、线面、面面间的位置关系与向量运算的关系量运算的关系探究探究1：平行关系：平行关系设直线设直线l，m的方向向量分别为的方向向量分别为 ，平面平面 ，的法向量分别为的法向量分别为 ，abuvml/线线平行线线平行/l线面平行线面平行 /面面平行面面平行baba /0 uauavuvu /点击点击点击点击点击点击探究探究2：垂直关系：垂直关系设直线设直线l，m的方向向量分别为的方向向量分别
3、为 ，平面平面 ，的法向量分别为的法向量分别为 ，abuv ml线线垂直线线垂直 l线面垂直线面垂直 面面垂直面面垂直0 baba0 vuvuuaua /点击点击点击点击点击点击探究探究3：夹角：夹角设直线设直线l，m的方向向量分别为的方向向量分别为 ，平面平面 ，的法向量分别为的法向量分别为 ，abuv，的的夹夹角角为为 ml,线线夹角线线夹角线面夹角线面夹角面面夹角面面夹角，的夹角为的夹角为 ,l，的的夹夹角角为为 ,)20(|cosvuvu|sinuaua|cosbaba 点击点击点击点击点击点击三、简单应用三、简单应用练习练习1：设直线设直线l，m的方向向量分别的方向向量分别为为 ，根
4、据下列条件判断，根据下列条件判断l，m的位置关系：的位置关系：ab)2,3,2(),2,2,1()2(ba)6,3,6(),2,1,2()1(ba)3,0,0(),1,0,0()3(ba练习练习2：设平面设平面 ，的法向量分别的法向量分别为为 ，根据下列条件判，根据下列条件判断断 ，的位置关系：的位置关系：uv)4,4,6(),5,2,2()1(vu)4,4,2(),2,2,1()2(vu)4,1,3(),5,3,2()3(vu 四、课堂小结四、课堂小结1、点、直线、平面的位置的向量表示、点、直线、平面的位置的向量表示2、线线、线面、面面间的位置关系的、线线、线面、面面间的位置关系的向量表示向
5、量表示五、思考五、思考的一个单位法向量。求平面已知点ABCCBA),5,0,0(),0,4,0(),0,0,3(,1.),0,1,1(),1,0,1(,2的大小。所成的锐二面角的度数求这两个平面的法向量分别是若两个平面vulmabml/baba /lua/l0 uaua u v /vuvu /lamb ml0 baba l uuaua /la u v 0 vuvulamb，的的夹夹角角为为 ml,|cosbaba lamb ula，的夹角为的夹角为 ,l|)2cos(uaua ula u v，的的夹夹角角为为 ,|cosvuvu u v，的的夹夹角角为为 ,|cosvuvu 3.2 3.2 立
6、体几何中的向量方法（立体几何中的向量方法（2 2）-空间角与距离的计算举例空间角与距离的计算举例 一、复习二、讲授新课1 1、用空间向量解决立体几何问题的、用空间向量解决立体几何问题的“三步曲三步曲”。（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；它们之间距离和夹角等问题；（3）把向量的运算结果）把
7、向量的运算结果“翻译翻译”成相应的几何意义。成相应的几何意义。（化为（化为向量问题）向量问题）（进行向量运算）（进行向量运算）（回到图形（回到图形问题）问题）2 2、例题、例题 例例1：如图如图1：一个结晶体的形状为四棱柱，其中，以顶点：一个结晶体的形状为四棱柱，其中，以顶点A为为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60，那么以这个，那么以这个顶点为端点的晶体的对角线的长与棱长有什么关系？顶点为端点的晶体的对角线的长与棱长有什么关系？A1B1C1D1ABCD图图1解：解：如图如图1，设，设 BADADAAAB，11 6011DAABAA化为向量问
8、题化为向量问题依据向量的加法法则，依据向量的加法法则，11AAADABAC 进行向量运算进行向量运算2121)(AAADABAC )(2112122AAADAAABADABAAADAB )60cos60cos60(cos2111 6 所以所以6|1 AC回到图形问题回到图形问题这个晶体的对角线这个晶体的对角线 的长是棱长的的长是棱长的 倍。倍。1AC6思考：思考：（1）本题中四棱柱的对角线）本题中四棱柱的对角线BD1的长与棱长有什么关系？的长与棱长有什么关系？（2 2）如果一个四棱柱的各条棱长都相等，）如果一个四棱柱的各条棱长都相等，并且以某一顶点为端点的各棱间的夹角都等并且以某一顶点为端点的
9、各棱间的夹角都等于于 ,那么有这个四棱柱的对角线的长可以那么有这个四棱柱的对角线的长可以确定棱长吗确定棱长吗?A1B1C1D1ABCD11BBBCBABD 60 120 11BCBABBABC，其其中中分析分析:分析分析:1111 DAABAABADxAAADABaAC，设设11 AAADABAC 则则由由)(211212221AAADAAABADABAAADABAC )cos3(23 222 xxa 即即ax cos631 这个四棱柱的对角线的长可以确定棱长。这个四棱柱的对角线的长可以确定棱长。（3 3）本题的晶体中相对的两个平面之间的距离是多少？（提）本题的晶体中相对的两个平面之间的距离是
10、多少？（提示：求两个平行平面的距离，通常归结为求两点间的距离）示：求两个平行平面的距离，通常归结为求两点间的距离）A1B1C1D1ABCDH 分析：分析：面面距离面面距离回归图形回归图形点面距离点面距离向量的模向量的模.11HACHAA于于点点平平面面点点作作过过 解：解：.1的的距距离离为为所所求求相相对对两两个个面面之之间间则则HA111 AAADABBADADAABA 且且由由.上上在在 ACH3 360cos211)(22 ACBCABAC.160cos60cos)(1111 BCAAABAABCABAAACAA31|cos 111 ACAAACAAACA36sin 1 ACA36si
11、n 111 ACAAAHA 所求的距离是所求的距离是。36练习:如图如图2 2，空间四边形，空间四边形OABCOABC各边以及各边以及ACAC，BOBO的长都是的长都是1 1，点，点D D，E E分别是边分别是边OAOA，BCBC的中点，连结的中点，连结DEDE，计算，计算DEDE的长。的长。OABCDE图图2 例例2 2：如图如图3 3，甲站在水库底面上的点，甲站在水库底面上的点A A处，乙站在水坝斜面上的点处，乙站在水坝斜面上的点B B处。从处。从A A，B B到直线到直线 （库底与水坝的交线）的距离（库底与水坝的交线）的距离ACAC和和BDBD分别为分别为 和和 ,CD,CD的长为的长为
12、 ,AB,AB的长为的长为 。求库底与水坝所成二面角的余弦值。求库底与水坝所成二面角的余弦值。labcd解：解：如图，如图，.dABcCDbBDaAC ，化为向量问题化为向量问题根据向量的加法法则根据向量的加法法则DBCDACAB 进行向量运算进行向量运算222)(DBCDACABd )(2222DBCDDBACCDACBDCDAB DBACbca 2222DBCAbca 2222于是，得于是，得22222dcbaDBCA 设向量设向量 与与 的夹角为的夹角为 ，就是库底与水坝所成的二面角。就是库底与水坝所成的二面角。CADB 因此因此.cos22222dcbaab ABCD 图图3所以所以.
13、2cos2222abdcba 回到图形问题回到图形问题库底与水坝所成二面角的余弦值为库底与水坝所成二面角的余弦值为.22222abdcba 例例2 2：如图如图3 3，甲站在水库底面上的点，甲站在水库底面上的点A A处，乙站在水坝斜面上的点处，乙站在水坝斜面上的点B B处。从处。从A A，B B到直线到直线 （库底与水坝的交线）的距离（库底与水坝的交线）的距离ACAC和和BDBD分别为分别为 和和 ,CD,CD的长为的长为 ,AB,AB的长为的长为 。求库底与水坝所成二面角的余弦值。求库底与水坝所成二面角的余弦值。labcd思考：思考：（1）本题中如果夹角）本题中如果夹角 可以测出，而可以测出
14、，而AB未知，未知，其他条件不变，可以计算出其他条件不变，可以计算出AB的长吗？的长吗？ABCD 图图322)(DBCDACAB 由由)(2222DBCDDBACCDACBDCDAB 分析：分析：cos2222abbca 可算出可算出 AB 的长。的长。（2）如果已知一个四棱柱的各棱长和一条）如果已知一个四棱柱的各棱长和一条对角线的长，并且以同一顶点为端点的各棱间的对角线的长，并且以同一顶点为端点的各棱间的夹角都相等，那么可以确定各棱之间夹角的余弦夹角都相等，那么可以确定各棱之间夹角的余弦值吗？值吗？分析：分析：如图，设以顶点如图，设以顶点 为端点的对角线为端点的对角线长为长为 ，三条棱长分别
15、为，三条棱长分别为 各棱间夹角为各棱间夹角为 。A1B1C1D1ABCDAd，cba 21212)(CCACABCAd 则则 cos)(2222acbcabbca )(2cos 2222acbcabcbad （3）如果已知一个四棱柱的各棱长都等于）如果已知一个四棱柱的各棱长都等于 ，并且以某一顶，并且以某一顶点为端点的各棱间的夹角都等于点为端点的各棱间的夹角都等于 ，那么可以确定这个四棱柱相邻，那么可以确定这个四棱柱相邻两个夹角的余弦值吗？两个夹角的余弦值吗？a A1B1C1D1ABCD分析：分析：二面角二面角平面角平面角向量的夹角向量的夹角回归图形回归图形 解：解：如图，在平面如图，在平面
16、AB1 内过内过 A1 作作 A1EAB 于点于点 E，EF在平面在平面 AC 内作内作 CFAB 于于 F。cos sin 1aBFAEaCFEA ，则则 CFEAFCEA cos coscos 11，|11CFEACFEA 221sin)()(aBFCBAEAA 2222222sincos)cos(cos)cos(coscosaaaaa cos1cos 可以确定这个四棱柱相邻两个夹角的余弦值。可以确定这个四棱柱相邻两个夹角的余弦值。练习：练习：（1 1）如图）如图4 4，6060的二面角的棱上有的二面角的棱上有A A、B B两两点，直线点，直线ACAC、BDBD分别在这个二面角的两个半平面
17、分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直内，且都垂直ABAB，已知，已知ABAB4 4，ACAC6 6，BDBD8 8，求求CDCD的长。的长。B图图4ACD （2）三棱柱）三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是边长为中，底面是边长为2的正三的正三角形，角形，A1AB45，A1AC60，求二面角，求二面角B-A A1-C的平面角的余弦值。的平面角的余弦值。ABCA1B1C1图图5 如图如图6，在棱长为，在棱长为 的正方体的正方体 中，中，分别是棱分别是棱 上的动点，且上的动点，且 。（1）求证：）求证：；（2）当三棱锥）当三棱锥 的体积取最大值时，求二的体积取最大值时，求二面角面角 的正切值。的
18、正切值。aCBAOOABC FE、BCAB、BFAE ECFA BEFB BEFB OCBAOAB CEF图图6小结：小结：用空间向量解决立体几何问题的用空间向量解决立体几何问题的“三步曲三步曲”。作业：作业：课本课本P121 第第 2、4 题题面面距离面面距离回归图形回归图形点面距离点面距离向量的模向量的模二面角二面角平面角平面角向量的夹角向量的夹角回归图形回归图形3.2 3.2 立体几何中的向量方法（立体几何中的向量方法（3 3）xxz-利用向量解决平行与垂直问题利用向量解决平行与垂直问题一、复习1 1、用空间向量解决立体几何问题的、用空间向量解决立体几何问题的“三步曲三步曲”（1）建立立
19、体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；它们之间距离和夹角等问题；（3）把向量的运算结果）把向量的运算结果“翻译翻译”成相应的几何意义。成相应的几何意义。（化为（化为向量问题）向量问题）（进行向量运算）（进行向量运算）（回到图形（回到图形问题）问题）2、平行与垂直关系的向量表示、平行与垂直关系的向量表示（
20、1）平行关系）平行关系设直线设直线l，m的方向向量分别为的方向向量分别为 ，平面平面 ，的法向量分别为的法向量分别为 ，abuvml/线线平行线线平行/l线面平行线面平行 /面面平行面面平行baba /0 uauavuvu /点击点击点击点击点击点击 （2）垂直关系）垂直关系设直线设直线l，m的方向向量分别为的方向向量分别为 ，平面平面 ，的法向量分别为的法向量分别为 ，abuv ml线线垂直线线垂直 l线面垂直线面垂直 面面垂直面面垂直0 baba0 vuvuuaua /点击点击点击点击点击点击二、新课（一）用向量处理平行问题（一）用向量处理平行问题（二）用向量处理垂直问题（二）用向量处理垂
21、直问题（一）用向量处理平行问题（一）用向量处理平行问题1:,./ABCDABEFMNBFFMANMNEBC例 如图已知四边形、为两个正方形分别在其对角线上且求证：平面ADCBEFNM:,BEAB FMAN FBAC证明 在正方形ABCD与ABEF中,.FB ANAC 存在实数使FM()()()(1).MNMFFAANBFEBACBEBAABADEBBEADEBBEBCBEBEBC 1:,./ABCDABEFMNBFFMANMNEBC例 如图已知四边形、为两个正方形分别在其对角线上且求证：平面ADCBEFNM.,/MN BE BCMEBCMNEBC 、共面平面平面评注：评注：向量向量p p与两个
22、不共线的向量与两个不共线的向量a a、b b共面的充要条件是共面的充要条件是存在实数对存在实数对x,yx,y使使p p=x=xa a+y+yb b.利用共面向量定理可以证明线面平行问题。利用共面向量定理可以证明线面平行问题。本题用的就是本题用的就是向量法向量法。11111112.-,:/A B C DA B C DA B DC B D例在 正 方 形中求 证平 面平 面XYZ1CABCD1D11111:,D ADCD Dx y z证明 如图分别以、三边所在的直线为轴建立空间直角坐标系.设正方体的棱长为1,111(1,0,0),(1,1,0),(0,0,1),(0,0,1)(1,0,1),(1,
23、0,1)ABCDDBC 1则则A1111111111111/./././.ADBCADBCADCB DABCB DABDCB D 即直线，则平面同理右证：平面平面平面1A1B11111112.-,:/A B C DA B C DA B DC B D例在 正 方 形中求 证平 面平 面XYZ1A1B1CABCD1D评注：评注：由于三种平行关系可以相互转化，由于三种平行关系可以相互转化，所以本题可用逻辑推理来证明。所以本题可用逻辑推理来证明。用向量法将逻辑论证转化为问题的算法化，用向量法将逻辑论证转化为问题的算法化，在应用向量法时需要合理建立空间直角坐标系，在应用向量法时需要合理建立空间直角坐标系
24、，方能减少运算量。本题选用了方能减少运算量。本题选用了坐标法坐标法。（二）用向量处理垂直问题（二）用向量处理垂直问题:,.ABCDA B C DCC BDA FBDE例3在正方体中.E,F分别是的中点.求证：平面FEXYZ,DA DC DDxyzA 证明:如图取分别为 轴,轴,轴建立空间直角坐标系,设正方体的棱长为2.A(2,0,0),B(2,2,0),(2,0,2),E(0,2,1),F(1,1,0):,.ABCDA B C DCC BDA FBDE例3在正方体中.E,F分别是的中点.求证：平面FEXYZ(1,1,2),(2,2,0),(0,2,1)(1,1,2)(2,2,0)0,(1,1,
25、2)(0,2,1)0,.A FDBDEA F DBA F DEA FDB A FDEDB DEDA FBDE 又平面:,.ABCDA B C DCC BDA FBDE例3在正方体中.E,F分别是的中点.求证：平面FEXYZ评注：评注：本题若用一般法证明，本题若用一般法证明，容易证容易证AF垂直于垂直于BD，而证而证AF垂直于垂直于DE，或证或证AF垂直于垂直于EF则较难，则较难，用建立空间坐标系的方法用建立空间坐标系的方法能使问题化难为易。能使问题化难为易。,ABCA B CAAABCA CABBCAB练习：在三棱柱中，底面是正三角形，底面，求证：ABCBCA.2/1,0,0,1cbcabaA
26、CcABbAAa设证明：设底面边长为bacCCACBABCabBBABABacACAACA向量法向量法,ABCA B CAAABCA CABBCAB练习：在三棱柱中，底面是正三角形，底面，求证：ABCBCA220()()12A CABcabac bc aa baac b )()(abbacABBC2222(2)()(2)()221 10caabbaabbaaa bbab ).,1,0(),1,0(),0,3().0,1,0(),0,1,0(),0,0,3(.,2hChBhACBAh系如图建立空间直角坐标高为设底面边长为ABCBCA(3,1,),(3,1,),(0,2,)ABhA Ch BCh
27、22203 1,2.020.ABA Ch hABBChBCAB ,ABCA B CAAABCA CABBCAB练习：在三棱柱中，底面是正三角形，底面，求证：坐标法坐标法三、小结利用向量解决平行与垂直问题利用向量解决平行与垂直问题 向量法：利用向量的概念技巧运算解决问 题。坐标法：利用数及其运算解决问题。两种方法经常结合起来使用。ABCDM1A1B1CXYZ:,C解如图以 为原点建立空间直角坐标系.111,0,0),(2,1,0),(0,1,1),2 1 12(,),(,1,0),22 222 1 111(,),(2,1,1)(0,),22 222BBADMCDABDM (2，011111111
28、,90,1,2,1,.ABCA B CACBACCBAAAA B BD B CMCDBDM作业：如图 直三棱柱中侧棱侧面的两条对角线交点为的中点为求证平面四、作业四、作业 1.ABCDM1A1B1CXYZ1110,0.,.,.CD ABCD DMCDAB CDDMAB DMBDMCDBDM 则为平面内的两条相交直线平面011111111,90,1,2,1,.ABCA B CACBACCBAAAA B BD B CMCDBDM作业：如图 直三棱柱中侧棱侧面的两条对角线交点为的中点为求证平面1.作业：作业：2.课本课本p.116第第2题。题。Byebye!lmabml/baba /lua/l0 u
29、aua u v /vuvu /lamb ml0 baba l uuaua /la u v 0 vuvu3.2 3.2 立体几何中的向量方法（立体几何中的向量方法（4 4）xxz-坐标法中解方程组求向量的有关问题坐标法中解方程组求向量的有关问题 一、复习1 1、单位向量，平面的法向量、单位向量，平面的法向量 （1）单位向量模为）单位向量模为1的向量。的向量。（2）平面的法向量垂直于平面的向量。）平面的法向量垂直于平面的向量。2、坐标法、坐标法ABCD1A1B1C1Dxyz 例例1，如图，在正方体，如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，中，棱长为棱长为1，求证：平面，求证：平面A1BC1的法
30、向量为直线的法向量为直线DB1的方向向量的方向向量.二、讲授新课分析：分析：（1）建立空间坐标系；（2）用坐标表示向量11,BCBA（3）设平面A1BC1的方向向量为n=(x,y,z)，由下列关系列方程组求x,y,z.0,011BCnBAn（4）证明向量n/1DB思考：有更简单的方法吗？,1,1,2.AABCD SAABBCADSCDSBA0例三如所示，ABC D 是一直角梯形，ABC=90S平面求面与面所成二面角的余弦值ABCDS2分析分析：二面角的范围：0,1n2n 2n 1ncos12|cos,|n n cos12|cos,|n n ABO关键：观察二面角的范围关键：观察二面角的范围,1
31、,1,2.AABCD SAABBCADSCDSBA0例三如所示，ABC D 是一直角梯形，ABC=90S平面求面与面所成二面角的余弦值ABCDSxyz解：建立空直角坐系A-xyz如所示,A(0,0,0),11(1,0),(0,1)22CDSD C(-1,1,0),1,0),2D(0,(0,0,1)S11(0,0)2SBAnAD易知面的法向量设平面2(,),SCDnx y z 的法向量22,nCD nSD 由得：0202yxyz22yxyz2(1,2,1)n 任取1212126cos,3|n nn nnn 63即所求二面角得余弦值是2？时，才能提起这块钢板少动？这三个力最小为多力的作用下将会怎样
32、运这块钢板在这些，且是角形的两边之间的角都每个力与同它相邻的三力，在它的顶点处分别受质量为角形面的钢板的如图，一块均匀的正三例.20060,5003321321kgFFFFFFkgF F1 1F F2 2F F3 3ACBO500kgF F1 1F F2 2F F3 3ACBO500kgzxy).0,21,23(),0,1,0(),0,0,0(,CBAAxyzyAByABxAyABCA坐标分别为则正三角形的顶点建立空间直角坐标系轴的单位长度为轴正方向，方向为平面，坐标为为原点，平面解：如图，以点F F1 1F F2 2F F3 3ACBO500kgzxy),0,1,0(),(2160cos60
33、,),(11zyxACABFzyxF的数量积运算，得，利用向量的夹角均为与由于为方向上的单位向量坐标设力),0,21,23(),(2160coszyx.21,121yx解得F F1 1F F2 2F F3 3ACBO500kgzxy32,1222zzyx因此又因为)32,21,121(2001F所以)32,0,31(200)32,21,121(20032FF类似地F F1 1F F2 2F F3 3ACBO500kgzxy)6,0,0(200)32,0,31()32,21,121()32,21,121(200321 FFF它们的合力所以钢板仍静止不动。由于作用点为大小为的合力方向向上，这说明，
34、作用在钢板上,5006200.,6200Okg三、练习:1 1，在正方体，在正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，中，P P在在A A1 1B B1 1上，上，Q Q在在BCBC上，且上，且A A1 1P=QBP=QB，M M、N N分别为分别为AB1AB1、PQPQ的中点。求证：的中点。求证：MN/MN/平面平面ABCDABCD。DBCAA1QPNMD1C1B1zyxo证明：建立如图所证明：建立如图所示的空间直角坐标示的空间直角坐标系系o-xyz设正方形边长为设正方形边长为2，又设又设A1P=BQ=2x则则P(2，2x，2)、Q(2-2x，2，0)故故N
35、(2-x,1+x,1),而而M(2,1,1)MN所以向量所以向量 (-x,x,0)，又平面，又平面AC的法的法向量为向量为 (0,0,1)，n0nMN又又M不在平面不在平面AC 内，所以内，所以MN平面平面ACnMN 2，课本，课本P122第第11题。题。答案：答案：3/8.四、小结：四、小结：1，根据图形特点建立合适的空间直角坐，根据图形特点建立合适的空间直角坐标系，用坐标表示点和向量，通过向量解标系，用坐标表示点和向量，通过向量解决问题。决问题。五、作业：五、作业：课本课本P111 第第 6 题，题，P112第第10题题2，个别点和向量的坐标先假设，再列，个别点和向量的坐标先假设，再列方程组来求出。方程组来求出。
