1、上次课内容的简要回顾水击、相长、周期，水击过程的运动特征水击压强和波速的计算阀门逐渐关闭的水击，直接水击、间接水击2EXIT流流束束理理论论流流场场理理论论出发点出发点：液体运动是充：液体运动是充满空间且由无数质点组满空间且由无数质点组成的连续介质运动。成的连续介质运动。空间维度空间维度：三元流动：三元流动液液体体运运动动研研究究模模型型出发点出发点：液体总流由无：液体总流由无数微小流束组成。数微小流束组成。空间维度空间维度：一元流动：一元流动优点优点：求解方便：求解方便缺点缺点：考虑轴向运动：考虑轴向运动 忽略横向运动忽略横向运动优点优点：充分反映液体：充分反映液体 真实运动真实运动缺点缺点
2、：求解困难求解困难第十二章 液体运动的流场理论3EXIT拉拉格格朗朗日日法法欧欧拉拉法法关注焦点关注焦点：固定的空间点：固定的空间点研究重点研究重点：运动要素的空间分布：运动要素的空间分布液液体体质质点点运运动动描描述述方方法法关注焦点关注焦点：液体单个质点：液体单个质点研究重点研究重点：质点运动过程：质点运动过程第十二章 液体运动的流场理论跟踪跟踪布岗布岗12.1 12.1 流速、加速度流速、加速度12.2 12.2 流线与迹线的微分方程流线与迹线的微分方程12.3 12.3 液体质点运动的基本形式液体质点运动的基本形式12.4 12.4 无涡流与有涡流无涡流与有涡流12.5 12.5 液体
3、运动的连续性方程液体运动的连续性方程12.6 12.6 理想液体的运动微分方程理想液体的运动微分方程12.7 12.7 实际液体的运动微分方程实际液体的运动微分方程12.8 12.8 物质扩散的微分方程物质扩散的微分方程12.9 12.9 流动数值模拟的应用举例流动数值模拟的应用举例4第十二章 液体运动的流场理论EXIT5第十二章 液体运动的流场理论本章学习要求：本章学习要求：了解流场、速度、加速度的概念；理解流线与迹线的微分方程；理解微团运动的基本形式：平移、线变形、角变形和旋转；理解有涡流、无涡流、速度环量和涡通量的概念；理解液体运动的连续性方程；理解理想液体和实际液体的运动微分方程。EX
4、IT6运动要素是空间位置和时间的连续函数。),(),(),(tzyxfutzyxfutzyxfuzzyyxx不同时刻通过某空间点(x,y,z)液体质点的流速变化EXIT12.1 流速、加速度 constt constzyx),(时刻 t 不同空间点液体质点流速分布(流速场)不同时刻液体质点通过不同空间点时流速：同一空间点流速随时间变化同一瞬间流速随空间变化7EXIT12.1 流速、加速度 8时刻 t：xtAuUxtAuUxdttAuUttuxxuuxxxddEXIT)d(xxuuUxxdttA时刻 t+dt：xxuxdttuxdtxxuutxxd)d(A：A：A：A：9通过A点时质点速度增量t
5、tuxxuxxddEXITtutxxuxxddtUaxdtAdttAUUUxuutuaxxxx时变加速度位变加速度10 ddtuaxxzuuyuuxuututuayzyyyxyyyddzuuyuuxuututuazzzyzxzzzddtuatuatuazzyyxxdd ,dd ,ddEXITzuuyuuxuutudtduaxzxyxxxxx全加速度位变加速度 dddddd tzzutyyutxxutuxxxx时变加速度11zuyuxuttzyxddzpuypuxputptpzyxddEXIT恒定流：000ttptututuzyx流场中液体质点通过任一空间点时所有运动要素都不随时间改变。),()
6、,(),(zyxfuzyxfuzyxfuzzyyxx12EXIT非恒定流：流场中液体质点通过任一空间点时至少一个运动要素随时间改变。恒定流非恒定流时变加速度等于零位变加速度是否等于零是否恒定流时变加速度不等于零12.1 12.1 流速、加速度流速、加速度12.2 12.2 流线与迹线的微分方程流线与迹线的微分方程12.3 12.3 液体质点运动的基本形式液体质点运动的基本形式12.4 12.4 无涡流与有涡流无涡流与有涡流12.5 12.5 液体运动的连续性方程液体运动的连续性方程12.6 12.6 理想液体的运动微分方程理想液体的运动微分方程12.7 12.7 实际液体的运动微分方程实际液体
7、的运动微分方程12.8 12.8 物质扩散的微分方程物质扩散的微分方程12.9 12.9 流动数值模拟的应用举例流动数值模拟的应用举例13第十二章 液体运动的流场理论EXIT1412.2 流线与迹线的微分方程EXIT迹线拉格朗日法流线欧拉法OxyzAB15一、流线微分方程EXITsdsxddcoszdxdydsyddcosszddcosOxyzAB16一、流线微分方程EXITuuuxcoszuxuyuuuycosuuzcos17流线微分方程uuszuusyuusxzyxddcosddcosddcoszyxuzusuyusuxusddddddddddxyzxyzsuuuuEXIT一、流线微分方程
8、OxyzAB18二、迹线微分方程EXITsdtuxxdd zdxdydxuyuzutuyydd tuzzdd 迹线微分方程ddddxyzxyztuuu迹线和流线重合19恒定流时zuyuxuuzuyuxzyxzyxddd ddd或EXIT流线微分方程ddddxyzxyzsuuuu迹线微分方程ddddxyzxyztuuu20在液体中取一个微分平行六面体，边长分别为 dx，dy，dz。取角点 P(x,y,z)，令该点在各坐标轴上的分速度为 ux,uy,uz。由泰勒级数，角点 Q 的速度为：沿 x 方向沿 y 方向沿 z 方向12.3 液体质点运动的基本形式xxuuxdxxxuuyydxxuuzzdE
9、XIT21矩形平面 PQRS 各个角点的分速度各角点速度存在差异EXIT形状发生改变运动过程中22矩形平面的运动形式有：平移线变形角变形旋转EXIT基本运动形式1.位置平移2.线变形3.边线偏转：(1)角变形(2)旋转运动EXIT211.位置平移EXIT22x,y,z方向位移速度分别是ux,uy,uz。2.线变形EXIT23:方向x dddd :yutytyyuyyy方向zutztzzuzzzdddd :方向xuxtxxuxddtxdd线变形速率：每秒钟边线单位长度的伸长量。3.边线偏转EXIT24tzzuxddxutzddtzuxdtzzuzzddd)tan(ddzutxddtzzuzddt
10、xxuxdddz dx=角变形+旋转27(1)角变形zuyuyzx212dddd直角边绕 y 方向变形角速度y直角边绕 x 及 z 方向变形角速度EXITtzzuzddtxxuxdddz dx:直角边变形角速度d2ddd=tyddd21xuzuzx21dtdyuxuxyz2128(2)旋转运动td)d(d21矩形平面绕 y 方向的旋转角速度xuzuzx21 21zuyuyzx矩形平面绕 x 及 z 方向的旋转角速度EXIT:旋转角速度ytddd21yuxuxyz2129(1)位置平移 ux,uy,uz(2)线变形zuyuxuzyx,EXIT微分体V0d0d0dzyx0质点121212yzxxz
11、yyxzuuyzuuzxuuxy121212yzxxzyyxzuuyzuuzxuuxy(3)角变形(4)旋转运动3012.4 无涡流与有涡流021021021yuxuxuzuzuyuxyzzxyyzxEXIT液体质点是否存在绕自身轴旋转有有涡涡流流无无涡涡流流液液体体运运动动是是否否yuxuxuzuzuyuxyzxyz31动画动画(涡流涡流)EXIT32EXIT),(tzyxxuyuz33若流场中存在函数，该函数被称为流速势函数。无涡流必有流速势函数存在，为势流。zzyyxxdddEXIT,xyuzu,yzyuxuxuzuzuyuxyzxyzxzxuz2yxyux2zuy,2yzzy2,2zx
12、zux,2xyxuydzuyuxuzyxddd给定tcossin0 xyzuuu34例12.1 有一液流，已知试分析液体运动的特征。EXIT恒定流，流线与迹线重合速度与时间无关dddyxzuuuxyz流线方程：cossin0dddxyztanyxC积分35线变形EXITzuyuxuzyx,cossin0 xyzuuu000 xyzuxuyuz液体质点无线变形36EXIT121212yzxxzyyxzuuyzuuzxuuxy(2)角变形cossin0 xyzuuu000 xyz液体质点无角变形37EXIT121212yzxxzyyxzuuyzuuzxuuxy(3)旋转运动cossin0 xyzu
13、uu000 xyz液体质点无旋转运动，无涡流ddddxyzuxuyuzcosdsindxycossinxyC0 xyzukyukxu 38例12.2 有一液流，已知试分析液体运动的特征。EXIT恒定流，流线与迹线重合速度与时间无关dddyxzuuuxyz流线方程：0dddkykxxyz22xyC积分39线变形EXITzuyuxuzyx,0 xyzukyukxu 000 xyzuxuyuz液体质点无线变形40EXIT121212yzxxzyyxzuuyzuuzxuuxy(2)角变形0 xyzukyukxu 000 xyz液体质点无角变形41EXIT121212yzxxzyyxzuuyzuuzxu
14、uxy(3)旋转运动0 xyzukyukxu 00 xyzk液体质点有旋转运动，有涡流Oxyz42EXIT112233涡线43微小涡束断面上各点旋转角速度相等质点旋转角速度矢量与涡线相切zyxzyxddd涡线不会相交EXIT涡流场流速场质点速度矢量与流线相切dddxyzxyzuuu恒定流时涡线形状不变微小流束断面上各点速度相等流线不会相交恒定流时流线形状不变涡旋通量=d流量=udAOxyz44沿封闭周线C 速度环量EXITsuACdsucosCdsdsuu),cos(lim)d,cos(suszuusyuusxuuzyxdddddd),cos(d),cos(),cos(d),cos(),cos
15、(d),cos(zszuysyuxsxu1cosnus45Czyxzuyuxu)ddd(液体运动是无涡流szuusyuusxuusuzyxdddddd)d,cos(EXITCdsdsuu),cos(流速势函数存在0Cd AAAA 当流速势为单值函数时，沿无涡流空间画出的任意封闭周线的速度环量都等于零。液体运动是否无涡流速度环量是否等于零ddddxyzuxuyuz46微小时段 dt 左面流入液体质量右面流出液体质量12.5 液体运动的连续性方程2dxxEXIT2dxxuuxxt dzyddXIM2dxx2dxxuuxxt dzyddXOMdt 时段 x 方向流入与流出液体质量差tzyxxuxdd
16、ddXMXOXIMM47dt 时段内流进与流出液体质量总差tzyxzuyuxuzyxdddddt 时段内在 y方向流入与流出液体质量差tzyxyuyddddEXITdt 时段内在 z方向流入与流出液体质量差tzyxzuzddddYMYOYIMMZMZOZIMMZYXMMMXYZM48dt 时段六面体内因密度变化引起质量总变化zyxdddtzyxzuyuxutzyxtzyxdddddddd可压缩液体非恒定流的连续性微分方程：0zuyuxutzyxEXITtzyxtddddzyxttdd)dd(M-XYZMM49不可压缩液体const既适用于不可压缩液体的恒定流，也适用于非恒定流。0zuyuxuz
17、yx微分平行六面体体积总变化不可压缩液体：微分平行六面体在运动过程中，虽有平移和线变形，但其体积大小保持不变。xuxEXIT0zuyuxutzyx或div u=0，式中div u叫速度散量，为标量。d d d dyxzuuux y z txyzzuzyuyzyddtxddzxddtyddyxddtzdd+050d d dyxzVuuux y zxyz流管表面积S=A1+A2+A3suSnd12QQEXIT0zuyuxuzyxSnsu d00dd221121AuAuAA流管侧表面 u3=033d3AuA11d1AuA22d2AuA0不可压缩液体恒定总流连续性方程不可压缩液体连续性微分方程恒定流1
18、2.1 12.1 流速、加速度流速、加速度12.2 12.2 流线与迹线的微分方程流线与迹线的微分方程12.3 12.3 液体质点运动的基本形式液体质点运动的基本形式12.4 12.4 无涡流与有涡流无涡流与有涡流12.5 12.5 液体运动的连续性方程液体运动的连续性方程12.6 12.6 理想液体的运动微分方程理想液体的运动微分方程12.7 12.7 实际液体的运动微分方程实际液体的运动微分方程12.8 12.8 物质扩散的微分方程物质扩散的微分方程12.9 12.9 流动数值模拟的应用举例流动数值模拟的应用举例51第十二章 液体运动的流场理论EXITOxyzACB5212.6.1 理想液
19、体动水压强的特性 (1)理想液体的动水压强方向与受压面垂直并指向受压面。(2)在理想液流中，任何点的动水压强在各方向上的大小均相等。12.6 理想液体的运动微分方程理想液体动水压强的特性与静水压强相同。EXITx2yxpzyz2zypx2zxpynnAp)6(zyxfx)6(zyxfy)6(zyxfzOxyzACB5312.6.1 理想液体动水压强的特性 x方向动力方程：EXITx2yxpzyz2zypx2zxpynnAp)6(zyxfx)6(zyxfy)6(zyxfz2zypxcos,nnpAn x6zyxfx6xzayxcos,nAn xxA2zy33xxnxxaxfpp y方向动力方程：
20、33yynyyayfpp z方向动力方程：33zznzzazfpp5412.6.1 理想液体动水压强的特性EXIT333333zznzyynyxxnxzazfppyayfppxaxfppnznynxpppppp000zyx5512.6.2 理想液体运动微分方程欧拉方程EXITzyxxppdd2dzyxxppdd2dzxyyppdd2dzxyyppdd2dyxzzppdd2dyxzzppdd2d)ddd(zyxfx)ddd(zyxfy)ddd(zyxfzzyxfxdddx方向动力方程：zyxxppdd2dzyxxppdd2dzyxdddtuxddtuxpfxxdd1y方向动力方程：tuypfyy
21、dd1z方向动力方程：tuzpfzzdd156静止液体tuzpftuypftuxpfzzyyxxdd1dd1dd1理想液体运动微分方程欧拉方程，适用于可压缩与不可压缩流体，恒定流与非恒定流。EXIT010101zpfypfxpfzyx000 xyzuuuzuuyuuxuutuzpfzuuyuuxuutuypfzuuyuuxuutuxpfzzzyzxzzyzyyyxyyxzxyxxxx11157EXITzuuyuuxuutuzpfzuuyuuxuutuypfzuuyuuxuutuxpfzzzyzxzzyzyyyxyyxzxyxxxx1110zuyuxuzyx未知量4个：p,ux,uy,uz封闭方
22、程组对于不可压缩液体理论上，理想液体中任意点在任意时刻的u和p是可以求解的。上节课内容的简要回顾 为什么要引入流场理论？其如何描述流体运动？可行否？何为时变加速度和位变加速度？恒定流的时变加速度和位变加速度是否一定都等于0？非恒定流的时变加速度和位变加速度是否一定都不等于0？流线方程和迹线方程有何异同？液体质点运动的基本形式有哪些？如何定量描述？什么是无涡流？何有特征？液体运动的连续性微分方程及其适用条件？58EXIT 理想液体的运动微分方程及其适用条件？理想液体的微分方程组是否可以构成封闭系统？5912.6.3 葛罗米柯方程及其积分2u22ux22yxzxyzuuuuuuuxxxxEXIT葛
23、罗米柯方程欧拉方程旋转角速度2xu2yu2zu2222xyzuuuxxuuxuuxuuzzyyxx6012.6.3 葛罗米柯方程及其积分22yxzxyzuuuuuuuxxxx212yxxxzxyzyzuuuuupufuuuuxtxxxyzEXITx方向动力方程：zuuyuuxuutuxpfxzxyxxxx122yxxxzyzuuuuuuuutxxyzx2222xyzzyuuuutx2122xxzyyzupufuuxtx612122xxzyyzupufuuxtx葛罗米柯方程2122yyxzzxupufuuyty2122zzyxxyupufuuztz0zyxEXIT2102xxupufxtx210
24、2yyupufyty2102zzupufztz无涡流622122xxzyyzupufuuxtx若质量力有势，则存在势函数U（x，y，z）。zUfyUfxUfzyx,液体不可压缩const222xzyyzupuUuuxtEXITx方向动力方程：xUfx2122xzyyzuUpuuuxxtx63222xzyyzupuUuuxt222yxzzxupuUuuyt222zyxxyupuUuuzt适用于不可压缩液体的恒定流与非恒定流，有涡流和无涡流，但质量力应为有势力。EXIT理想液体质量力为有势情况下的葛罗米柯方程64222xzyyzupuUuuxt222yxzzxupuUuuyt222zyxxyupu
25、Uuuzt222zyyzpuUuux222xzzxpuUuuy222yxxypuUuuzEXIT恒定流0tututuzyx65EXIT22puUx22puUy22puUz2zyyzuuxdxd2xzzxuu2yxxyuuydzdzdyd+222ddd222pupupuUxUyUzxyzzuuyuuxuuyxxyxzzxzyyzddd2662d2puU左边：理想液体恒定流的能量方程Bernoulli方程常数22upUEXIT222ddd222pupupuUxUyUzxyzzuuyuuxuuyxxyxzzxzyyzddd2zyxzyxuuuzyx d d d2恒定流2d d dd2 2 xyzxy
26、zxyzpuUuuu右边：=067(1)无涡流0zyx(2)静止液体0zyxuuu(3)恒定流同一流线zyxuzuyuxddd(4)恒定涡流同一涡线zyxzyxddd(5)恒定螺旋流zzyyxxuuuEXITzyxzyxuuuzyx d d d=0常数22upUU=？68质量力仅为重力UdCgzU常数gugpz22理想液体恒定流Bernoulli方程：EXITzUfyUfxUfzyx,zfyfxfUzyxddddzgUddgfffzyx,0,0常数22upUzzUyyUxxUddd12.1 12.1 流速、加速度流速、加速度12.2 12.2 流线与迹线的微分方程流线与迹线的微分方程12.3
27、12.3 液体质点运动的基本形式液体质点运动的基本形式12.4 12.4 无涡流与有涡流无涡流与有涡流12.5 12.5 液体运动的连续性方程液体运动的连续性方程12.6 12.6 理想液体的运动微分方程理想液体的运动微分方程12.7 12.7 实际液体的运动微分方程实际液体的运动微分方程12.8 12.8 物质扩散的微分方程物质扩散的微分方程12.9 12.9 流动数值模拟的应用举例流动数值模拟的应用举例69第十二章 液体运动的流场理论EXIT7012.7.1 实际液体运动时所产生的内应力相对运动的各层液体之间12.7 实际液体的运动微分方程pzzy正应力EXIT粘滞性切应力=pzz zx与
28、作用面垂直的坐标轴切应力pzx与应力方向平行的坐标轴7112.7.1.1 切应力的性质和大小牛顿内摩擦定律dtanzutddddt ddEXITztuddddtutuudd)d(zdzudd在分层运动的实际液体中直角边的变形速度与流速梯度相等。72三元流，XOZ面BC对AD相对运动产生的切应力tzxddEXITztzzuxdddddt dxuzxtxxuzdddt dzux73DC对AB相对运动产生的切应力xzxzuuxzxzzxxzuuxzyxxyyxuuyxyzyzzyuuzy作用在两互相垂直平面上且与平面交线相垂直的切应力大小相等。EXITBC对AD相对运动产生的切应力xzzxuuzx7
29、412.7.1.2 动水压强的性质和大小x方向受力：EXIT任意点动水压强各方向相等运动理想液体运动实际液体？、75x方向受力：EXIT、xxpzyddyxzxdd21zxdd21yyyxyxdzxyxddzzpsyddsinxzsyddcoszyxddd21xaxszsdcosd,dsindxxzzzyxzxxxxapxypd21cotd21cot0d,0d,0dzyx0cotxzzxzzxxppzzxxpp76EXITx 方向受力：、xxpzyddyxzxdd21zxdd21yyyxyxdxszsdcosd,dsind0d,0d,0dzyxcossinsincos22zzxxzxxzppc
30、osxzd dy zsincosyzzxdd21sincoszxdd21yyyzyzdsinzzpyxddsinzxyxddcosxzsyddzyxddd21xazzxxpp77实际液流中任一点动水压强各方向不相等。zzzzxxpppEXIT0cotxzzxzzxxppcossinsincos22zzxxzxxzppzzxxppzzxxpppxx，pyy，pzz？zuxuxzzxzuxuxzxzcossinsincos22zzxxxzxzppzuxuzuxu？78EXITcossinsincoszxzzxxdcosdsinddsindcosdzxzzxxsincossincosxzzzxxuu
31、uuuusincossincosxuxuxuzuzuzuzxxzxxdxudxudcossindsincosdzzuxuxzuxuuxxxxxzuxuzuxxxcossin?zuxxuxxdzuxzdxuxdxzuxdzcossinsincoszxzzxxuuuuuu79EXITxuzuppxzzzxx2cossinsincos22zzxxxzxzppzuxuzuxucossinsincos22xuzuxuzuzuxzzxxcossinsincos22xuzuzuxuxuxzxzzzupxupzzzxxx22xuyuppxyyyxx2yupxupyyyxxx22zupyupxupzzzyyyx
32、xx222p80任意三个正交方向的动水压强之平均值zuyuxuppppzyxzzyyxx323粘滞性附加正应力pzuppyuppxupzzzyyyxxx222EXIT3zzyyxxpppp0zuyuxuzyx不可压缩液体zuppyuppxuppzzzyyyxxx222同一点上各方向动水压强相等ppppzzyyxx理想液体08112.7.2 实际液流的运动微分方程x 轴方向：左、右表面力：xxp前、后表面力：上、下表面力：zxx 方向质量力：xfEXITzydd dxxxxppxxzyddyxzxdd dyxyxyyzxddyxdddzxzxzzyxddzyxddd82yxzzyxzxyyzxz
33、yxxppzypzyxfzxzxzxyxyxyxxxxxxxxddddddddddddddddddtuzyxpfxzxyxxxxdd11tuzxypfyzyxyyyydd11tuyxzpfzyzxzzzzdd11以应力表示实际液体运动微分方程EXITzyxdddtuxdd0zuyuxutzyx方程组未封闭83xpxxyyxzzxtuzuzxuyuyxuxuxpfxxzxyxxdd2122222222EXITtuzyxpfxzxyxxxxdd11)2(xupxx222xuxpx)(yuxuyxy)(222yuyxuxy)(zuxuzxz)(222zuzxuxz222222d1dyxxxxxzxu
34、uuuuuupfxxyzxxyzt84不可压缩液体0zuyuxuzyx222222d1dyxxxxxzxuuuuuuupfxxyzxxyzt222222d1dxxxxxuuuupfxxyzt222222d1dyyyyyuuuupfyxyzt222222d1dzzzzzuuuupfzxyzt不可压缩粘滞液体的运动微分方程Navier-Stokes方程EXITxu2yu2zu2拉普拉斯算式85tuuzpftuuypftuuxpfzzzyyyxxxdd1dd1dd1222EXIT0静止液体010101zpfypfxpfzyx000zyxuuutuzpftuypftuxpfzzyyxxdd1dd1dd
35、1理想液体N-S方程是描述不可压缩液体运动特性的普遍方程86tuuzpftuuypftuuxpfzzzyyyxxxdd1dd1dd1222EXIT0zuyuxuzyxN-S方程由于NS方程是非线性的偏微分方程组，难以获得解析解。仅对某些简单问题可获得运动要素的解析解。受计算机存储和运算速度的限制，直接数值求解NS方程也有一定困难。封闭方程组87例12.5 试用纳维斯托克斯方程求直圆管层流运动的流速及流量表达式（见图）。EXIT88因 ，故有：解：层流运动时，液体质点只有沿轴向的流动而无横向运动，若取圆管中心轴为 x 轴，则 。现取纳维斯托克斯方程组中的第一式来分析。恒定流时质量力只有重力时0,
36、0,0zyxuuuzuuyuuxuutuzuyuxuxpfxzxyxxxxxxx22222210tux0 xf0zyuu0,0,0,0zuyuzuuyuuzyxzxyEXIT89由连续方程式 ，可知 。由此可得 。将以上各值代入纳维斯托克斯方程组第一式，可得：0zuyuxuzyx0 xux0 ,022xuxuuxxx2222zuyuxpxx由上式可知 与 x 无关，即动水压强沿 x 轴方向的变化率 是一个常数，可写成 。因 ，所以 并不沿 x 方向而变化。0 xuxxuxpxpLpxp常数式中 为沿 x 方向长度为 L 的管段上的压强降落，取负号。pEXIT90因为圆管中的液流是轴对称的，相同
37、，而且 y 与 z 都是沿半径方向的，故变数y，z可换成变数 r。而 与 x 无关，仅为 r 的函数，所以 对 r 的偏导数可以直接写成全导数。或2222zuyuxx与22222222ddruruzuyuxxxxxu22dd2ruLpxxu积分可得：Lprux2dd2212ddCrLpruxEXIT91利用轴心处的条件 ，得 。故rLprux2dd0dd ,0rurx01C再积分，得利用管壁处的条件 ，故有：224CrLpux20204 ,0 ,rLpCurrx得)(4220rrLpux上式表明：圆管中层流过水断面上的流速是按抛物面的规律分布的。EXIT92故通过过水断面的总流量：过水断面平均
38、流速：0022000402 d()d2 8rrxpQurrrr rrLprL20208QQprArLd2 dxQurr由于：EXIT93湍流的运动要素是脉动的，运动要素的瞬时值可以表示为时间平均值与脉动值之和，即：,xxxyyyzzzuuuuuuuuupppEXIT自然界或工程领域的绝大多数流动都是湍流。工程领域往往并不需要了解湍流的全部细节，仅关注湍流对时间的平均效应。可以将瞬时值运动微分方程对时间取平均而得到时间平均的运动微分方程，即雷诺方程。94EXIT时间平均法的主要运算法则：,xxxyyyzzzuuuuuuuuuppp0 iixx2222iixx0,(=const)CC 121212
39、 iiiuuuxxx12341234 95时均化连续性方程0zuyuxuzyx0 xxyyzzuuuuuuxyz 0yxzxyzuuuuuuxxyyzz0yxzuuuxyzEXIT,xxxyyyzzzuuuuuuuuu0 ,0 ,0zyxuuu96时均化运动方程EXITtuzyxpfxzxyxxxxdd11zuuyuuxuutuzyxpfxzxyxxxzxyxxxx0zuyuxuzyx0zuuyuuxuuzxyxxxzuuzuuyuuyuuxuutuzxxzyxxyxxx2 zuuyuuxutuzxyxxx297时均化运动方程EXITzyxpfzxyxxxx zuuyuuxutuzxyxxx2
40、zxzxyxyxxxxxxuuzuuyupxftu2xyxyzyzyyyyyyuuxuuzupyftu2yzyzxzxzzzzzzuuyuuxupzftu298时均化运动方程EXITzxzxyxyxxxxxxuuzuuyupxftu2tuxxutxfxf2xxxupx2 22xxxxxxpuu uux2 2xxxxpuuxyxyxuuyyxxyxyyxxyu uu uu uu uyyxxyxyu uu uyzxzxuuzzxxzxzu uu uz99时均化运动方程EXITzxzxyxyxxxxxxuuzuuyupxftu2xutxf2 2xxxxpuuxyxxyxyu uu uyzxxzxzu
41、 uu uzyutyf2 2yyyypuuyzyyzyzu uu uzxyyxxyu uu uxzutzf2 2zzzzpuuzxzzxzxu uu uxyzzyzyu uu uy12.1 12.1 流速、加速度流速、加速度12.2 12.2 流线与迹线的微分方程流线与迹线的微分方程12.3 12.3 液体质点运动的基本形式液体质点运动的基本形式12.4 12.4 无涡流与有涡流无涡流与有涡流12.5 12.5 液体运动的连续性方程液体运动的连续性方程12.6 12.6 理想液体的运动微分方程理想液体的运动微分方程12.7 12.7 实际液体的运动微分方程实际液体的运动微分方程12.8 12.
42、8 物质扩散的微分方程物质扩散的微分方程12.9 12.9 流动数值模拟的应用举例流动数值模拟的应用举例100第十二章 液体运动的流场理论EXIT12.8 物质扩散的微分方程12.8.1 分子扩散扩散：流体中含有的物质由于分子运动和质点湍动从一定位置输送到另一位置的现象。流体中物质的扩散可分为分子扩散与湍动扩散。湍动扩散的分析处理可以类比于分子扩散来进行。分析分子扩散可将流体看作连续介质。从实践总结出下列经验公式，即菲克定律菲克定律（Fick law）:mcP=Dx式中：c为扩散物质的浓度，P为通过垂直于x方向单位面积的扩散物质的输送率，Dm为分子扩散系数。上式说明：扩散物质沿某方向的输送率与
43、沿该方向的浓度梯度成比例。EXIT69如果在静水池中放入一些扩散物质（例如有色溶液），物质将向四周扩散。在液体中取出一个微小六面体，如右图所示，边长为dx,dy,dz。在dt时段内，在x轴方向扩散物质进入六面体的量为：d d dP y z tdd d dPPxy z tx流出六面体的量为：扩散物质在x方向进出量之差为：md d d d()d d d dPcx y z t=Dx y z txxxEXIT70同理，在y方向进出量之差为：m()d d d dcDx y z tyym()d d d dcDx y z tzzd d d dcx y z tt在z方向进出量之差为:此时六面体内扩散物质的变化
44、量为：由物质守恒定律，进出六面体扩散物质的差值应与六面体内扩散物质的变化量相等，故222m222d d d dd d d dccccDx y z tx y z ttxyz即222m222ccccDtxyz上式就是菲克第二定律。71现在进一步讨论流动的流体中的分子扩散问题。若在流场中取一边长为dx,dy,dz的空间微小六面体来分析（如右图）。在dt时段沿x轴方向由于流体的对流而流入六面体的扩散物质量为：d d dxcuy z tdd d dxxcucuxy z txmd d dcP y z tDt对流流出六面体的物质量为:由于分子扩散流入六面体的扩散物质量为：分子扩散流出六面体的物质量为：mmd
45、d d d()ccDDxy z txxx故沿x方向进出总量之差为：md d d d()xccuDx y z txx72同理，沿y方向的进出总量之差为：沿z方向的进出总量之差为：在dt时段内由于浓度c的变化，六面体内扩散物质的变化量为：按物质守恒定律，六面体内物质的变化量应等于进出量之差，由此可得：在静止流体中没有对流，只有分子扩散，则上式变为：上式就是扩散物质的连续性方程。md d d d()yccuDx y z tyymd d d d()zccuDx y z tzzd d d dcx y z tt222m222()()()()xyzcccccucucuDtxyzxyz222m222()ccc
46、cDtxyz上式即菲克第二定律。7312.8.2 湍动扩散湍流中不但流速有脉动现象，所含扩散物质的浓度也有脉动现象，即浓度随时间作不规则变化。瞬时值可用时均值与脉动值之和来表示，即，将这些值代入扩散方程222m222()()()()xyzcccccucucuDtxyzxyz,xyzxxyyzzu=u+u u=u+u u=u+u c=c+c 得222m222()()()()()()()()()()xyxyzzc+cc+c u+uc+c u+utxyc+c u+uzc+cc+cc+cDxyz74将上式各项展开，对时间取平均后加以简化，并考虑到连续方程0 xyzuuuxyz222m222()()()
47、()xyzxyzccccuuuu cu cu ctxyzxyzcccDxyz,xyzu c u c u c最后可得等项的物理意义是在湍流中分别通过垂直于x,y,z轴的单位面积在单位时间输送的脉动扩散率。类比于分子扩散的菲克定律，可假设这些由脉动产生的输送率与时均浓度 的梯度成比例，即c75txtytz xyzcu cDxcu cDycu cDz式中Dtx,Dty,Dtz 为湍动扩散系数。代入分子扩散的时均方程可得tx222tytzm222()()()()xyzcccccuuuDtxyzxxcccccDDDyyzzxyz由于湍流的随机运动的尺度远大于分子随机运动的尺度，所以,一般分子扩散项可以忽
48、略不计，则上式写作tmDD76222txtytz222xyzcccccccuuuDDDtxyzxyz0yzuu222txtytz222xcccccuDDDtxxyz上式就是湍动扩散的基本方程。若应用于均匀流，则 ，上式可写成如果只有x方向的一元扩散。则2tx2xcccuDtxx77湍动扩散系数及分散系数一般都是用示踪剂在室内或现场通过实验求得，下列经验公式可供参考：明渠水流：纵向湍动扩散系数横向湍动扩散系数垂向湍动扩散系数纵向分散系数表观扩散系数圆管流：湍动扩散系数纵向分散系数表观扩散系数式中：H为明渠水深，r0为圆管半径。txtytzL0.070.150.065.685.93*DHuDHuD
49、HuDHuDHut0L000.05210.110.152*Dr uDr uDr u*ugRJ78EXIT8012.9 流动数值模拟的应用举例（1）底流消能计算 当高水头大单宽流量泄水建筑物采用带跌坎的底流消能方式时，为了研究消力池内流场结构，需详细计算消力池内的流场。下图为采用VOF(Volume of Fluid)法的RNG k湍流模型计算所得的消力池内速度场，计算结果模拟出了消力池内的漩涡结构和速度矢量分布。EXIT8012.9 流动数值模拟的应用举例（2）天然河流流场计算 某江心岛位于干流与两条支流汇口附近，为了计算江心岛堤防工程对河道行洪与河势稳定的影响，应用二维数学模型，采用有限元方
50、法，计算了工程建成后河道水位和流速的变化，下图为工程建成后的河道流场。8112.9 流动数值模拟的应用举例(3)水库异重流计算流流速速场场温温度度场场 为计算水库水温分层流动结构，采用三维切应力输运模型，数值模拟了水温为16.67的冷水流入充满水温为21.44且均匀分布的热水的模型水库时水流的流速场和温度场。右图分别为某一时刻对应的水库纵剖面的流速场和温度场，计算结果显示，冷水进入热水后由于密度大一直沿库底流动，并形成温度分层。8212.9 流动数值模拟的应用举例本章小结液体质点的运动形式：平移：位移速度为 ux、uy、uz。线变形：用线变形速率表示，分别为 。角变形：由剪切变形速率（又称剪切
