1、数理金融第1章 期望效用函数理论 与单期定价模型第1章 期望效用函数理论与单期定价模型1.1.期望效用函数理论期望效用函数理论2.2.投资者的风险偏好和风险度量投资者的风险偏好和风险度量3.3.单期定价模型单期定价模型本章内容概览本章内容概览1.1 序数效用函数1.1.1 偏好关系Bnn设 是 维欧氏空间中的凸集，RB在 中引入一个二元关系记 为“”，如 果 它 具 有1,xBx x（）（反身性）若则；2,;x yBx yy x（）（可比较性）若则或者1.1.1 偏好关系3,x y zBx y y zx z（）（传递性）若如果则。我们称“”是一个偏好关系。,x yB x y注：若xyxy则认为
2、 比 好，或者 不比 差。x yy xxyxy若与同时成立，则 和 偏好无差异，记作。x yy xxyxy若但不成立，则 严格地比 好，记作。1.1.2 字典序例如：设选择集2,)0,),0,)Bx y xy（22B显然是中的凸集，R2B在上，定义二元关系 如下所述：112222,),(,),x yBxyB若（1212121122,)(,)xxxxyyx yxy如果或者定义（。1.1.2 字典序问题验证上述的二元关系是否是一偏好关系？1.,x yB2若（),xx yy因为(,),x y按定义（x,y)即反身性成立。1122222.,),(,),x yBxyB若（12,xx如果1122,)(,)
3、,x yxy按定义得（反之，12,xx如果2211,)(,),xyx y则（1.1.2 字典序1212,xxyy如果122,)(,),yxy1按定义则（x1212,xxyy如果2211,)(,)xyx y则（即可比较性成立。1122223323.,),(,),(,)x yBxyBxyB设（112233,)(,)(,),x yxyxy若（13,xx显然131133,)(,),xxx yxy如果按定义得（13123,xxxxx如果此时1.1.2 字典序1122(,)(,),x yxy因为12,yy所以2233,)(,),xyxy又（23,yy故131133,)(,),yyx yxy于是从而（即传递
4、性成立。1.1.3 效用函数效用函数定义B设 是具有偏好关系“”的选择集，UBR：的单值函数，,()()x yB U xU y如果,x y当且仅当U则称 为效用函数。1.1.4 偏好关系的三条重要性质性质1（序保持性）,0,1x yB xy 对任意及(1)(1)xyxy当且仅当证明字典序具有性质1必要性因为，若，必有 22112211,1,1,yxyxyxyx12,xx若，由于则有()()()121221221xxxxxxxxaaab+-=-+-+()()()121221221yyyyyyyyaaab+-=-+-+证明字典序具有性质1（续）必要性因此 11221122,1,1,x yxyx y
5、xy矛盾，故必有。证明字典序具有性质1（续）必要性1122221122,),(,)(,),(0,1),x yBx yBx yx y 若，（则根据向量运算法则 22122121212211,1,1,1,yyyxxxayyxxyxyx证明字典序具有性质1（续）必要性 22122121212211,1,1,1,yyyxxxyyxxyxyx 11221122,1,1,x yxyx yxy若则必有。证明字典序具有性质1（续）充分性设。根据字典序的定义，可能有以下两种情况121212,xxxxyy，或。分别证明如下。121221221,xxxxxxxx（）若则结论成立。12122,xxyy（）若，则有证明
6、字典序具有性质1（续）充分性221221xxxxxx221221yyyyyy故 22112211,1,1,yxyxyxyx1.1.4 偏好关系的三条重要性质性质2（中值性）,x y zB对任意,xyz如果那么存在惟一的（0，1）(1)xzy使。证明字典序不具有性质2112222332,),(,),x yBxyBx yB取（12323,xxxyy且，根据字典序定义，112233,x yxyx y此时0,1对任意，我们有 11331123,1,)(1)(,)x yx yx yxy（12131,1xxyy证明字典序不具有性质2（续）1201,xx因为有2221211xxxxxx 113322,1,x
7、 yx yxy所以，0,1因此不存在使得 113322,1,)x yxyxy（这说明字典序不具有性质2。1.1.4 偏好关系的三条重要性质性质3（有界性）*,xyB存在,zB使对任意*xz y 有。1.1.5 序数效用函数存在定理定理1.11.1.413BU+设选择集 上的偏好关系“”具有节中的性质性质，则存在效用函数：BR 使得1)();xyU xU y（）当且仅当（(2)()xyU xUy当且仅当（。序数效用函数存在定理证明由性质3，*,xyB存在xB使对任意*xx y 有。*xy如果 ，xB此时对任意，*xxy有 ，()U xc我们定义（常数）。=此时定理显然成立。*xy若，xB对任意的
8、，因为B存在偏好关系，只有3种情况：序数效用函数定理证明*1.()1zxU z 情况当 时，定义；*2.y()0zU z 情况当 时，定义；*3.0,1)xxy情况当时，性质2存在唯一的（a*1,xxy使()U x此时我们定义。)();xyU xU y（1）证明当且仅当（必要性xy设*xxyy如果，()1U x 此时，*xyy由于，0,1则存在唯一*1yxy使，()1,U y按定义()()U xU y所以。)();xyU xU y（1）证明当且仅当（*xxyy当，()0U y 此时，按定义，*xxy由于，0,1则存在唯一*1xyx使，()0,U xa=此时()()U xU y即成立。)();x
9、yU xU y（1）证明当且仅当（*xxyy如 果，12则存在，使*111xyx，1()U x按定义，*221xyy，2()U y按定义，由性质1（序保持性），xy由于，12,必有()()UxUy故。充分性)();xyU xU y（1）证明当且仅当（,x yB假设已知，(),U xU y且（xy证。2()1,()(0,1),U xU y若*2211 1(1),xxyyxy此时，21,由于由保序性，xy。()1()0U xU y若，时，*xxy按定义 y，xy故。)();xyU xU y（1）证明当且仅当（充分性1()01()0,U xU y若（，），此时*01 0,yyxy*111xxy10,
10、由于xy故。1()()0,U xU y若12(),(),U xU y此时令由U的定义，*111,xxy*221yxy12()(),U xU y因为由性质1xy必有。必要性1.1 2()()xyU xU y定理（）证明：当且仅当。,x yB任取，xy设，()(),U xU y证若不然，()U xU y。()U xU y不妨设，由结论1，xy此时有，xy这与矛盾。充分性1.1 2 ()()xyU xU y定理（）证明：当且仅当。()U xU y若，xy而不成立，xyyx此时有两种可能：，或者。1)()U xU y由结论（，必有，xy矛盾，所以，证毕。说明设U是效用函数，:G RR函数是正值严格单调
11、增加函数，G U:BR容易证明复合函数也是效用函数。注1序数效用函数不是唯一的，但是都具有如下性质：1.()U xU y的充要条件是：xy 2.()U xU y的充要条件是：xy说明注2在字典序上不存在与字典序相一致的效用函数。2B可以证明在字典序上，不存在序数效用函数。注3B设 是具有偏好关系的有限集，:U BR则存在效用函数使得(1)()()xyU xU y 当且仅当(2)()()xyU xU y 当且仅当B当 只有两个元素时，结论显然成立。12,nx xx设B有n个元素时，定理成立。利用数学归纳法证明注3121111111B111,nkkknknnnxxxknxxxxxxxxx证明 有个
12、元素时定理也成立。不妨假设。如果不存在，使，则必有或者。利用数学归纳法证明注3（续）；，定义如果；，定义如果，定义如果，定义如果现在定义)(U2)U()(U21)U();U()U(21)U();U()U(:)U(1111111111111nnnnnnkknknkknknnxxxxxxxxxxxxxxxxxxx利用数学归纳法证明注3（续）论成立。由数学归纳法，可见结。其中。，当且仅当；，当且仅当）（满足如下条件：，效用函数容易验证，如上定义的1,2,1,)()U()()()U(UnjixxxUxbxxxUxajijijiji1.2 期望效用函数引言在1.1节中，我们讨论了当选择对象是确定的，且满
13、足偏好关系的三条性质（序保持性、中值性和有界性）的条件下，序数效用函数的存在性定理。本节将把效用概念推广到选择对象包含不确定（风险）的情形。假设投资者在形如下面的“彩票”中选择，收益（盈利或奖金数额）用 表示，对应的概率为12,)nx xx（12(,)np pp1.2.1 彩票及其运算彩票概念：12,.,nnx xx假设随机变量有 个结果，随机变量的概率分布可用向量表示为12=1(,.)0,=1nniiiPp pppp1212 (,;,.)=(,)nnPx xx p pp我们称为彩票（或一次性抽彩）。x P1.2.1 彩票及其运算结论nBR集合 是形如 的彩票构成的集合，它是的凸集P1212(
14、,.)(,)nnp ppq qq把两个概率分布和看作是结果出现的概率不同的两张“彩票”。PQP如果选中 的概率为，选中Q的概率为1-，1122(1),(1),.(1)nnipqpqpq那么得到第 个结果出现的概率等于nR因此，彩票集合是的凸集。1.2.1 彩票及其运算 性质B设 是所有彩票构成的集合，(;)(;)B设，Px PQ=x Q1,0定义复合性抽彩为：1122|(1)(1),(1),.(1)nnpqpqpqPQ可以证明01B1.设、，PQ(1)B；PQ01B2.设、，PQ(1),10则；PPPPQP1.2.1 彩票及其运算性质01B3.设、，PQ(1)(1)则；PQQP12301B4.
15、设、，PQ则133122(1)(1)(1)PQPQ13121312(1)(1(1)PQ1.2.2 彩票集合上的偏好关系B又假设 中元素定义满足如下条件的偏好关系 具有1B（）（返身性）任意，有。PP P2（）（可比较性）对任意,B,则或者，或者。P QP QQ P1231223133,BP（）（传递性）对任意，如果，则。P P PPPPPP1.2.2 彩票集合上的偏好关系性质1（保序性）B对任意，设，0，1，则PQPQ(1)1（)PQPQ的充要条件是。1.2.2 彩票集合上的偏好关系123123,B设，P P PPPP0,1则存在唯一使213(1)PPP*,B设存在，P QB对任意，P*有。P
16、P Q性质性质2(中值性中值性)性质性质3(有界性有界性)1.2.3 基数效用函数存在定理定理1.2（基数效用函数存在定理）13B设 具有性质性质 的偏好关系“”，:U BR则存在效用函数满足：1()()UU（）当且仅当；PQPQ301B（）设，PQ(1)()(1)()UUU则。PQPQ2()()UU（）当且仅当；PQPQ定理1.2（基数效用函数存在定理）证明*考虑的情形*PPQQ1220,1,0,1由性质，存在唯一的使*11(1)，PPQ22(1)*QPQ(0,1)对于，则*12121)(1)(1(1)（*PQPQ定理1.2（基数效用函数存在定理）证明（续）由效用函数的构造性定义1212(1
17、)(1)UUU（），（），PQPQ即(1)()(1)()UQUU QPP证毕。定理1.2（基数效用函数存在定理）（3）的推广推广到n个彩票相加的情形101,niii设，,.,12nBP PP1111212(,.),(,)nnnnnpppppp1nPP1niiB容易证明，而且iP11()()nniiiiUUiiPP由效用函数的定义可见，上面定义的效用函数不唯一。1.2.3 基数效用函数存在定理命题1.113B设 具有性质性质，BRU：和W:BR是关于偏好序“”的两个效用函数，1.2123它们都是具有定理的性质（）、（）、（）的效用函数，0abPB则存在实数和实数 使对任意，有 WaUbPP1.2
18、.3 基数效用函数存在定理命题1.1证明令W()W()a，*PQ*WbQ0,aPB则对任意*且时有唯一的PPQ0,1使*(1)U，且（）PPQP由定理1.2，效用函数U满足定理1.2的性质(3)，于是1.2.3 基数效用函数存在定理命题1.1证明续*W()W(1)PPQ*W()(1)W()PQ*()W()W()WPQQ U()ababP因此，在不考虑正仿射变换情况下，这一类效用函数是唯一的，称它为基数效用函数。1.2.4 von Neumann-Morgenstren效用函数针对离散的有限状态针对离散的有限状态这时把选择集看成所有输出的概率分布律组成的集合12,.nBx xx设选择集 中的彩票
19、 是有n个输出P12(,.)nX 且状态概率分布律为的随机变量，1212):,01nnBx xx函数（，()0iix使得且1()1niix1.2.4 von Neumann-Morgenstren效用函数针对离散的有限状态iiXx设是仅在 处取值的退化随机变量，(0,0,0;0.1,0,.,0)iiiex第 个，ieB显然11()()=()=()nniiiiiiU XUp U ep V xEV X（）P为方便，定义)(),)iiiiV xU eV xx（即（是彩票在确定输出下的效用值。则1.2.4 von Neumann-Morgenstren效用函数针对连续的状态空间BRXB当选择集 是仅由
20、具有连续状态取值于实数集 的随机变量（如股票）组成时，也可将 定义为()XBXFx所 有 随 机 变 量的 概 率 分 布nXX并假设依分布收敛于，,nXXFFB其中lim()(),nXXnU FU F那么记1.2.4 von Neumann-Morgenstren效用函数针对连续的状态空间,R ()0,()10,()1.xxxxxx PxPxyxFyyx 记仅在 处取值的退化随机变量为也可看成具有连续状态取值于实数集 的随机变量，只是此时其概率分布律和概率分布函数分别为1.2.4 von Neumann-Morgenstren效用函数针对连续的状态空间0()1xyxFyyx()XFyB则，(
21、)()():xV xU FV xXxU BR定义，即是当 取确定状态值 的效用水平。我们不加证明地给出，存在效用函数，使得)()()()(xVExdFxVXU1.2.4 von Neumann-Morgenstren效用函数定理1.3BRRXUBR当选择集 是仅由以（或 的有限离散子集）为状态空间的随机变量 组成时，存在效用函数：，使得()()()()U XV x dF XE V X V xXx其中，是对应于 取确定状态 值的效用值，V x称为冯 诺伊曼-摩根斯顿（Von Neumann-Morgenstern)效用函数。1.2.5 伯瑞特率问题：假设资产市场上的所有投资者都具有冯.诺依曼莫根
22、斯坦效用函数，但效用函数的具体形式可以不一样，是否存在一个基于效用的度量，它能够用来对所有具有不同效用的个体进行共同的比较呢？伯瑞特（Pratt）回答了这个问题。1.2.5 伯瑞特率定义假设投资者具有von Neumann-Morgenstern效用函数，给定von Neumann-Morgenstern效用函数V(x),:RRh定义Pratt率A xVhxVxVhxVhxVxAh21.2.5 伯瑞特率命题1.2hPrattA率对于正仿射变换是不变的。证明：()G rarb设为一正仿射，),von NeumannMorgensternG V x由此定义的效用函数为（其Pratt率为 ()222
23、 hhG xG V x hG V x hG V xGV x hGV xa V x hV x hV xV x hV x hV xA xV x hV xa V x hV x1.2.5 伯瑞特率命题1.2 V x如果是两次连续可微的，可以证明)()()()()(2)()(lim/lim200 xVxVhhxVhxVxVhxVhxVhxAhhhh 定义为对风险厌恶程度的度量，称为定义为对风险厌恶程度的度量，称为Arrow-Pratt风险厌恶风险厌恶测度或者绝对风险厌恶。测度或者绝对风险厌恶。1.3 投资者的风险类型及风险度量 1.3.1 投资者的风险类型引例PB考察抽彩或者赌博，12,h h设只有两种
24、状态，1,hp状态 出现的概率为21-hp状态 出现的概率为，1210php h而且，0假设投资者的初始财富为，不妨设为单位资产。若投资者不参加赌博，)V0他的效用值为（。如果投资者参加赌博，赌博后的财富发生变化，1.3.1 投资者的风险类型引例01,ph以概率 变化为21-ph0以概率变化为。设赌博是公平的，0120(),p whh0（1-p)(1210php h因为，120,hh不妨设 von NeumannMogernsternV x设效用函数为，则投资者参加赌博的期望效用函数为)()1()(2010hwVphwpV1.3.1 投资者的风险类型引例1（）如果投资者厌恶风险，有001020
25、102()()(1)()()(1)()V wV p whp whpV whp V wh von NeumannMogernsternV x可见投资者的效用函数为凹函数。()0,)0,VxVx如果V(x)二次连续可微（对一般的风险资产 有)()(wVEwEV则称投资者为风险厌恶型。1.3.1 投资者的风险类型引例2（）如果投资者愿意参加赌博，则应有001020102()(1)()()(1)()V wV p whp whpV whp V whV此时 是凸函数。()0,()0,VxVx满足w 对一般的风险资产，有)()(wVEwEV称投资者为风险爱好型。1.3.1 投资者的风险类型引例3（）如果投资
26、者认为参加赌博前后的财富是一样的，故00102()(1)()V wpV whp V whV此时，效用函数 是线性函数，称投资者为风险中性的。()=()V EwE V w1.3.2 马科维茨风险溢价基本概念0(,)w h设满足下列条件),(00hwwV)()1()(2010hwVphwpV更一般地)()(wVEwwEV0wwh其中。0(,)w h则称为马科维茨风险溢价。1.3.2 马科维茨风险溢价基本概念0(,)w h若越大，表明越厌恶风险。称00(,)w h或者)()(wwE为确定性财富。01ywh设，02xwh，x用下图中的 作为确定性等价财富，0wx为马科维茨风险溢价。1.3.2 马科维茨
27、风险溢价0w 02()V wh0()V w0()()E V whE V w01()V wh001wh0w02whX()V 1.3.2 马科维茨风险溢价例1.1()lnV xx设投资者的效用函数，010w 初始财富为，w 0.80.2530则10302.058.0wE()ln102.3V Ew 97.130ln2.05ln8.0)(wVE1.3.2 马科维茨风险溢价例1.10(,)()1.97V Eww hE V w由0(,)7.17Eww h确定性等价财富0(,)107.172.83w h所以马科维茨风险溢价1.3.3 阿罗-伯瑞特（Arrow-Pratt)绝对风险厌恶函数马科维茨风险溢价和效
28、用函数之间的关系由风险溢价的定义)()(wVEwwEV等号的左边写为()()()()()()1.3.6V E wwV E wV E wwow（）V wE w把在（）展开，得1.3.3 阿罗-伯瑞特（Arrow-Pratt)绝对风险厌恶函数马科维茨风险溢价和效用函数之间的关系22()()()()()1.3.82VE wE V wV E wwwE w（）22 1.3.72V wV E wVE wwE wVE wwE wo wE w（）式（1.3.7）两边取期望，得22()()()()()1.3.82VE wE V wV E wwwE w（）1.3.3 阿罗-伯瑞特（Arrow-Pratt)绝对风险
29、厌恶函数()()()()()()1.3.6V E wwV E wV E wwow（）22()()()()()1.3.82VE wE V wV E wwwE w（）()()V EwwE V w由风险溢价的定义：，有式（1.3.6）和式（1.3.8）右端相等，推出1.3.3 阿罗-伯瑞特（Arrow-Pratt)绝对风险厌恶函数马科维茨风险溢价和效用函数之间的关系 21.3.92VE wwwVE w（）1.3.3 阿罗-伯瑞特（Arrow-Pratt)绝对风险厌恶函数()()()V()V()0()0VxA xVxA x称=为阿罗 伯瑞特绝对风险厌恶函数。对于小的风险来说，绝对风险厌恶是投资者风险厌
30、恶倾向的一种度量。投资者的绝对风险厌恶越大，所要求的风险补偿就越大；反之亦然。绝对风险厌恶实际上度量了效用函数的曲率性质。投资者是风险厌恶的，是凹函数，则。所以，一定有绝对风险厌恶，当然也就有风险溢价非负。很显然，要风险厌恶者承担风险，必须提供风险补偿。相对风险厌恶 1()T xA x称为风险容忍函数。()()R xxA x称为相对风险函数。反变化。发生多少个百分点的相时，发生一个百分点的变化即财富变化的负弹性，对财富化率实际上是效用函数的变所以，义：，以便理解它的经济涵把这个式子作如下变形VxxVxRxdxVVdxVxxVxRxVxxVxxAxR )()()()()()()()(1.3.4
31、双曲绝对风险厌恶函数（HARA）称形如1()()01rraxV xbbrr，的函数为双曲绝对风险厌恶函数。1,1raxVxabr 221raxVxabr 因此 1111VxaxxbA xabVxrra 是一条双曲线，因此称这类函数为绝对双曲风险厌恶函数。1.3.4 双曲绝对风险厌恶函数（HARA）其风险容忍函数为 11bT xxra（1）当r=1时，则 V xax是线性函数，是风险中性者的效用函数。21(2)22rV xbax 当时，则是二次效用函数。一般写成 20V xxaxa，1.3.4 双曲绝对风险厌恶函数（HARA）(3)1,axbrV xe 当时，则是指数效用函数。A xa容易验证，
32、具有常绝对风险厌恶特征。41,0rxrbV xr（）当时，为幂效用函数，有 1T xr 而且有它具有常相对风险厌恶和递减绝对风险厌恶。1.3.4 双曲绝对风险厌恶函数（HARA）151,0,0ln1rrxabrxrr（）当时，这是对数效用函数，它是等弹性边际效用函数 1Vx xR xVx 1.4 均值方差效用函数 1.4.1 资产的收益率1,nn在金融市场中，设有个交易时点，记0,1，ttP时点 金融资产的价格用 来表示，t称 期价格。1tt 也表示从时刻 到时刻到来之前金融资产的价格。资产收益绝对收益百分比收益绝对收益概念111ttttttPP假如从时点 到时点没有红利支付，那么从时点 到时
33、点的绝对收益为注：绝对收益是一个描述收益大小的概念，它不能更合理 地比较不同资产收益的大小。百分比收益概念1tt 假设从时点 到时点没有红利支付，,ttP时点 的价格为11,ttP时点的价格为1tt则该资产从时点 到时点的tR百分比收益（也称单位净收益）为111ttttttPPPRPP资产总收益概念11tR而称为资产总收益，即单位净收益加上成本。ttkkt+k假设从时刻 到时刻期共有 个时期，那么从时刻t到时刻t+k期的总收益用1+R表示，则由定义1211111(1)(1)(1)t kttt kt kttt ktttt kPPPPRRRRPPPP 注：资产总收益是某一个时期从期末到期初的收益，
34、与时间 的跨度有关。年平均收益概念1,t kttkkR假设从期到期 年的收益为(),(),tkR kkt假设 年的收益为年平均收益记为R则1()11ktt kR kR如果每一个时期收益都很小，则有1()tt kR kRk连续复合收益概念tr连续复合收益 定义为ln(1)ttrRln,ttpP令则有ttttttttppPPPPRr111lnlnln)1ln(ln(1),t kt krR考虑多期连续复合收益则111111ln(1)ln(1)ln(1)kkt kt kt it ittt kiirRRRrrr 1.4.2 均值方差效用函数均值方差效用函数定义X设有某种金融资产，(,)v x y如果存在
35、二元函数，使其效用函数()()(),var()1.4.6U RE V Rv E RR（）1(),var()0v E RR，2(),var()0v E RR()E V R则称均值方差效用函数。1.4.2 均值方差效用函数V XXV XE V X如果（）是二次函数或 服从正态分布，（）可展开成泰勒级数，则（）是均值方差的函数。V XE X推导：如果（）可在（）展开为泰勒级数，即2)(!21)()()(EXXEXVEXXEXVEXVXV()31()()1.4.7!jjjVEXXEXj（）均值方差效用函数性质均值方差效用函数性质1.4.2 均值方差效用函数V RR如果（）是 的二次函数，1.4.7则式
36、（）的第四项为零。此时，式（1.4.7）两边取期望值，得21()()()()()()2!E V RV ERV ER E RERVER E RER1()()var2V ERVERR()var()E V RERR此时，可表示为和的函数。均值方差效用函数性质均值方差效用函数性质1.4.2 均值方差效用函数1.4.7式（）两边取期望得()311()()()var()()2!jjjE V RV ERVERRVER E RERjR如果 服从正态分布，由正态分布的性质，()0jjE RER当 为奇数时，222!(var)()()()!2jjjjjRjE RER当 为偶数时，()var()E V RERR此时
37、，可表示为和的函数。均值方差效用函数性质均值方差效用函数性质1.5 随机占优 1.5.1 随机占优准则（SD准则）第一类投资者第一类投资者一阶随机占优准则一阶随机占优准则()0Vx第二类投资者二阶随机占优准则二阶随机占优准则1.5.2 一阶随机占优AB如果所有具有连续递增效用函数的投资者对资产 的偏好胜过对资产 的偏好，我们称资产A一阶随机占优于资产B，记为FSDAB定理1.4定理1.4()ABABFxF xABRR设、（分别是资产 和资产 的收益率和的分布函数，,a b其定义域为，)ABFSDABFFx则的充要条件是（x)（。定义定义性质性质定理1.4证明必要性FSDAB首先证明若，()AB
38、FxF x则（。反证法，若不然，0,x存在实数00()()ABFxFx使，由分布函数的右连续，0cx存在，使()(),ABFxFx0,xx c0,()()xx caV xIt dt令，00,0,1 ,0 x ctx cIttx c其中定理1.4证明必要性 0,x cIt由的可积性，0,0 x c及I，()V x可知是连续的，递增的，且 0,()0 x cV xIx于是0)()()()()()()()()()()()()()()()(0dxxFxFdxxVxFxFxdVxFxFabxFxFxVxFxFdxVRVERVEcxBAbaBAbaBABAbaBABA定理1.4证明充分性因为dxxVxFx
39、FdxxVxFabxFxVdxxVxFabxFxVxdFxVxdFxVRVERVEbaBAbaBAbaAAbabaBABA)()()()()(|)()()()()()()()()()()()()ABFxF x由假设（),()V x又递增，()0V x ，因此()()ABE V RE V R，FSDAB即1.5.3 二阶随机占优定义ABBSSD如果对所有具有连续递增效用函数的厌恶风险的投资者偏好资产 胜过偏好资产，则称风险资产A二阶随机占优于资产B，记为A。性质1.5SSDAB定理的充要条件是S(x)0,其中()()()xABaS xF tF t dt,bax定理1.5证明必要性)0,SSDAB
40、S y设证（()S x若不然，由的连续性，存在,a b，()0S x 使，,x 当令,()()xbayV xIt dtdy ()V 容易验证是连续可微、单调递增且是凹函数，而且定理1.5证明-必要性续1,()()0bxxV xIt dtxxx 当当当()()0VxIx 于是()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()0,()0)()()()()()ABbABabbABaABabABababbaabbaaE V RE V RV x d FxFxV xFxFxFxFx dV XFxFx Vx dxVx dS xS x VxS x dVxS aVbS x dV
41、xS x vx dxS x 0dxSSDAB与相矛盾，()0S x 所以。定理1.5 充分性证明()0S x 设，有()()()()()()()()()()()()()()bbABaabbABaabaV x dFxV x dFxbV x d FxFxS x V xS x dV xaS x dV xS b V b)0,()0,()0,()0,S xV bS bVx由假设（所以)()(BARVERVESSDAB即。风险关系A和B的收益率()Afz()Bfz()f z0z图图1.3 风险关系风险关系A和和B的收益率的密度函数的收益率的密度函数1.6 单期无套利资产定价模型 内容提要1.6 单期无套利
42、资产定价模型1.6.1 单期确定性无套利定价模型1.6.2 单期不确定性无套利定价模型套利机会单期确定性定价模型单期确定性定价模型两种资产两种资产多种资产1.6.1 单期确定性无套利定价模型,iNi设投资于资产X的数量为0,iiNN如果表示买入数量，0iN=假设，。1.6.1 单期确定性无套利定价模型()()0000,1,2,iiiniiiN P xwinN P x=L L（）()0101,nTiniww ww满足称为投资组合。而资产组合不满足这个归一性条件。=w1.6.1 单期确定性无套利定价模型如果存在满足下列条件的资产组合，则有套利机会：001()()nniiiiiiPN XN P X=
43、邋（）()0020niiiN P X=（）()100niiiN P X=且()0030niiiN P X（）=()100niiiN P X=且1.6.1 单期确定性无套利定价模型如果市场不存在套利机会，则称市场为无套利市场。如果资产市场不存在任何套利，价格函数存在如下性质：001()()nniiiiiiPN XN P X=邋（）()1020niiiN P X=（）如果，00()0niiiN P X那么=1.6.1 单期确定性无套利定价模型分的，令而且假定资产是无限可和卖空限制，无任何交易成本、税收无摩擦市场：假设市场()()()100iiiiP XP XRP X-=0,1,in=iX称为资产的
44、收益率（百分比收益率）。1.6.1 单期确定性无套利定价模型设资本市场不存在套利机会，定理定理1.612(,)TnN NN资产组合满足()000niiiN P X=()01,nNNNL L则资产组合的收益率为()()000,niiiiiiiiN P XwRwN P X=其中定理1.6证明()01,nNNNL L资产组合的收益率为1000001.6.6nniiiiiiniiiPN XPN XPN X=骣骣鼢珑-鼢珑鼢鼢珑桫桫骣桫邋（）1100()()1.6.7nniiiiiiPN XN P X=邋（）0000()1.6.8nniiiiiiPN XN P X=骣=桫邋（）因为市场不存在套利机会，所
45、以定理1.6证明续()()()()()()()10000010000nniiiiiiniiiniiiiniiiN P XN P XN P XNP XP XN P X=-=邋投资组合的收益率为定理1.6证明续()()()()()10000000niiiiniiiiiniiiP XP XN P XP XN P Xw R=-=其中其中()()()100iiiiP XP XRP X-=证毕证毕1.6.1 单期确定性无套利定价模型单期资产定价问题：是已知时刻是已知时刻1资产的价格，确定时刻资产的价格，确定时刻0资产的价格。资产的价格。1.6.1 单期确定性无套利定价模型1.7定理套利定价定理（GAPT）
46、设资本市场无套利机会，则2.单期确定性定价模型单期确定性定价模型0 11.6.10ijRRin，（）=证明证明定理1.7 套利定价定理证明不妨设01.6.10fRR=设，式（）等价于()()100,1,(1.6.11)1iifP XP XinR=+01in若存在，()()00101iifP XP XR使，+()()00101iifP XP XR+定理1.7 套利定价定理证明续构造一个资产组合：0该资产投资组合在时刻 的价格为1而在时刻 的价格为这是一个套利机会，矛盾。证毕。()001iNP X令，=()010iNP X，=-000,(1.6.12)iNii=，()()()()001011000
47、1iifP XP XP XP XR-+()()()()001101010iiP XP XP XP X-=1.6.2 单期不确定性无套利定价模型设有两种资产，1X风险资产记为，0X无风险资产记为。,fR无风险资产的收益率记为1.两资产情形两资产情形1fR+总收益率记为。01()PX01()uPXq1q-01()dPX1fdRu，否则会出现套利机会。+1.6.2 单期不确定性无套利定价模型1110基本证券，在时刻，上涨状态时价格为，下跌状态时价格为；基本证券2，上涨状态时价格为0，下跌状态时价格为1。两种基本证券两种基本证券构造资产组合：构造资产组合：01()1uP X 基本证券，01()2dP
48、X 基本证券。则无论是上涨还是下跌，资产组合的价值都和风险资产的价格一样。则无论是上涨还是下跌，资产组合的价值都和风险资产的价格一样。1.6.2 单期不确定性无套利定价模型基本证券的定价公式10,u设基本证券 在时刻 的价格为20d基本证券 在时刻 的价格为。010101()()()udP XuP XdP X11.6.13udud（）11.6.141udfR（）(1)(1)()fufRdRud(1)(1)()fdfuRRud基本证券的定价公式（续）(1)fRdpud令，(1)1fuRpud则，那么1ufpR，11.6.161dfpR（）1.6.161.6.13把式（）代入到式（），10X资产在
49、时刻 的价格可表示为010101()(1)()()1.6.171fpuP Xp dP XP XR（）基本证券的定价公式（续）010101()(1)()()1.6.171fpuP Xp dP XP XR（）11101,1),1)1,1)XXppppXqpp上式说明：风险资产在时刻 的价格为资产在时刻 的价格（随机变量）对于概率分布（取期望值，然后再折现，而概率分布（与资产在时刻 上涨，下跌的概率 无关。它是由上涨下跌的倍数和无风险利率确定。其中的（为风险中性概率，在风险中性的环境下，金融资产的定价是未来收入现金流的预期值用无风险利率折现后的现值。基本证券的定价公式举例1100X假设资产在时刻0的
50、价格为，1在时刻 的价格为1001212107982%fR 无风险利率，1.070.98,ud则此时，1.020.980.4357,1.02(1.070.98)u1.07 1.020.54471.02(1.070.98)d基本证券的定价公式举例（续）10X而在时刻 的价格为01()0.4357 1070.5447 98100uAdAP XuPdP2X设有证券，其价格为02()P X10398.502()0.4357 1030.5447 98.598.53P X则1.6.2 单期不确定性无套利定价模型2.n种资产情形种资产情形n假设有 种资产，1l每种资产在时刻 的价格是有限状态（个状态）离散分
