1、1第二部分第二部分数值计算方法数值计算方法2.1 2.1 插值插值2一、序言一、序言 数据分析与处理是日常生活中的常见问题。数据分析与处理是日常生活中的常见问题。一般来讲：一般来讲：从被处理的数据有无随机性来分，可分为确从被处理的数据有无随机性来分，可分为确定性数据量处理和随机性数据处理。定性数据量处理和随机性数据处理。从被处理数据量的大小来分，可分为海量数从被处理数据量的大小来分，可分为海量数据量处理、一般据量处理、一般量量数据处理。数据处理。本节讨论确定性、一般数据量本节讨论确定性、一般数据量的的处理处理插插值。值。3一、序言一、序言 C919 C919是中国继运是中国继运-10-10后自
2、主设计的第二款国后自主设计的第二款国产大型客机，于产大型客机，于20062006立项。计划在立项。计划在20142014年底首年底首飞；计划在飞；计划在20162016年取得适航证并交付用户。年取得适航证并交付用户。中国第二款国产大飞机（中国第二款国产大飞机（C919C919）4xy机翼下轮机翼下轮廓线廓线引例引例 已知飞机下轮廓线上数据如下已知飞机下轮廓线上数据如下,求求 x 每每改变改变0.1个单位个单位时的时的 y 值。值。x035791112131415y01.2 1.7 2.0 2.1 2.0 1.8 1.2 1.0 1.6如何解决？如何解决？5构造一个相对简单的连续函数构造一个相对
3、简单的连续函数f(x)通过全部节点通过全部节点),1,0(,)(njyxfjj 再用再用f(x)计算插值，即计算插值，即).(*xfy 0 x1xnx0y1y*x*y解决办法解决办法插值插值即即0y0 x1x1y6 插值过程中需要构造一个插值过程中需要构造一个相对简单相对简单的函数的函数f(x)通过全部节点。通过全部节点。什么样的函数比较简单呢？什么样的函数比较简单呢？多项式多项式插值问题基本提法：插值问题基本提法：寻求一个寻求一个次数尽可能低次数尽可能低的多项式，满足条件：的多项式，满足条件：(1),1,0(,)(njyxPjj 次数尽可能低次数尽可能低保证多项式是惟一的。保证多项式是惟一的
4、。？二、如何插值二、如何插值7 从几何上看，就是从几何上看，就是寻求一个最低次的多寻求一个最低次的多项式，其几何曲线通项式，其几何曲线通过给定的个点过给定的个点.0 x1xnx0y1y*x*y)(xP 如果多项式如果多项式P(x)存在，则称为的存在，则称为的插值多项式插值多项式,x0 x1.xn称为称为插值节点插值节点(简称简称节点节点),),x0，xn 称为称为插值区间插值区间，条件，条件(1)(1)称为称为插值条件插值条件，f(x)称为称为被插值函数被插值函数.三、插值问题的基本概念三、插值问题的基本概念如何求如何求P P（x x）？）？8 nnnnnnnnnyxaxaayxaxaayxa
5、xaa101111000010则则由插值条件：由插值条件：P(x0)=y0P(x1)=y1P(xn)=ynnnjxaxaxaaxP .)(2210解法一：解法一：系数矩阵对应于系数矩阵对应于范德蒙行列式范德蒙行列式不足：不足：1 1、该方程组难于求解、该方程组难于求解.2 2、当数据改变时，需要重新求解、当数据改变时，需要重新求解.9)()(001010 xxxxyyyxL 过两点直线方程过两点直线方程求满足求满足:L(x0)=y0,L(x1)=y1的线性函数的线性函数 L(x)已知函数表已知函数表 x x0 x1 P(x)y0 y1一次插值问题一次插值问题解法二之探讨：解法二之探讨：0 x0
6、y1x1y1001010110)(,)(xxxxxlxxxxxl 记记00111010)(yxxxxyxxxxxL 对称形式对称形式)()(001010 xxxxyyyxL 0 x1x11l0l1101010110)(,)(xxxxxlxxxxxl 记记当当 x0 x x1 时时 0l0(x)1,0l1(x)1 x x0 x1l0(x)1 0l1(x)0 11100)()()(yxlyxlxL 0 x1x11l0l基函数基函数12 x x0 x1 x2 f(x)y0 y1 y2已知函数表已知函数表求函数求函数 L(x)=a0+a1x+a2 x2 满足满足:L(x0)=y0,L(x1)=y1,L
7、(x2)=y2L(x)=l0(x)y0+l1(x)y1+l2(x)y2，二次插值问题二次插值问题解法二之探讨：解法二之探讨：13)()()(2010210 xxxxxxxxxl 二次插值函数二次插值函数:L(x)=l0(x)y0+l1(x)y1+l2(x)y2，xx0 x1x2l0(x)1 0 0l0(x)1 0 0l1(x)0 1 0l2(x)0 0 1L(x)y0 y1 y2 x x0 x1 x2)()()(2101201xxxxxxxxxl )()()(1202102xxxxxxxxxl 14例例 二次插值基函数图形二次插值基函数图形00.51-0.500.5100.51-0.500.5
8、100.5100.51取取 x0=0,x1=0.5,x2=100.51-0.500.51l0(x)=2(x 0.5)(x 1);l1(x)=4 x(x 1);l2(x)=2(x 0.5)x15 已知函数已知函数f(x)在在n+1个点个点x0,x1,xn处的函数处的函数值为值为 y0,y1,yn。求一求一n次多项式函数次多项式函数Pn(x)，使其满足：使其满足：Pn(xi)=yi,i=0,1,n.一般情形一般情形四、拉格朗日四、拉格朗日(Lagrange)插值插值16称为称为拉格朗日插值基函数拉格朗日插值基函数。niiinyxLxP0)()(解此问题的拉格朗日插值多项式公式如下解此问题的拉格朗日
9、插值多项式公式如下其中其中Li(x)为为n次多项式：次多项式：)()()()()()()(11101110niiiiiiiniiixxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxL 四、拉格朗日四、拉格朗日(Lagrange)插值插值17 拉格朗日多项式插值的这种振荡现象叫拉格朗日多项式插值的这种振荡现象叫 RungeRunge现象现象(龙格龙格)如何解决？如何解决？分段插值分段插值55,11)(2 xxxg 采用拉格朗日多项式插值：选取不同插值节点采用拉格朗日多项式插值：选取不同插值节点个数个数n+1+1，其中，其中n为插值多项式的次数，当为插值多项式的次数，当n分别分别取取2,4,6,8,102
10、,4,6,8,10时，绘出插值结果图形时，绘出插值结果图形.例例2.118 xjxj-1xj+1x0 xnxoy)()(0 xLyxLnjjjn 五、分段线性插值五、分段线性插值110001010110)()()(,)(yx+lyx(x)=lLxxxxxlxxxxxli 1966,11)(2 xxxg用分段线性插值法求插值用分段线性插值法求插值,并观察插值误差并观察插值误差.例例2.1续续(I)20,1,),()(1nixxxxsxSiii 六、三次样条插值简介六、三次样条插值简介构造函数构造函数0p1p2p3p),1(,)()223nidxcxbxaxsiiiii 满足如下条件：满足如下条件
11、：,)()102nxxCxS 3)恰当边界条件恰当边界条件.2166,11)(2 xxxg用三次样条插值选取用三次样条插值选取11个基点计算插值个基点计算插值例例2.1续续(II)22对于引例对于引例 已知飞机下轮廓线上数据如下已知飞机下轮廓线上数据如下,求求 x 每改变每改变0.1个单位个单位时的时的 y 值。值。x035791112131415y01.2 1.7 2.0 2.1 2.0 1.8 1.2 1.0 1.62324252627282930拟拟 合合一、拟合问题引例一、拟合问题引例二、二、曲线拟合的基本概念曲线拟合的基本概念三、线性三、线性曲线拟合曲线拟合四、非线性四、非线性曲线拟
12、合曲线拟合31温度温度t(0C)20.5 32.7 51.0 73.0 95.7电阻电阻R()765 826 873 942 1032例例1.1.已知热敏电阻数据已知热敏电阻数据：求求60600C时的电阻时的电阻R。一、拟合问题引例一、拟合问题引例322040608010070080090010001100作出例作出例1 热敏电阻数据的图形：热敏电阻数据的图形：33例例2.2.已知一室模型快速静脉注射下的血药浓度已知一室模型快速静脉注射下的血药浓度数据数据(t t=0=0 注射注射300mg)300mg)求血药浓度随时间求血药浓度随时间的变化规律的变化规律c c(t t).).一、拟合问题引例
13、一、拟合问题引例 t(h)0.25 0.5 1 1.5 2 3 4 6 8c(g/ml)19.21 18.15 15.36 14.10 12.89 9.32 7.45 5.24 3.0134 已知一组已知一组(二维二维)数据，即平面上数据，即平面上n个点个点(xi,yi),i=1,n.寻求一个函数寻求一个函数(曲线曲线)y=f(x),使使 f(x)在在某种准则下与所有数据点最为接近某种准则下与所有数据点最为接近,即曲线拟合即曲线拟合得最好。得最好。+xyy=f(x)(xi,yi)i i 为点为点（xi,yi)与与曲线曲线 y=f(x)的距离的距离二、二、曲线拟合的基本概念曲线拟合的基本概念35
14、拟合与插值的关系拟合与插值的关系问题：问题：给定一批数据点，需确定满足特定要求的给定一批数据点，需确定满足特定要求的曲线或曲面。曲线或曲面。解决方案：解决方案：若不要求曲线若不要求曲线(面面)通过所有数据点通过所有数据点,而是要求它而是要求它反映反映对象整体的变化对象整体的变化趋势趋势,这就是这就是数据拟合数据拟合,又称又称曲线拟合或曲面拟合。曲线拟合或曲面拟合。若要求所求曲线若要求所求曲线(面面)通过通过所给所有所给所有数据点数据点，就，就是是插值问题插值问题；36实例：实例：下面数据是某次实验所得，希望得到下面数据是某次实验所得，希望得到x和和 f 之间的关系？之间的关系？拟合与插值的关系
15、拟合与插值的关系x1 12 24 47 79 91212131315151717f1.51.5 3.93.9 6.66.6 11.711.7 15.615.6 18.818.8 19.619.6 20.620.6 21.121.137最临近插值、线性插值、样条插值与曲线拟合结果：最临近插值、线性插值、样条插值与曲线拟合结果：38已知数据表已知数据表 x x1 x2 xmf(x)y1 y2 ym求拟合函数求拟合函数:(x)=a+b xa+b x1=y1a+b x2=y2a+b xm=ym三、线性三、线性曲线拟合曲线拟合超定方程组超定方程组简单数据拟合简单数据拟合(二个参数二个参数)39求解该拟合
16、问题求解该拟合问题最小二乘解最小二乘解记记 212112)()(),(iimiimimiiiyxbayxbaJ 对对J分别求关于分别求关于a,b的偏导数的偏导数,并令其等于零。并令其等于零。得线性方程组如下：得线性方程组如下：(1)40 miiiimiiixbxaybxay110)(2,0)(2得线性方程组如下：得线性方程组如下：整理得正规方程整理得正规方程(组组)：miiimiimiimiimiiyxxbxayxbma112111,一元线性拟一元线性拟合模型参数合模型参数计算公式计算公式(2)21)(),(iimiyxbabaJ 41 第一步第一步:先选定一组函数先选定一组函数 r1(x),
17、r2(x),rn(x),nm,令令 f(x)=a1r1(x)+a2r2(x)+anrn(x)其中其中 a1,a2,an 为待定系数。为待定系数。第二步第二步:确定确定a1,a2,an 使使m个点个点(xi,yi)与与曲线曲线y=f(x)的距离的距离 i 的平方和最小的平方和最小。三、线性三、线性曲线拟合曲线拟合离散数据的一般线性拟合离散数据的一般线性拟合42 为使为使m个点个点(xi,yi)曲线曲线y=f(x)的距离的距离 i 的平的平方和最小方和最小。记。记211211221)()(),(iikminkkimimiiinyxrayxfaaaJ 问题归结为问题归结为,求求a1,a2,an 使使
18、 J(a1,a2,an)最小。最小。(3)一般线性拟合求解方法一般线性拟合求解方法43得如下超定方程组得如下超定方程组 )(221111212111mnyarararyarararnmnmnnmm即即 nmnmnnmyyYaaarrrrrrR112111211,其中其中将数据代入将数据代入方程：方程：ni=yxr+a+xr+axraiimmii1,2,.,=,)()()(2211YaR (4)极小问题求解极小问题求解44 线性线性拟合的最小二乘解问题，实际上就是求以拟合的最小二乘解问题，实际上就是求以下超定方程组的最小二乘解的问题。下超定方程组的最小二乘解的问题。数学结论：数学结论：如果有向量
19、如果有向量 使得使得 达到达到最小最小,则称则称 为上述为上述极小化问题的最小二乘解极小化问题的最小二乘解。212211)(imniimiiyararar aa nmnmnmyyYaaaxrxrxrxrR111111,)()()()(其中其中YaR (4)45的解：的解：重要结果：重要结果：定理：定理：当当 可逆时，超定方程组可逆时，超定方程组(4)(4)存在存在最小二乘解，即为方程组最小二乘解，即为方程组RRTY=RaRRTT YRRR=aT-T1)(461.1.通过机理分析建立数学模型来确定通过机理分析建立数学模型来确定 f(x)；+f=a1+a2xf=a1+a2x+a3x2f=a1+a2
20、x+a3x2f=a1+a2/xf=aebxf=ae-bx2.2.将数据将数据(xi,yi)作图作图,通过直观判断确定通过直观判断确定 f(x)：线性最小二乘拟合线性最小二乘拟合 f(x)中函数的选取中函数的选取472040608010070080090010001100温度温度t(0C)20.5 32.7 51.0 73.0 95.7电阻电阻R()765 826 873 942 1032例例1 1续续.已知热敏电阻数据已知热敏电阻数据：解：设拟合函数解：设拟合函数btatf+=)(整理得正规方程组：整理得正规方程组：254744.118578.0344384438,272.95baba求求60
21、600C时的电阻时的电阻R。48温度温度t(0C)20.5 32.7 51.0 73.0 95.7电阻电阻R()765 826 873 942 1032例例1 1续续.已知热敏电阻数据已知热敏电阻数据：求解得到求解得到 a=702.4918，b=3.3940.残差残差303.58)(251512 iiiiiytf 求得求得60600C时的电阻为：时的电阻为：906.02().49即要求出二次多项式即要求出二次多项式:2321)(xaxaaxf 求求),(321aaaA 使得使得:最最小小 )(912 iiiyxf例例3.3.对下面一组数据作二次多项式拟合对下面一组数据作二次多项式拟合xi0.1
22、0.20.40.50.60.70.80.91yi1.9783.286.167.347.669.589.489.3011.250 29921111xxxxR解解:构造构造超定方程组超定方程组计算结果计算结果：=-0.0317 20.1293 -9.8108T 28108.91293.200317.0)(xxxf 此时此时YRA=RRTT 91321,yyYaaaA求解方程组求解方程组51例例1 1续续.已知热敏电阻数据已知热敏电阻数据：解解II：设拟合函数：设拟合函数2321+=)(tataatf 整理正规方程组并求解该方程组，得整理正规方程组并求解该方程组，得a1=707.2841，a2=3.
23、1691，a3=0.0020.即即.002.0.16913+707.2841=)(2tttf 残差残差297.08512 ii 求得求得60600C时的电阻为：时的电阻为：904.55().303.58拟合更拟合更好？好？52四、非线性曲线拟合四、非线性曲线拟合求拟合函数求拟合函数 f(x,c0,c1,cn)满足满足观测数据观测数据min),(1210 miiniycccxf x x1 x2 xm f y1 y2 ym53例例4 4.已知人口统计数据已知人口统计数据利用最小二乘法求指数拟合利用最小二乘法求指数拟合 y=c e p tmin)exp(),(1012 jjjyptccpS年年 19
24、90 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999数量数量 11.43 11.58 11.72 11.85 11.98 12.11 12.24 12.36 12.48 12.58根据表格中数据，建立根据表格中数据，建立拟合模型，并以此来预拟合模型，并以此来预测测20002000年的人口数。年的人口数。马尔萨斯马尔萨斯54非线性拟合非线性拟合指数函数拟合人口统计数据指数函数拟合人口统计数据(单位：亿单位：亿)设设 t 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 ln N 2.44 2.45 2.4
25、6 2.47 2.48 2.49 2.50 2.51 2.52 2.53令令y=lnN,有有btaeN btaN lnbtaty )(线性拟合线性拟合55(3)求超定方程组的最小二乘解求超定方程组的最小二乘解,得得(1)计算对数值计算对数值 yk=ln Nk (k=1,2,10)计算步骤计算步骤：(2)列出未知数列出未知数a、b的超定方程组的超定方程组 a+b t k=y k (k=1，2，10)2000年年预测人口数据预测人口数据:12.6797亿；亿；01.0 ;-17.46 batbxaeey01.0-17.46 tey01.0-8102.6135 相对误差相对误差0.5%12.6743
26、56例例2(2(续续).已知已知血药浓度数据血药浓度数据 t(h)0.25 0.5 1 1.5 2 3 4 6 8c(g/ml)19.21 18.15 15.36 14.10 12.89 9.32 7.45 5.24 3.01作出图形作出图形(左左:原始数据原始数据,右右:半对数坐标系下的图半对数坐标系下的图)57利用最小二乘法求指数拟合利用最小二乘法求指数拟合 y=c e p t例例2(2(续续).血药浓度问题血药浓度问题设设令令y=lnN,有有btaeN btaN lnbtaty )(求超定方程组的最小二乘解求超定方程组的最小二乘解,得得-0.2347.;2.9943 batbtaeey0
27、.2347-2.99437 tey-0.234719.9708 58拟合结果拟合结果59数值积分一、定一、定积分计算中的积分计算中的一些问题一些问题二、数值二、数值积分的基本概念积分的基本概念三、三、插值型求积公式插值型求积公式四、四、高斯型数值求积公式高斯型数值求积公式60定积分基本公式定积分基本公式)()()(aFbFdxxfIba 下面三种情况需要数值积分：下面三种情况需要数值积分：1.1.原函数存在原函数存在,但是不能用初等函数表示出来但是不能用初等函数表示出来;2.2.原函数可以有初等函数表示、但是很复杂原函数可以有初等函数表示、但是很复杂;3.3.被积函数没有表达式被积函数没有表达
28、式,仅仅是一些离散数据仅仅是一些离散数据.一、定一、定积分计算中的积分计算中的一些问题一些问题61 初等函数的原函数不一定是初等函数初等函数的原函数不一定是初等函数,因此因此不一定都能积出不一定都能积出.例如：例如：,d2xex ,dsinxxx,dsin2xx,dln1xx,1d4 xx,d13 xx,)10(dsin122 kxxk611 1、原函数存在，但是不能用初等函数表示出来、原函数存在，但是不能用初等函数表示出来.622、原函数可以有初等函数表示、但是很复杂、原函数可以有初等函数表示、但是很复杂.dxexxxIx 0)2/tan()sin(xexx-xx-xxxxF)2(tan1(
29、2)2(tan1)2(tan23)2(tan1)(2 dxexxxIx 0)2/tan()sin(1)23-(1 e633、被积函数没有表达式，仅仅是一些离散数据、被积函数没有表达式，仅仅是一些离散数据.64hxfSnjjn 1)(定积分与积分和式定积分与积分和式 njjhbahxfdxxf10)(lim)(右矩形和右矩形和h 1 0.5 0.2 Sn 5.2 9 0 8 5.1 0 4 4 4.9835 4.8999 1)(3 xexxf二、数值二、数值积分的基本概念积分的基本概念65数值求积公式的一般形式数值求积公式的一般形式)()(0fRxfAdxxfnkkkba Rf 数值求积公式余项
30、数值求积公式余项x0,x1,xn 求积结点求积结点A0,A1,An 求积系数求积系数66对对 a，b做分割做分割:a x0 x1 x2 xnb njjbajbaxfdxxldxxf0)()()(令令),2,1,0(,)(njdxxlAbajj njjjbaxfAdxxf0)()(Lagrange插值插值三、三、插值型求积公式插值型求积公式)()()()(0 xLxfxlxfnnjjj 67)()()()(0 xLxfxlxfnnjjj 插值型求积公式的余项插值型求积公式的余项 bannbandxxnfdxxLxffR)()!1()()()(1)1(三、三、插值型求积公式插值型求积公式 njjb
31、ajbaxfdxxldxxf0)()()(对对 a，b做分割做分割:a x0 x1 x2 xnb和和Taylor展式展式的余项一样的余项一样68)(210abdxabxbAba )(211abdxabaxAba )()()(bfafabdxxfba2线型插值线型插值01010110)(,)(xxxxxlxxxxxl 00111010)(yxxxxyxxxxxL ab梯形公式梯形公式(一一)、梯形公式、梯形公式69梯形公式的误差梯形公式的误差(余项余项 )()()(bfafabdxxfba2 babadxbxaxfdxbxaxfR)(2)()(2)()()(fabR 123即即ab banndx
32、xnffR)()!1()(1)1(一一)、梯形公式、梯形公式7001234567891000.511.501234567891000.511.501234567891000.511.5左矩形左矩形 梯形梯形 右矩形右矩形4.4429 4.8669 5.29084.6804 4.8924 5.10444.8139 4.8987 4.98354.8572 4.8996 4.94208999.4)(50 dxxfhxfxfSnjjjn 11)()(211)(3 xexxf71)()()(2010210 xxxxxxxxxl )()()(2101201xxxxxxxxxl )()()(1202102x
33、xxxxxxxxl 取取 x0=a,x1=0.5(a+b),x2=b,则则 h=0.5(b a)dxhxxxxAxx 2022102)(dxhxxxxAxx 202201)(dxhxxxxAxx 2021022)(L2(x)=l0(x)y0+l1(x)y1+l2(x)y2(二二)、Simpson 公式公式72取取 x0=a,x1=0.5(a+b),x2=b,则则 h=0.5(b a)A0=(b-a)/6A1=2(b-a)/3A2=(b-a)/6dxhxxxxAxx 2022102)(dxhxxxxAxx 202201)(dxhxxxxAxx 2021022)(babadxxLdxxf)()(2
34、 Simpson 公式公式L2(x)=l0(x)y0+l1(x)y1+l2(x)y2)()2(4)(6bfbafafab (二二)、Simpson 公式公式73定义定义:对不高于对不高于m次的多项式次的多项式P(x),求积公式余项求积公式余项 nkkkbaxfAdxxf0)()(具有具有m阶的代数精确度。阶的代数精确度。且有且有m+1次多项式不具有这样的性质次多项式不具有这样的性质,则称则称0)()(0 nkkkbaxPAdxxPPR(三三)、求积公式的代数精度求积公式的代数精度74例例.梯形公式梯形公式)()()(bfafabdxxfba2代数精度为代数精度为1.1.f(x)xy=x(b-a
35、)/2f(x)x75取等距结点取等距结点xj=a+jh时时,插值型求积公式称插值型求积公式称为为Newton-Cotes公式公式 njjjxfxlxf0)()()(njjjbaxfAdxxf0)()(定理定理:当当n为偶数时为偶数时,n阶阶Newton-Cotes公式至公式至少有少有(n+1)阶代数精确度阶代数精确度.所以所以:Simpson公式具有公式具有3 3阶代数精度阶代数精度.76-4-202401020304050607080插值型求积公式插值型求积公式 )()()(110011xfAxfAdxxf 代数精度为代数精度为3,3,取取 f(x)=1,x,x2,x303202311300
36、211200110010 xAxAxAxAxAxAAA(1)(2)(3)(4)(4)-(2)x02x12=x02(3)-(1)x02x02=1/3 3323)135(dxxxx四、四、高斯型数值求积公式高斯型数值求积公式77代数精度为代数精度为3的数值求积公式的数值求积公式 )()()(313111ffdxxf11222dtabtabfabdxxfba)()()()()(2322322ababfababfabdxxfba对于对于a,b区间上的定积分区间上的定积分,构造变换构造变换22abtabtx)(t-1,131,31 ,1 ,11010 xxAA78 定义定义 如果求积结点如果求积结点x0
37、,x1,xn,使插值型使插值型求积公式求积公式 nkkkxfAdxxf011)()(的代数精度为的代数精度为2n+1,则称该求积公式为则称该求积公式为Gauss型型求积公式求积公式.称这些求积结点为称这些求积结点为Gauss点点.79定理定理 如果多项式如果多项式0)()(111 dxxPxwn则则,wn+1(x)的所有零点的所有零点x0,x1,xn 是是Gauss点点.与任意的不超过与任意的不超过n次的多项式次的多项式P(x)正交，即正交，即)()()()(101n+n xxxx xx=xw 80例例 验证多项式验证多项式 是是1,1上正交多上正交多项式项式.1121112011210)()
38、()()(dxxxwadxxwadxxwxaa3122 xxw)(313110 xx,得得Gauss点点0 112111203131dxxxadxxa 11113111203132xdxdxxadxxa81)()()(313111ffdxxf两点两点Gauss公式公式插值公式插值公式:)()()(10100011xfxxxxxfxxxxxf 1201111011 xxxdxxxxx1201011010 xxxdxxxxx313110 xx,得得Gauss点点 nkkknjjjxfAxfxldxxf0011)()()()(820352133)()(xxxp774506705320.,x01x三点
39、三点Gauss数值求积公式数值求积公式)7745.0(5556.0)0(8889.0)7745.0(5556.0fff Legendre多项式递推式多项式递推式 ,1112,11110 nnnpnnxpnnpxpp)()(132122xxp)()(xxxp352133 11)(dxxf1,1 x83例例.两点两点Gauss公式计算公式计算 10sindxxx解解:变换变换 x=0.5(t+1)11101)1(5.0sinsindtttdxxx57735.0311 t取取57735.0310 t)1(5.0)1(5.0sin)1(5.0)1(5.0sin21sin110010 ttttdxxx 较准确值较准确值 0.94608307036718Simpsion三点公式三点公式 0.94614588227359 Gauss两点公式两点公式 0.9460411368978200.511.522.500.51
