1、统计软件分析与应用线线 性性 代代 数数 A2.7 线性方程组的解，习题课线性方程组的解，习题课 .01nARxAnnm 矩矩阵阵的的秩秩的的充充分分必必要要条条件件是是系系数数有有非非零零解解元元齐齐次次线线性性方方程程组组定定理理一、线性方程组有解的判定条件的解的解讨论线性方程组讨论线性方程组的秩，的秩，和增广矩阵和增广矩阵如何利用系数矩阵如何利用系数矩阵bAxBA 问题：问题：证证必要性必要性.,nDnAnAR阶非零子式阶非零子式中应有一个中应有一个则在则在设设 ,根据克拉默定理根据克拉默定理个方程只有零解个方程只有零解所对应的所对应的 nDn从而从而有非零解，有非零解，设方程组设方程组
2、0 Ax统计软件分析与应用线线 性性 代代 数数 A2.7 线性方程组的解，习题课线性方程组的解，习题课这与原方程组有非零解相矛盾，这与原方程组有非零解相矛盾，.nAR 即即不能成立不能成立nAR)(充分性充分性.,nrAR 设设.个自由未知量个自由未知量从而知其有从而知其有rn-任取一个自由未知量为，其余自由未知量为，任取一个自由未知量为，其余自由未知量为，即可得方程组的一个非零解即可得方程组的一个非零解 .个非零行，个非零行，的行阶梯形矩阵只含的行阶梯形矩阵只含则则rA统计软件分析与应用线线 性性 代代 数数 A2.7 线性方程组的解，习题课线性方程组的解，习题课证证必要性必要性,有解有解
3、设方程组设方程组bAx ,BRAR 设设则则B B的行阶梯形矩阵中最后一个非零行对应矛盾的行阶梯形矩阵中最后一个非零行对应矛盾方程，方程，.,2的秩的秩阵阵的秩等于增广矩的秩等于增广矩矩阵矩阵的充分必要条件是系数的充分必要条件是系数有解有解元非齐次线性方程组元非齐次线性方程组定理定理bABAbxAnnm 这与方程组有解相矛盾这与方程组有解相矛盾.BRAR 因此因此统计软件分析与应用线线 性性 代代 数数 A2.7 线性方程组的解，习题课线性方程组的解，习题课并令并令 个自由未知量全取个自由未知量全取0 0，rn-即可得方程组的一个解即可得方程组的一个解充分性充分性.,BRAR 设设 ,nrrB
4、RAR 设设证毕证毕个非零行，个非零行，的行阶梯形矩阵中含的行阶梯形矩阵中含则则rB其余其余 个作为自由未知量个作为自由未知量,rn-把这把这 行的第一个非零元所对应的未知量作为行的第一个非零元所对应的未知量作为非自由未知量非自由未知量,r统计软件分析与应用线线 性性 代代 数数 A2.7 线性方程组的解，习题课线性方程组的解，习题课小结小结有唯一解有唯一解bAx nBRAR nBRAR 有无穷多解有无穷多解.bAx 方程组的通解方程组的通解性性程组的任一解，称为线程组的任一解，称为线定义：含有个参数的方定义：含有个参数的方齐次线性方程组齐次线性方程组：系数矩阵化成行最简形矩阵，：系数矩阵化成
5、行最简形矩阵，便可写出其通解；便可写出其通解；非齐次线性方程组：非齐次线性方程组：增广矩阵化成行阶梯形矩增广矩阵化成行阶梯形矩阵，便可判断其是否有解若有解，化成行最阵，便可判断其是否有解若有解，化成行最简形矩阵，便可写出其通解；简形矩阵，便可写出其通解；统计软件分析与应用线线 性性 代代 数数 A2.7 线性方程组的解，习题课线性方程组的解，习题课例例1 1 求解齐次线性方程组求解齐次线性方程组.034022202432143214321 -xxxxxxxxxxxx解解 -341122121221A -463046301221二、线性方程组的解法施行初等行变换：施行初等行变换：对系数矩阵对系数
6、矩阵 A13122rrrr-统计软件分析与应用线线 性性 代代 数数 A2.7 线性方程组的解，习题课线性方程组的解，习题课 0000342101221)3(223-rrr212rr-00003421035201即得与原方程组同解的方程组即得与原方程组同解的方程组 -,0342,0352432431xxxxxx统计软件分析与应用线线 性性 代代 数数 A2.7 线性方程组的解，习题课线性方程组的解，习题课 -,342,3522413222221cxcxccxccx).,(43可可任任意意取取值值xx由此即得由此即得 -,342,352432431xxxxxx形式形式，把它写成通常的参数，把它写
7、成通常的参数令令2413,cxcx .1034350122214321 -ccxxxx统计软件分析与应用线线 性性 代代 数数 A2.7 线性方程组的解，习题课线性方程组的解，习题课例例 求解非齐次线性方程组求解非齐次线性方程组 -.3222,2353,132432143214321xxxxxxxxxxxx解解对增广矩阵对增广矩阵B进行初等变换，进行初等变换，-322122351311321B13122rrrr-10450104501132123rr-200001045011321,3)(,2)(BRAR显然，显然，故方程组无解故方程组无解统计软件分析与应用线线 性性 代代 数数 A2.7 线
8、性方程组的解，习题课线性方程组的解，习题课例例 求解非齐次方程组的通解求解非齐次方程组的通解.2132130432143214321 -xxxxxxxxxxxx解解 对增广矩阵对增广矩阵B进行初等变换进行初等变换 -2132111311101111B -2121001420001111统计软件分析与应用线线 性性 代代 数数 A2.7 线性方程组的解，习题课线性方程组的解，习题课.00000212100211011 -,2 BRAR由于由于故方程组有解，且有故方程组有解，且有 2122143421xxxxx 42442342242102120021xxxxxxxxxxxx统计软件分析与应用线线
9、 性性 代代 数数 A2.7 线性方程组的解，习题课线性方程组的解，习题课.02102112000011424321 xxxxxx.,42任意任意其中其中xx所以方程组的通解为所以方程组的通解为统计软件分析与应用线线 性性 代代 数数 A2.7 线性方程组的解，习题课线性方程组的解，习题课例例 求求出出它它的的一一切切解解在在有有解解的的情情况况下下，是是有有解解的的充充要要条条件件证证明明方方程程组组.054321515454343232121 -aaaaaaxxaxxaxxaxxaxx解证解证对增广矩阵对增广矩阵B进行初等变换，进行初等变换，方程组的增广矩阵为方程组的增广矩阵为统计软件分析
10、与应用线线 性性 代代 数数 A2.7 线性方程组的解，习题课线性方程组的解，习题课 -543211000111000011000011000011aaaaaB -5143210000011000011000011000011iiaaaaa 051 iiaBRAR统计软件分析与应用线线 性性 代代 数数 A2.7 线性方程组的解，习题课线性方程组的解，习题课.051 iia是是方方程程组组有有解解的的充充要要条条件件由于原方程组等价于方程组由于原方程组等价于方程组 -454343232121axxaxxaxxaxx由此得通解：由此得通解：544543354322543211xaxxaaxxaa
11、axxaaaax .5为为任任意意实实数数x统计软件分析与应用线线 性性 代代 数数 A2.7 线性方程组的解，习题课线性方程组的解，习题课例例 设有线性方程组设有线性方程组 23213213211 xxxxxxxxx?,有无穷多个解有无穷多个解有解有解取何值时取何值时问问 解解 21111111 B 11111112 作初等行变换，作初等行变换，对增广矩阵对增广矩阵),(bAB 统计软件分析与应用线线 性性 代代 数数 A2.7 线性方程组的解，习题课线性方程组的解，习题课 -2222111011011 -32222120011011 -22112100111011 统计软件分析与应用线线
12、性性 代代 数数 A2.7 线性方程组的解，习题课线性方程组的解，习题课 ,11时时当当 000000001111B .,3 方方程程组组有有无无穷穷多多解解 BRAR其通解为其通解为 -33223211xxxxxxx .,32为为任任意意实实数数xx统计软件分析与应用线线 性性 代代 数数 A2.7 线性方程组的解，习题课线性方程组的解，习题课 ,12时时当当 -22120011011 B这时又分两种情形：这时又分两种情形：:,3,2)1方程组有唯一解方程组有唯一解时时 -BRAR .21,21,212321 -xxx统计软件分析与应用线线 性性 代代 数数 A2.7 线性方程组的解，习题课
13、线性方程组的解，习题课 .,故故方方程程组组无无解解BRAR,2)2时时-300063304211B统计软件分析与应用线线 性性 代代 数数 A2.7 线性方程组的解，习题课线性方程组的解，习题课 第第2 2章习题课章习题课统计软件分析与应用线线 性性 代代 数数 A2.7 线性方程组的解，习题课线性方程组的解，习题课例例求下列矩阵的秩求下列矩阵的秩.34147191166311110426010021 -A解解对对 施行初等行变换化为阶梯形矩阵施行初等行变换化为阶梯形矩阵A统计软件分析与应用线线 性性 代代 数数 A2.7 线性方程组的解，习题课线性方程组的解，习题课 -3414719116
14、6311110426010021A -3514721015639010426010021统计软件分析与应用线线 性性 代代 数数 A2.7 线性方程组的解，习题课线性方程组的解，习题课,00000000005213010021B .2)()(,BRAR因此因此注意注意在求矩阵的秩时，初等行、列变换可在求矩阵的秩时，初等行、列变换可以同时兼用，但一般多用初等行变换把矩阵化成以同时兼用，但一般多用初等行变换把矩阵化成阶梯形阶梯形统计软件分析与应用线线 性性 代代 数数 A2.7 线性方程组的解，习题课线性方程组的解，习题课当方程的个数与未知数的个数不相同时，一当方程的个数与未知数的个数不相同时，一
15、般用初等行变换求方程的解般用初等行变换求方程的解当方程的个数与未知数的个数相同时，求线当方程的个数与未知数的个数相同时，求线性方程组的解，一般都有两种方法：初等行变换性方程组的解，一般都有两种方法：初等行变换法和克莱姆法则法和克莱姆法则二、求解线性方程组统计软件分析与应用线线 性性 代代 数数 A2.7 线性方程组的解，习题课线性方程组的解，习题课例例求非齐次线性方程组的通解求非齐次线性方程组的通解)1(.2255,1222,132,123,1323214321432143214321 -xxxxxxxxxxxxxxxxxxx解解对方程组的增广矩阵对方程组的增广矩阵 进行初等行变换，使进行初等
16、行变换，使其成为行最简单形其成为行最简单形B统计软件分析与应用线线 性性 代代 数数 A2.7 线性方程组的解，习题课线性方程组的解，习题课 -2025511222111321112311321B -000002035411132202552045331323425rrrrrrrr -00000001011113220255002022124rrrr -00000000001113202011001012213214rrrrr统计软件分析与应用线线 性性 代代 数数 A2.7 线性方程组的解，习题课线性方程组的解，习题课 -00000000001560002110001011221332rrr
17、rr -00000000006165100616701061650016)1(6)1(631323rrrrr统计软件分析与应用线线 性性 代代 数数 A2.7 线性方程组的解，习题课线性方程组的解，习题课.,16567650616161 )1(,43214取任意常数取任意常数的通解是的通解是可得方程组可得方程组令自由未知量令自由未知量kkxxxxxkx -由此可知，而方程组由此可知，而方程组(1)中未知中未知量的个数是，故有一个自由未知量量的个数是，故有一个自由未知量.3)()(BRAR4 n统计软件分析与应用线线 性性 代代 数数 A2.7 线性方程组的解，习题课线性方程组的解，习题课 -.
18、0323,0,022,04321432143214321xaxxxxxaxxxxxxxxxx例例 当取何值时，下述齐次线性方程组有非当取何值时，下述齐次线性方程组有非零解，并且求出它的通解零解，并且求出它的通解a解法一解法一系数矩阵的行列式为系数矩阵的行列式为A统计软件分析与应用线线 性性 代代 数数 A2.7 线性方程组的解，习题课线性方程组的解，习题课aaA32311121211111-3050212010101111-aa2000010010101111-aa)2)(1(-aa统计软件分析与应用线线 性性 代代 数数 A2.7 线性方程组的解，习题课线性方程组的解，习题课.,0,21方程
19、组有非零解方程组有非零解时时或者或者当当 -Aaa:,1化成最简形化成最简形把系数矩阵把系数矩阵时时当当Aa-10000000001001011323111121211111.,01014321为任意常数为任意常数kkxxxxx 从而得到方从而得到方程组的通解程组的通解统计软件分析与应用线线 性性 代代 数数 A2.7 线性方程组的解，习题课线性方程组的解，习题课 -00000300101011112323121121211111,2化为化为之变换可把之变换可把由计算由计算时时当当AAa 0000010010100001统计软件分析与应用线线 性性 代代 数数 A2.7 线性方程组的解，习题课
20、线性方程组的解，习题课.,1010 4321为为任任意意常常数数为为从从而而得得到到方方程程组组的的通通解解kkxxxxx -统计软件分析与应用线线 性性 代代 数数 A2.7 线性方程组的解，习题课线性方程组的解，习题课 -aaA32311121211111 -3050212010101111aa解法二解法二用初等行变换把系数矩阵化为阶梯形用初等行变换把系数矩阵化为阶梯形A统计软件分析与应用线线 性性 代代 数数 A2.7 线性方程组的解，习题课线性方程组的解，习题课.,4)(,21解解可可仿仿照照解解法法一一求求出出它它的的非非零零解解此此时时方方程程组组有有时时或或者者当当 -ARaa
21、-2000010010101111aa统计软件分析与应用线线 性性 代代 数数 A2.7 线性方程组的解，习题课线性方程组的解，习题课.,)(,1AEEAEAA-变变成成了了就就原原来来的的时时变变成成当当把把施施行行初初等等行行变变换换只只需需对对分分块块矩矩阵阵的的逆逆矩矩阵阵要要求求可可逆逆矩矩阵阵.,1AEEAEA-就就变变成成了了原原来来的的时时变变成成当当把把施施行行初初等等列列变变换换或或者者对对分分块块矩矩阵阵三、求逆矩阵的初等变换法统计软件分析与应用线线 性性 代代 数数 A2.7 线性方程组的解，习题课线性方程组的解，习题课例例求下述矩阵的逆矩阵求下述矩阵的逆矩阵 -111
22、211120A解解.),(施行初等行变换施行初等行变换作分块矩阵作分块矩阵EA -100111010211001120 -10011100112001021121rr统计软件分析与应用线线 性性 代代 数数 A2.7 线性方程组的解，习题课线性方程组的解，习题课 -11010000112001021113rr 11010011102001021132rr -11010011102021001131)2(rr -110100212121010210011212r统计软件分析与应用线线 性性 代代 数数 A2.7 线性方程组的解，习题课线性方程组的解，习题课 -110100212121010252
23、32100121)1(rr.1102121212523211 -A注意注意用初等行变换求逆矩阵时，必须始终用初等行变换求逆矩阵时，必须始终用行变换，其间不能作任何列变换同样地，用用行变换，其间不能作任何列变换同样地，用初等列变换求逆矩阵时，必须始终用列变换，其初等列变换求逆矩阵时，必须始终用列变换，其间不能作任何行变换间不能作任何行变换统计软件分析与应用线线 性性 代代 数数 A2.7 线性方程组的解，习题课线性方程组的解，习题课BAX )1(四、解矩阵方程的初等变换法)(BA)(1BAE-初初等等行行变变换换BAX1-BABXA )2(-ABE1初初等等列列变变换换BAX1-)(BATT)(
24、1BAETT-初初等等行行变变换换ABX1-BAXTTT)(1-或者或者统计软件分析与应用线线 性性 代代 数数 A2.7 线性方程组的解，习题课线性方程组的解，习题课例例.,2,410011103 XXAAXA求矩阵求矩阵且且设设 解解,2XAAX ,2100111012 -EA又又,)2(AXEA-统计软件分析与应用线线 性性 代代 数数 A2.7 线性方程组的解，习题课线性方程组的解，习题课 -1002100100110011012AEA由于由于,322100234010225001 -初等行变换初等行变换.322234225 -X统计软件分析与应用线线 性性 代代 数数 A2.7 线性
25、方程组的解，习题课线性方程组的解，习题课第2章测试题一、填空题一、填空题(每小题每小题4 4分，共分，共2424分分)1 1若元线性方程组有解，且其系数矩阵的秩为若元线性方程组有解，且其系数矩阵的秩为，则当时，方程组有唯一解；当时，方，则当时，方程组有唯一解；当时，方程组有无穷多解程组有无穷多解2 2齐次线性方程组齐次线性方程组 0302032321321xkxxxxxkxx只有零解，则应满足的条件是只有零解，则应满足的条件是nrk统计软件分析与应用线线 性性 代代 数数 A2.7 线性方程组的解，习题课线性方程组的解，习题课的通解为的通解为则则设设0,111111111 .3 -AXA4 4
26、线性方程组线性方程组 -515454343232121axxaxxaxxaxxaxx有解的充要条件是有解的充要条件是统计软件分析与应用线线 性性 代代 数数 A2.7 线性方程组的解，习题课线性方程组的解，习题课的秩是的秩是矩阵矩阵 0011102210111000.6A二、计算题二、计算题 ARARA则则且秩且秩阶方阵阶方阵为为设设,3,4.5.,.1确确定定矩矩阵阵的的秩秩值值的的范范围围讨讨论论(第第1 1题每小题题每小题8 8分，共分，共1616分；第分；第2 2题每题每小题小题9 9分，共分，共1818分；第分；第3 3题题1212分分)统计软件分析与应用线线 性性 代代 数数 A2
27、.7 线性方程组的解，习题课线性方程组的解，习题课 -06865035322024631543215432154321xxxxxxxxxxxxxxx2 2求解下列线性方程组求解下列线性方程组 -342231771110441132161015122111 统计软件分析与应用线线 性性 代代 数数 A2.7 线性方程组的解，习题课线性方程组的解，习题课 4423321321321bxxxxaxxxaxx有唯一解、无解或有无穷多解？在有无穷多解时，有唯一解、无解或有无穷多解？在有无穷多解时，求其通解求其通解线性方程组线性方程组取何值时取何值时,.3ba -554931232362323325432
28、154321432154321xxxxxxxxxxxxxxxxxxx统计软件分析与应用线线 性性 代代 数数 A2.7 线性方程组的解，习题课线性方程组的解，习题课三、利用矩阵的初等变换，求下列方阵的逆矩阵三、利用矩阵的初等变换，求下列方阵的逆矩阵,011012111.1 -1111111111111111.2 .:,.11nABEABEBABAnBA -秩秩秩秩证明证明且且阶方阵阶方阵为两个为两个四、证明题四、证明题(每小题每小题8 8分，共分，共1616分分)(每小题每小题7 7分，共分，共1414分分).:,.2AAAnmAT秩秩秩秩证明证明实矩阵实矩阵为为设设 统计软件分析与应用线线
29、性性 代代 数数 A2.7 线性方程组的解，习题课线性方程组的解，习题课.2.6 ;1.5 ;0.4 ;.3 ;53.2 ;,.1 54321 aaaaaknrnr零解零解一、一、;2,3;3,3)1(.1 秩为秩为时时当当秩为秩为时时当当二、二、测试题答案.2,0;4,0)2(秩为秩为时时当当秩为秩为时时当当 ;100454101047430014349)1(.2321 -kkkX统计软件分析与应用线线 性性 代代 数数 A2.7 线性方程组的解，习题课线性方程组的解，习题课.10520510151057000130054053)2(321 -kkkX.,;,121 ;,10.3方程组无解方
30、程组无解其余情形其余情形方程组有无穷多解方程组有无穷多解时时且且当当方程组有唯一解方程组有唯一解时时且且当当 baba统计软件分析与应用线线 性性 代代 数数 A2.7 线性方程组的解，习题课线性方程组的解，习题课;12321011031.1 1 -A三、三、.111111111111111141.21 -A.,101222Rkkx -通解为通解为统计软件分析与应用线线 性性 代代 数数 A2.7 线性方程组的解，习题课线性方程组的解，习题课 nBRAR nBRAR 有无穷多解有无穷多解.bAx 非齐次线性方程组非齐次线性方程组bAx 齐次线性方程组齐次线性方程组0 Ax nAR;0只只有有零
31、零解解 Ax nAR.0有有非非零零解解 Ax三、小结;有唯一解有唯一解bAx 统计软件分析与应用线线 性性 代代 数数 A2.7 线性方程组的解，习题课线性方程组的解，习题课思考题.,?,12105,3153,363,1324321432143214321求求出出一一般般解解况况下下情情在在方方程程组组有有无无穷穷多多解解的的有有无无穷穷多多解解有有唯唯一一解解方方程程组组无无解解取取何何值值时时当当讨讨论论线线性性方方程程组组tptxxxxxxpxxxxxxxxxx -统计软件分析与应用线线 性性 代代 数数 A2.7 线性方程组的解，习题课线性方程组的解，习题课思考题解答 -tpB121
32、051315133163113211解解 -191260066402242013211tp统计软件分析与应用线线 性性 代代 数数 A2.7 线性方程组的解，习题课线性方程组的解，习题课 -53000422001121013211tp;,4)()(,2)1(方程组有唯一解方程组有唯一解时时当当 BRARp -1000021000112101321153000420001121013211ttB有有时时当当,2)2(p统计软件分析与应用线线 性性 代代 数数 A2.7 线性方程组的解，习题课线性方程组的解，习题课;,4)(3)(,1方程组无解方程组无解时时当当 BRARt -0000021000302108000100000210001121013211B且且.,3)()(,1方程组有无穷多解方程组有无穷多解时时当当 BRARt统计软件分析与应用线线 性性 代代 数数 A2.7 线性方程组的解，习题课线性方程组的解，习题课 组为组为与原方程组同解的方程与原方程组同解的方程).(203801204321Rkkxxxx -,2,32,84321xxxx故原方程组的通解为故原方程组的通解为
