1、本章内容安排本章内容安排1.1 1.1 标量与矢量标量与矢量1.2 1.2 矢量的运算矢量的运算1.3 1.3 标量场的方向导数和梯度标量场的方向导数和梯度1.4 1.4 矢量场的散度及高斯散度定理矢量场的散度及高斯散度定理1.5 1.5 矢量场的旋度及斯托克斯定理矢量场的旋度及斯托克斯定理1.1 标量与矢量标量与矢量1.1.1 标量与矢量标量与矢量标量标量:仅用大小就能表述的物理量，例如长度、面积、仅用大小就能表述的物理量，例如长度、面积、体积、温度等。体积、温度等。矢量矢量:不仅具有大小而且具有方向特征的物理量，例不仅具有大小而且具有方向特征的物理量，例如力、电场强度、磁场强度、速度、位移
2、等。如力、电场强度、磁场强度、速度、位移等。矢量矢量A的表示方法的表示方法（1）（2）（3）xxyyzzAAAAeeecoscoscosxyzAAAAeee0AAA矢量矢量A的空间表示的空间表示1.2 矢量的运算矢量的运算1.2.1 矢量的代数运算矢量的代数运算令令 和和 ，则，则矢量相加：矢量相加：矢量相减矢量相减:xxyyzzAAAA=eeexxyyzzBBBB=eee()()()xxxyyyzzzABABABAB=eee()()()xxxyyyzzzABABAB=+ABABeee矢量相加的几何表示矢量相加的几何表示矢量相减的几何表示矢量相减的几何表示1.2.2矢量乘矢量乘矢量的点乘矢量的
3、点乘：或者或者矢量的叉乘：矢量的叉乘：或者或者 xxyyzzA BA BA BA BcosA BA BxyzxyzxyzAAABBBeeeABsinnA Be A B矢量的点乘矢量的点乘矢量的叉乘矢量的叉乘1.3 标量场的方向导数和梯度标量场的方向导数和梯度1.3.1 标量场的方向导数标量场的方向导数设点设点M0(x0,y0,z0)是标量场是标量场u(x,y,z)所在空间内的一个所在空间内的一个固定点，过固定点，过M0点引出一条射线点引出一条射线l，并在该射线上靠近，并在该射线上靠近M0点一个动点点一个动点M(x0+x,y0+y,z0+z)，而且点，而且点M0与与M之间的距离为之间的距离为l。
4、方向导数方向导数定义如下定义如下1.3.2 标量场的梯度标量场的梯度我们定义一个矢量我们定义一个矢量G，令其，令其方向方向就是标量函数就是标量函数u在定在定点处最大变化率的方向，而其点处最大变化率的方向，而其大小大小则为最大变化率的则为最大变化率的值，称这个矢量值，称这个矢量G为标量函数为标量函数u在定点在定点M0处的处的梯度梯度，记为记为 0coscoscosMuuuulxyz=grad=xyzuuuuxyzGeee1.3.3 哈密尔顿算子哈密尔顿算子(Hamilton)在直角坐标系中，定义在直角坐标系中，定义算子与标量函数算子与标量函数u的乘积为的乘积为该函数的梯度，即该函数的梯度，即 x
5、yzuuuuxyz eee1.4 矢量场的散度及高斯散度定理矢量场的散度及高斯散度定理1.4.1 矢量场的通量矢量场的通量通过闭合曲面的通过闭合曲面的总通量总通量可表示为可表示为 SSddSS n曲面法向单位矢量的确定曲面法向单位矢量的确定说明说明：若若0，则表示，则表示S面中有净通量流入，即穿出面中有净通量流入，即穿出S面的面的矢量线多于穿入矢量线多于穿入S面的矢量线，说明在面的矢量线，说明在S面中必有产生面中必有产生矢量线的源，称之为矢量线的源，称之为正源正源；若若0，则表示穿入，则表示穿入S面的矢量线要多于穿出面的矢量线要多于穿出S面的面的矢量线，说明矢量线，说明 面内必有吸收矢量线的源
6、，我们称之为面内必有吸收矢量线的源，我们称之为负源负源（也称之为（也称之为沟沟）；）；当当=0时，则表示流穿出时，则表示流穿出S面的矢量线与穿入的矢量面的矢量线与穿入的矢量线相等，此时在线相等，此时在S面内面内正源和负源完全抵消正源和负源完全抵消，或者说，或者说S内内没有源没有源。把与通量有关的正源或者负源，统称为把与通量有关的正源或者负源，统称为通量源通量源。1.4.2 矢量场的散度矢量场的散度矢量场矢量场A在点在点M处的散度，记作处的散度，记作物理意义物理意义：矢量场中任意点处通量对体积的变化率，：矢量场中任意点处通量对体积的变化率，即从点即从点M单位体积内散发的通量，所以，又可以将散单位
7、体积内散发的通量，所以，又可以将散度称为度称为“通量源密度通量源密度”或者或者“通量源强度通量源强度”。在无源。在无源区中，矢量场区中，矢量场A在各点处的散度均为零。在各点处的散度均为零。0divlimSVdSV A nA在直角坐标系中，在直角坐标系中，散度散度的表达式为的表达式为或者或者 xdivyzAAAxyzAyxzAAAxyzA矢量场的散度及通量源矢量场的散度及通量源把与通量有关的正源或者负源，统称为把与通量有关的正源或者负源，统称为通量源通量源。1.4.3 矢量场的散度矢量场的散度矢量场矢量场A在点在点M处的散度，记作处的散度，记作物理意义物理意义：矢量场中任意点处通量对体积的变化率
8、，：矢量场中任意点处通量对体积的变化率，即从点即从点M单位体积内散发的通量，所以，又可以将散单位体积内散发的通量，所以，又可以将散度称为度称为“通量源密度通量源密度”或者或者“通量源强度通量源强度”。在无源。在无源区中，矢量场区中，矢量场A在各点处的散度均为零。在各点处的散度均为零。0divlimSVdSV A nA1.4.4 高斯散度定理高斯散度定理说明说明：它是在矢量分析中一个非常重要的定理；它是在矢量分析中一个非常重要的定理；从数学上看，利用高斯散度定理可以将矢量函数的从数学上看，利用高斯散度定理可以将矢量函数的面积分转化为标量函数的体积分，或反之；面积分转化为标量函数的体积分，或反之；
9、从场的观点来看，高斯散度定理建立了某一区域中从场的观点来看，高斯散度定理建立了某一区域中的场与包围该区域边界上的场的关系。的场与包围该区域边界上的场的关系。VSdVdAA S1.5 矢量场的旋度及斯托克斯定理矢量场的旋度及斯托克斯定理1.5.1 环量环量定义矢量定义矢量A沿某一个封闭曲线的沿某一个封闭曲线的线积分线积分称为该矢量沿称为该矢量沿此封闭曲线的此封闭曲线的环量环量，可以表示为，可以表示为 dllAcos dl Al说明说明：环量和通量一样，也是一个环量和通量一样，也是一个代数量代数量，它是标量积的，它是标量积的线积分。线积分。其大小和正负不仅与其大小和正负不仅与矢量场的分布矢量场的分
10、布有关，而且还取有关，而且还取决于封闭曲线的决于封闭曲线的形状和取向形状和取向。如果矢量沿封闭曲线的环量不为零，则说明该封闭如果矢量沿封闭曲线的环量不为零，则说明该封闭曲线内存在另一种源曲线内存在另一种源涡流源涡流源，又叫做，又叫做旋涡源旋涡源，对，对应的矢量场则称为应的矢量场则称为有旋场有旋场或或涡流场涡流场；反之，若环量为；反之，若环量为零，则表示封闭曲线内不存在旋涡源，称相应的矢量零，则表示封闭曲线内不存在旋涡源，称相应的矢量场为场为无旋场无旋场，也叫做，也叫做保守场保守场。1.5.2旋度旋度环量面密度环量面密度：旋度旋度：直角坐标系中旋度的表达式直角坐标系中旋度的表达式 00dlimlimlSSSS A l0dlimlSrotS A lA=nxyzxyzxyzAAAeeeA1.5.3 斯托克斯定理斯托克斯定理 矢量场的旋度以及旋涡源矢量场的旋度以及旋涡源dd(dSSlrot)AlASAS
