1、含有未知函数导数含有未知函数导数(或微分或微分)的方程的方程。一、微分方程一、微分方程1、微分方程：、微分方程：常微分方程常微分方程(1)y=kx,k 为常数；为常数；例如：例如：(2)(y-2xy)dx+x2 dy=0；(3)mv(t)=mg-kv(t)；偏微分方程偏微分方程;112yay (4).,(0sindd22为为常常数数lglgt (5)2、微分方程的阶、微分方程的阶微分方程中出现的未知函数最微分方程中出现的未知函数最高阶导数的阶数。高阶导数的阶数。3、n 阶微分方程的一般形式为阶微分方程的一般形式为F(x,y,y,y(n)=0，其中其中 x 是自变量，是自变量，y 是未知函数。是
2、未知函数。例如例如 mv(t)=mg )t(vm 代入微分方程后使其成为恒等式的函数。代入微分方程后使其成为恒等式的函数。二、微分方程的解二、微分方程的解3 3、特解、特解：1 1、微分方程的解、微分方程的解：2 2、通解：、通解：不含任意常数的解，即确定的函数。不含任意常数的解，即确定的函数。含有含有独立的独立的任意常数，且个数与阶数相同。任意常数，且个数与阶数相同。例如例如 y =2xy=x2+Cy=x2，y=x2+1（特解）（特解）（通解）（通解）4 4、初始条件、初始条件,yyxx00 （用来确定任意常数的条件）：（用来确定任意常数的条件）：00),(yyyxfyxx一阶一阶:二阶二阶
3、:0000,),(yyyyyyxfyxxxx5 5、初值问题、初值问题:求微分方程满足初始条件的解的问题求微分方程满足初始条件的解的问题.,yyxx00 ,yyxx00 二阶微分方程的初始条件是二阶微分方程的初始条件是一阶微分方程的初始条件是一阶微分方程的初始条件是例例 1 验证函数验证函数 y=3e x xe x 是方程是方程y +2y +y=0的解的解.解解 求求 y=3e x xe x 的导数，的导数，y =-=-4e x+xe-x,y =5e x-xe-x,将将 y，y 及及 y 代入原方程的左边，代入原方程的左边，(5e x-xe-x)+2(-4e x+xe-x)+3e x xe x
4、=0，即函数即函数 y=3e x xe x 满足原方程，满足原方程，得得有有所以该函数是所以该函数是所给二阶微分方程的解所给二阶微分方程的解.得得 C=2，故所，故所求特解为求特解为 y=2x2.例例 2 验证方程验证方程 的通解的通解xyy2 为为 y=Cx2 (C 为为任意常数任意常数)，并求满足初始条件并求满足初始条件 y|x=1=2 的特解的特解.解解 由由 y=Cx2 得得y =2Cx,将将 y 及及 y 代入原方程的左、右两边，代入原方程的左、右两边，左边有左边有 y=2Cx，,22Cxxy 而右边而右边所以函数所以函数 y=Cx2 满足原方程满足原方程.又因为该函数含有一个任意常
5、数，又因为该函数含有一个任意常数，所以所以 y=Cx2 是一是一阶微分方程阶微分方程.2的通解的通解xyy 将初始条件将初始条件 y|x=1=2 代入通解，代入通解，0652221 yyyyececyxx是是否否为为微微分分方方程程)c,c(为为任任意意常常数数其其中中212 2、验证函数、验证函数的解的解?并指出是通解？还是特解？并指出是通解？还是特解？作业：作业：特解的图象特解的图象:通解的图象通解的图象:微分方程的积分曲线微分方程的积分曲线.积分曲线族积分曲线族.第二节第二节 几种常见的一阶微分方程几种常见的一阶微分方程一、可分离变量方程一、可分离变量方程二、一阶线性微分方程二、一阶线性
6、微分方程一阶微分方程的一般形式为一阶微分方程的一般形式为F(x,y,y)=0.一、可分离变量方程一、可分离变量方程例如：形如例如：形如dxxfdyyg)()(解法解法:1 1、分离变量、分离变量:dyygdxxf)()(2 2、两边积分、两边积分:dyygdxxf)()(3 3、得出通解、得出通解:CxFyG)()(只写一个任意常数只写一个任意常数称为称为可分离变量的方程可分离变量的方程例例 1 求方程求方程.1)cos(sin2的通解的通解yxxy 解解分离变量，得分离变量，得,d)cos(sin1d2xxxyy 两边积分，得两边积分，得,)sin(cosarcsinCxxy 这就是所求方程
7、的通解这就是所求方程的通解例例 2 求方程求方程.的通解的通解xyy 解解分离变量，得分离变量，得,d1dxxyy 两边积分，得两边积分，得,1e|1xyC ,1ln|ln1Cxy 化简得化简得.0,1,e2221 CxCyCC则则令令,1e1xyC dxxdyy11另外，另外，y=0 也是方程的解，也是方程的解，因此因此 C2 为任意常数为任意常数xCy2 所所以以.xCy 求解过程可简化为：求解过程可简化为：,ddxxyy 两边积分得两边积分得,ln1lnlnCxy 即通解为即通解为,lnlnxCy ,xCy 其中其中 C 为任意常数为任意常数.中的中的 C2 可以为可以为 0，这样，方程
8、的通解是这样，方程的通解是分离变量得分离变量得二、一阶线性微分方程二、一阶线性微分方程)()(xQyxPy ,0)(yxPy若若 Q(x)0，则方程成为，则方程成为一阶线性齐次微分方程一阶线性齐次微分方程一阶线性非齐次方程一阶线性非齐次方程自由项自由项1.一阶线性齐次方程的解法一阶线性齐次方程的解法0)(yxPy可分离变量可分离变量,d)(dxxPyy 两边积分两边积分,lnd)(lnCxxPy 通解为通解为.ed)(xxPCy例例 6 求方程求方程 y +(sin x)y=0 的通解的通解.解解所给方程是一阶线性齐次方程，且所给方程是一阶线性齐次方程，且 P(x)=sin x，,cosdsi
9、nd)(xxxxxP由通解公式即可得到方程的通解为由通解公式即可得到方程的通解为.ecosxCy 则则1、一阶线性齐次微分方程、一阶线性齐次微分方程,0)(yxPy.ed)(xxPCy的通解为的通解为)()(xQyxPy 2、一阶线性非齐次微分方程为、一阶线性非齐次微分方程为2.一阶线性非齐次方程的解法一阶线性非齐次方程的解法设设 y=C(x)y1 是非齐次方程的解，是非齐次方程的解，将将 y=C(x)y1(其中其中 y1 是齐次方程是齐次方程 y +P(x)y=0 的解的解)及其导数及其导数 y =C (x)y1+C(x)y 1 代入非齐次方程代入非齐次方程).()(xQyxPy 则有则有)
10、,()()()()(111xQyxCxPyxCyxC 即即),()()()(111xQyxPyxCyxC y1为齐次方程的解为齐次方程的解因此有因此有),()(1xQyxC 又因为又因为 y1 与与 Q(x)均为已知函数，均为已知函数，,d)()(1CxyxQxC 代入代入 y=C(x)y1 中，得中，得.d)(111xyxQyCyy 所以可以通过积分求得所以可以通过积分求得,ed)(1 xxPy.de)(ed)(d)(xxQCyxxPxxP又又所以所以),()(1xQyxC 上述讨论中所用的方法，是将常数上述讨论中所用的方法，是将常数 C 变为待定变为待定函数函数 C(x)，再通过确定再通过
11、确定 C(x)而求得方程解的方法，称为而求得方程解的方法，称为常常数变易法数变易法.对应齐次方程通解对应齐次方程通解.x)x(QCyx)x(Px)x(P deedd所以一阶齐次方程所以一阶齐次方程非齐次方程特解非齐次方程特解对应齐次方程通解对应齐次方程通解)()(xQyxPy 通解为通解为例例 4 求方程求方程 2y -y=ex 的通解的通解.解：解：将所给的方程改写成下列形式：将所给的方程改写成下列形式：,e2121xyy ,)x(Q,)x(Pxe2121 则则则则 ,2d21d)(xxxxP,ee2d)(xxxP .de)(ed)(d)(xxQCyxxPxxP ,edee21de)(22d
12、)(xxxxxPxxxQ代入通解公式，得代入通解公式，得.eee)e(222xxxxCCy .0 sin1 的特解的特解满足满足求求 xyxxyxy,1)(xxP,sin)(xxxQ CdxexxeCxydxxdxx11sin);(Cdxexxexx|ln|ln|sin解解例例5 5 Cdxxxxx|sin|16/17 Cxdxxsin1 .cos1Cxx Cdxxxxx|sin|1由由所所求求特特解解 C cos101 C .cos11)(xxxy 7/17一、二阶线性微分方程解的结构一、二阶线性微分方程解的结构第四节第四节二阶常系数线性微分方程二阶常系数线性微分方程二、二阶常系数线性微分方
13、程的解法二、二阶常系数线性微分方程的解法二阶微分方程的如下形式二阶微分方程的如下形式y +p(x)y +q(x)y=f(x)当当 f(x)0 时，称为时，称为二阶线性非齐次微分方程二阶线性非齐次微分方程，当当 f(x)=0 时时，称为称为二阶线性齐次微分方程二阶线性齐次微分方程，自由项自由项 例如例如 y +xy +y=x2y +x(y)2+y=x2 (不是二阶微分方程不是二阶微分方程)方程中方程中 p(x)、q(x)和和 f(x)都是自变量的已知连续函数都是自变量的已知连续函数.定理定理 1如果函数如果函数 y1 与与 y2 是线性齐次方程的是线性齐次方程的两个解，两个解，y=C1 y1+C
14、2 y2仍为该方程的解仍为该方程的解，证证因为因为 y1 与与 y2 是方程是方程 y +p(x)y +q(x)y=0 的两个解，的两个解，,0)()(111 yxqyxpy与与.0)()(222 yxqyxpy所以有所以有其中其中 C1，C2 是任意常数是任意常数.则函数则函数,2211yCyCy 又因为又因为,2211yCyCy 于是有于是有y +p(x)y +q(x)y)()()(221122112211yCyCxqyCyCxpyCyC )()()()(22221111yxqyxpyCyxqyxpyC =0所以所以 y=C1y1+C2y2 是是 y +p(x)y +q(x)y=0 的解的
15、解.定义定义设函数设函数 y1(x)和和 y2(x)是定义在某区间是定义在某区间 I 上上的两个函数，的两个函数，k1 y1(x)+k2 y2(x)=0如果存在如果存在两个不全为两个不全为 0 的常数的常数 k1和和 k2，使使恒成立恒成立.则称函数则称函数 y1(x)与与 y2(x)在区间在区间 上是上是线性相关线性相关的，的，否则称为否则称为线性无关线性无关.)(yy常数常数设设 21则则 y1=y2，即，即 y1-y2=0.1、线性相关、线性相关:例如例如 y1=ex，y2=e-x常数，常数，而而 21yy2 2、线性无关：、线性无关：常常数数 xxxeeeyy,221线性相关线性相关例
16、如：例如：xy,xy 212定理定理 2如果函数如果函数 y1 与与 y2 是二阶线性齐次方程是二阶线性齐次方程 y +p(x)y +q(x)y=0 的的两个线性无关两个线性无关的特解，的特解，y=C1 y1+C2 y2是该方程的通解，是该方程的通解，其中其中 C1,C2为任意常数为任意常数.一、二阶常系数线性齐次方程一、二阶常系数线性齐次方程一般形式一般形式:)(,qyypy10 p,q为常数为常数第五节第五节 二阶常系数线性微分方程二阶常系数线性微分方程分析分析 由方程特点可看出由方程特点可看出:为同一类型函数为同一类型函数,y,y,y 之间相差常数因子之间相差常数因子.因此假设因此假设r
17、xey rxey 将将 代入代入(1)得得:,e)qprr(rx02 )(,qprr202 r当当 满足满足(2)时时,是是(1)的一个特解的一个特解.rxe特征方程特征方程特征根特征根根据特征根的三种不同情形根据特征根的三种不同情形,方程方程(1)的通解有三种情形：的通解有三种情形：0 u021211 u)qprr(u)pr(u21rr 1、特征根为相异实根、特征根为相异实根 :xrxrey,ey2121 是是(1)的两个线性无关的特解的两个线性无关的特解,xrxreCeCy2121 则则(1)的通解为的通解为21rr 2、特征根为二重根、特征根为二重根 :xrey11 是是(1)的一个特解
18、的一个特解,求另一个线性无关的特解求另一个线性无关的特解.xre)x(uy12 设设 代入方程代入方程(1):取取,xu xrxey12 得到另一个线性无关的特解得到另一个线性无关的特解xrxrxre)xCC(xeCeCy1112121 则则(1)的通解为的通解为线性无关特解线性无关特解)0(,21irir3、特征根为共轭复根、特征根为共轭复根:x)i(x)i(ey,ey 21是是(1)的两个特解的两个特解,)xsinix(coseeyxx)i(1)xsinix(coseeyxx)i(2xcose)yy(yx 21121xsine)yy(iyx 21221)sincos(21xCxCeyx则则
19、(1)的通解为的通解为 上述求二阶常系数线性齐次方程通解的方法称上述求二阶常系数线性齐次方程通解的方法称为特征根法，其步骤是：为特征根法，其步骤是：(1)写出所给方程的特征方程；写出所给方程的特征方程；(2)求出特征根；求出特征根；(3)根据特征根的三种不同情况，写出对应的根据特征根的三种不同情况，写出对应的特解，并写出其通解特解，并写出其通解.例例 1求方程求方程 y -2y -3y=0 的通解的通解.解解该方程的特征方程为该方程的特征方程为 r2-2r 3=0,它有两它有两个不等的实根个不等的实根 r1=-1，r2=3,其对应的两个线性无其对应的两个线性无关的特解为关的特解为 y1=e-x
20、 与与 y2=e3x,所以方程的通解为所以方程的通解为.ee321xxCCy 例例 2求方程求方程 y -4y +4y=0 的满足初始条件的满足初始条件 y(0)=1，y(0)=4 的特解的特解.解解该方程的特征方程为该方程的特征方程为 r2-4r+4=0，,e)221xxCCy （.e)(2e22122xxxCCCy 将将 y(0)=1，y(0)=4 代入上两式，得代入上两式，得 C1=1，C2=2，y=(1+2x)e2x.其对应的两个线性无关的特解为其对应的两个线性无关的特解为 y1=e2x 与与 y2=xe2x因此，所求特解为因此，所求特解为 它有它有重根重根 r=2.例例 3求方程求方
21、程 2y +2y +3y=0 的通的通解解.解解该方程的特征方程为该方程的特征方程为 2r2+2r+3=0，它，它有共轭复根有共轭复根424422,1 r.i 52121 ,21 即即,521 对应的两个线性无关的解为对应的两个线性无关的解为,25cose211xyx ,25sine212xyx .521sin521cose2121 xCxCyx例例 4求方程求方程 y +4y=0 的通解的通解.解解该方程的特征方程为该方程的特征方程为 r2+4=0，它有共轭，它有共轭复根复根 r1,2=2i.即即 =0，=2.对应的两个线性对应的两个线性无关的解无关的解 y1=cos 2x.y2=sin 2x.所以方程的通解为所以方程的通解为.2sin2cos21xCxCy
