1、上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 1.讨论函数讨论函数 z=f(x,y)在一点在一点P 沿某一方向的变化率沿某一方向的变化率本节主题本节主题:问题问题2.函数在点函数在点 P 沿哪一方向增加的速度最快沿哪一方向增加的速度最快?(方向导数方向导数)(梯度梯度),(yxfz ),(yxP上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 内有定义，内有定义，的某一邻域的某一邻域在点在点设函数设函数)(PU点点,且且为为l 上的另一上的另一设射线设射线 l 的方向角为的方向角为,),(yyxxP )(PUP lP xyoyx P一、方向导数的定义与计算一、方向导数的定义与计算过过P 引射线引射线 l (如
2、图如图).PP|,)()(22yx ),(),(yxfyyxxfz 且且记记P当当 沿着沿着 趋于趋于 时，时，P lyxfyyxxf),(),(lim0 ,z考虑考虑反映的是反映的是 z=f(x,y)在点在点P 沿方向沿方向l 的变化率的变化率.上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 这个比值刻画的是这个比值刻画的是z=f(x,y)沿方向沿方向l 的平的平均变化率均变化率.极限极限.),(),(lim0yxfyyxxflf 记为记为上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 存在，存在，则称此极限为函数在点则称此极限为函数在点P 沿方向沿方向l 的方向导数的方向导数如果极限如果极限定义定义.),
3、(),(lim0yxfyyxxf lf ,即即 显然。显然。fx表示的是函数表示的是函数z=f(x,y)在点在点P 沿沿 x 轴正轴正向的方向导数，向的方向导数，fy表示的是函数表示的是函数z=f(x,y)在点在点P 沿沿 y轴正向的方向导数轴正向的方向导数.而函数而函数z=f(x,y)在点在点P 沿沿 x 轴轴与与y轴负向的方向导数分别是轴负向的方向导数分别是fx，fy.证明：证明：由于函数由于函数z=f(x,y)点点P(x,y)可微，可微，),(),(yxfyyxxf两边同除以两边同除以,得到得到上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 定理定理z=f(x,y)在该点沿任意方向在该点沿任意方
4、向l 的方向导数都存在，且的方向导数都存在，且 其中其中cos,cos是方向是方向l 的方向余弦的方向余弦.如果函数如果函数z=f(x,y)在点在点P(x,y)可微，可微，则则loyx所以函数在所以函数在点点P(x,y)的增量的增量yfxflfcoscos P)(oyyfxxf P cososc yxfyyxxf),(),(因此，方向导数因此，方向导数yxfyyxxf),(),(lim0 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 oyyfxxf)(loyxxyP P lfyfxfcoscos ),(zyxPl推广推广:则函数在该点沿任意方向则函数在该点沿任意方向 l 的方向导数存在的方向导数存在
5、,且且若三元函数若三元函数 u=f(x,y,z)在点在点P(x,y,z)可微可微,为为l 的方向角的方向角.上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 zfyfxflfcoscoscos 其中其中，在点在点 P(1,1,1)沿沿从点从点P(1,1,1)zyxu2,31cos lu )1,1,1(zyx2 zx2 yx2解：解：上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 到点到点Q(2,3,3)方向的方向导数。方向的方向导数。本题的方向本题的方向是是PQ1 2 2,，,3 PQ,32cos,32cos Pcoscoscos 2 123例例1.1.求函数求函数213 213 解：解：cos,sin l P
6、lz上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例2.2.求函数求函数z=x y在点在点 处沿方向处沿方向 的方向导数的方向导数.且问且问为何值时，为何值时，这点的方向导数达到最这点的方向导数达到最 大？大？为何值时，为何值时，这点的方向导数达到最小？这点的方向导数达到最小？sincos3），31(Pxz P，3 yz P1 2 时时，即即6 所以，所以，方向导数方向导数达到最大达到最大.Plz Py Px，23 ，233 时时，即即67 方向导数方向导数达到最小达到最小.Plz sin3 （），二、梯度的概念与计算二、梯度的概念与计算jyxfiyxfyx),(),(上页上页 下页下页 返回返回
7、 结束结束 定义定义 设函数设函数),(yxfz 在平面区域在平面区域D内具有内具有一阶连续偏导数，一阶连续偏导数，DyxP),(,称向量称向量jyfixf 则对每一点则对每一点为函数为函数z=f(x,y)在点在点P(x,y)的的梯度梯度,记为记为grad f(x,y).,yfxfgrad f(x,y )jyfixf 即：即：上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 为函数为函数u=f(x,y,z)在点在点P(x,y,z)的的梯度梯度,记为记为grad f(x,y,z).,zfyfxf，grad f(x,y,z)即：即：推广推广:若三元函数若三元函数 u=f(x,y,z)在空间区域在空间区域G
8、内具有内具有一阶连续偏导数，一阶连续偏导数，则对每一点则对每一点P(x,y,z)G,称向量称向量kzfjyfixf kzyxfjzyxfizyxfzyx),(),(),(kzfjyfixf 解解:由梯度计算公式得由梯度计算公式得),(gradzyxu)32(x故故)2,1,1(gradu上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例3.3.求函数求函数 在点在点(1,1,2)处的梯度处的梯度.yxzyxu2332222 kzujyuixu 5i i)24(y jz6,k2j 12.k 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 梯度与方向导数的关系：梯度与方向导数的关系：（以二元函数为例）（以二元函
9、数为例）设函数设函数z=f(x,y)在点在点P(x,y)可微，可微，是方向是方向l 上的单位向量上的单位向量,则则coscoseijabab=+=+lf,cos,cos ffxyabab抖=抖eyxgradf ),(,cos|),(|yxgradf 其中其中),(,eyxgradf q q为梯度向量与方向为梯度向量与方向l 的夹角的夹角.lf 有最大值有最大值当当1),(cos(eyxgradf时，时，即即时，时，,e0),(yxgradfcoscosffxyabab抖+抖|),(|yxgradf上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 二元函数：二元函数：结论：结论：（1）函数在某点的梯度）函
10、数在某点的梯度grad f 是一个向量，是一个向量，grad f(x,y)jyfixf 三元函数：三元函数：grad f(x,y,z)kzfjyfixf （2）梯度的方向是函数在此点的方向导数取得最大值）梯度的方向是函数在此点的方向导数取得最大值的方向的方向.（3）梯度的模等于方向导数的最大值）梯度的模等于方向导数的最大值.内容小结内容小结1.1.方向导数方向导数 二元函数二元函数),(yxf在点在点),(yxP),的方向导数为的方向导数为 lf沿方向沿方向 l(方向角为方向角为yfxfsincos 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 yfxfcoscos 三元函数三元函数),(zyxf在
11、点在点),(zyxP处沿方向处沿方向 l(方向角方向角),为为的方向导数为的方向导数为 lfzfyfxfcoscoscos 2.2.梯度梯度 二元函数二元函数),(yxf在点在点),(yxP处的梯度为处的梯度为 fgrad上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 jyxfiyxfyx),(),(三元函数三元函数),(zyxf在点在点),(zyxP处的梯度为处的梯度为 fgradkzfjyfixf 3.3.关系关系方向导数存在方向导数存在 可微可微偏导数存在偏导数存在方向，且梯度的模等于方向导数的最大值方向，且梯度的模等于方向导数的最大值.梯度的方向是函数在此点的方向导数取得最大值的梯度的方向是函数在此点的方向导数取得最大值的
