1、13.1几何向量及线性运算3.1.1几何向量的概念 描述速度、加速度、力等既有方向又有大小的量,称为向量或矢量.向量有两个特征-大小和方向,几何中的有向线段 恰好具有这个特征.抛去一般向量的具体意义,我们用几何空间中有向线段表示向量,并称这样的向量为几何向量(有时简称向量).有向线段的长度表示向量的大小,有向线段的方向表示向量的方向.以A为起点,B为终点的有向线段表示的向量记为AB 如下图所示(图3.1)2有时也用一个黑体字母表示向量,如a,b,n等.向量的大小叫向量的长度(也叫向量的模).向量AB,a的长度依次记为|AB|和|a|.长度为1的向量称为单位向量.起点和终点重合的向量称为零向量,
2、记作0.零向量的长度等于0,零向量的方向可以看作是任意的.BA 图3.13在实际问题中,有些向量与其起点有关,有些向量与其起点无关.本书只研究与起点无关的向量,并称这种向量为自由向量.这样的向量可以平行移动,所以如果两个向量a和b的长度相等,又互相平行(即在同一条直线上,或在平行直线上),且指向相同,则说a与b相等,记为a=b,也就是说,平行移动后能完全重合的向量是相等的.因为本书讨论的是自由向量,故可以说任两向量共面.43.1.2几何向量的线性运算 向量的线性运算是指向量的加法和数与向量相乘.设a=OA,b=OB,规定a与b的和a+b是一个向量,它是以OA,OB为邻边作平行四边形OACB后,
3、再由点O与其相对的顶点C连成的向量,即a+b=OC(图3.2).这种方法叫平形四边形法.如果两向量a=OA与b=OB在同一直线上,那么规定它们的和是这样一个向量:当OA与OB的指向相同时,和向量的方向与原来两向量的方向相同,其长度等于两向量长度的和;当OA与OB的指向相反时,和向量的方向与较长的向量的方向相同,而长度等于两向量长度的差.5如图3.2,ACOBb,所以,让a的的终点与b的起点重合,则由a 的起点到O到b的终点C的向量OC为a,b的和向量即OC=a+b,这种方法叫方法叫求向量a与b和的三角形法.按定义,容易证明向量加法满足:(1)a+b=b+a(交换律)(2)(a+b)+c=a+(
4、b+a)(结合律)(3)a+0=a (4)a+(-a)=0图3.2OBACabC=a+b6由于向量加法满足结合律,多个向量相加,不必加括弧指明相加的次序.求多个向量a1,a2,.an之和时,只要让前一向量的终点作为次一向量的起点,则a1的起点与an的终点相连并指向后者的向量等于a1+a2+.+an n=3的例子如图3.3所示.与向量b的长度相等而方向与b的方向相反的向量称为b的负向量,记为-b.向量a与-b的和向量记为a-b=a+(-b),称为a与b的差.(见图3.4)cbaa+b+ca+bb+c图3.3ba-ba图3.47为了表示几何向量的“伸缩”,我们定义实数与向量的乘法(简称数乘运算).
5、实数k与非零向量a的乘积是一个,记为ka.它的长度|ka|=|k|a|.它的方向:当k0时,与a同向;当k0时,与a反向如图3.5,当k=0时,方向不定(此时ka是零向量).若a=0,对任意实数k,规定ka=0.实数与向量的数乘满足:(1)1a=a,(-1)a=-a;(2)k(la)=(kl)a;(3)k(a+b)=ka+kb;(4)(k+l)a=ka+la;显然,只要a不是零向量,a/|a|就是与a同方向的单位向量记作a,于是a=|a|a.a2a-a-2a图3.58例1 在平行四边形ABCD,设AB=a,ADb.试用a和b表示MA,MB,MC和MD,这里M是平行四边形对角线的交点(图3.6)
6、解:由a+b=2AM MA=-(a+b)MC=-MA=(a+b)由-a+b=2MD,得 MD=(b-a),MB=-MD=(a-b)图3.6DCBAMba93.2几何向量的数量积向量积和混合积3.2.1向量在轴上的投影 设有两个非零向量a,b任取空间一点O,作OA=a,OB=b,称不超过的AOB(设)为向量a与b的夹角(图3.7),记作,零向量与另一向量的夹角可以在0到间任意取值.可以类似地定义向量与一轴的夹角及两轴的夹角.设有空间一点A及一轴u,通过点A作轴u的垂直平面,那么称平面与轴u的交点A为点A在轴u上的投影(图3.8)10ABOab图图 3.7AAu图图 3.811定义3.1 设向量A
7、B的起点A和终点B在轴u上的投影分别为A和B(书P62 图3.9),那么轴u上的向线段A B的值A B其绝对值等于|A B|,其符号由A B的方向决定,当A B与u轴同向时取正号;反过来与u轴反向时取负号)叫做向量AB在轴u上的投影,记作Prju AB,轴u叫投影轴.定理3.1 向量AB在轴u上的投影等于向量的长度乘以轴与向量的夹角的余弦:PrjuAB=|AB|cos.如图3.10(书P62 图3.10),通过向量AB的起点A引轴u,使u与轴u平行且具有相同的正方向,于是轴u与AB的夹角等于轴u与AB的夹角,而且有Prju AB=PrjuAB.12 但 PrjuAB=AB=|AB|cos,所以
8、 Prju AB=|AB|cos.由些可知:相等向量在同一轴上的投影相等.当一非零向量与其投影轴成锐角时,其投影为正;成钝角时,其投影为负;成直角时投影为零.定理3.2 两个向量的和在某轴上的投影等于这两向量在该轴上的投影的和,即Prju(a1+a2)=Prju a1+Prju a2.证 设u为投影轴,作折线ABC,使AB=a1,BC=a2,由向量加法有三角形法则可知,向量AC就是它们的和(书P62,图3.11),13 即 AC=AB+BC=a1+a2.设A,B,C在轴u上的投影分别为A,B,C,那么 Prju AB=AB,Prju BC=BC,Prju AC=AC.由于不论A,B,C在轴上的
9、位置如何,总有 AB+BC=AC,所以Prju AB+Prju BC=Prju AC.即Prjua1+Prjua2=Prju(a1+a2)143.2.2几何向量的数量积 先看一个例子.设常力F作用在质点m上,使点m产生位移S,那么力F使质点m产生位移S所做的功为W=|F|S|cos.其中为F与S的夹角.还有许多问题,都要对两个向量a,b类似的运算.定义3.2 设a,b是两个几何向量,称|a|b|cos(=)为a与b的数量积或内积,记作ab=(a,b),即ab=(a,b)=|a|b|cos.15 根据数量积的定义,两个几何向量的数量积等于零的充要条件是a=0,或b=0或=/2.我们规定零向量垂直
10、于任何向量.这样,两个几何向量互相垂直的充要条件是它们的数量积等于零.由于|b|cos是向量b在向量a方向上的投影,所以当a0时,ab就是a的长度|a|与b在a的方向上的投影Prjab之积 ab=|a|Prjab,ab=|b|Prjba同样向量的数量积具有下列性质:(1)ab=ba(交换律);(2)(ka)b=k(ab);(3)(a+b)c=ac+bc(分配律);(4)aa0.此外,aa=0的充要条件是a=0.16 把(3)推广,可得 (a1+a2+am)(b1+b2+bn)=ambn由数量积的定义,可得几何向量长度|a|和夹角的公式 注意:向量的数量积不满足消去律,即在一般情况,ab=ac,
11、a0不能推出b=c.事实上,ab=ac是说a(b-c)=0,即a与b-c垂直.同样ab=cb,b0不能推出a=c.mnaaabababa,cosi=1,j=117 3.2.3几何向量的向量积 定义3.2 设a,b是两个向量,若向量c满足:(1).|c|=|a|b|sin,=.(2).ca,cb (3).向量a,b,c组成右手系,则称向量c为向量a,b的向量积,记为ab.若a,b中有一个是零向量,规定ab=0.由向量积定义可知:ab=0可以互相推出a与b平行.18 几何向量的向量具有下列性质:(1).ab=-ba;(2).(ka)b=k(ab)=a(kb);(3).(a+b)c=(ac)+(bc
12、);a(b+c)=(ab)+(ac);注意:向量的向量积不满足交换律.向量的向量积不满足消去律,即在一般情况下 ab=ac,a0不可推出b=c.同样在一般情况下 ab=cb,b0不可推出a=c.19 3.2.4几何向量的混合积 定义3.4 已知三个向量a,b和c.先作a和b的向量积ab,把所得的向量与c再作数量积(ab)c这样得到的数量叫做三向量a,b,c的混合积,记作abc.向量的混合积有如下几何意义:abc=(ab)c的绝对值表示以向量a,b,c为棱的平行六面体.如果向量a,b,c组成右手系,那么混合积的符号是正的;如果a,b,c组成左手系,那么混合积的符号是负的.向量的混合积满足:(ab
13、)c=(bc)a=(ca)b=-(ba)c=-(cb)a=-(ac)b,即abc=bca=cab=-bac=-cba=-acb.20 3.2.5几何向量的坐标 为了将几何向量的加法、数乘、数量积、向量积及混合积的计算转化为数的代数运算,我们先引入空间直角坐标系的概念,并给出几何向量的坐标表示式(代数表示式).过空间一个定点o,作三角相互垂直的数轴,它们都以o为原点且一般具有相同的长度单位.这三条轴分别叫x轴(横轴)、y轴(纵轴)、z(竖轴);统称坐标轴.通常把x轴和y轴配置在水平面上,而z轴则是铅垂线;它们的正方向通常构成”右手规则”.这样的三条坐标轴就构成了一个空间直角坐标系,记作Oxyz.
14、点O叫做坐标原点(或原点).21 三条坐标轴中的任意两条可以确定一个平面.这样定出的三个平面统称为坐标面.x轴及y轴所确定的坐标面叫xOy面.同样,另两个的坐标面分别叫做yOz面及zOx面.三个坐标面把空间分成八个部份,每一部分叫做一个卦限.含有x轴、y轴及z轴的正半轴的那个卦限叫做第一卦限,其它为第二、第三、第四卦限,在xOy轴的上方,按逆时针方向确定.第五卦限在第一卦限的下方,其它第六、七、八卦限在xOy面的下方,按逆时针方向确定.(书P65 图3.17)22 设M是空间中任一点,P,Q,R分别是点M在x,y,z轴上的投影.记P,Q,R在x,y,z轴上的坐标依次为x,y,z,则点M唯一地确
15、定了一个三元有序实数组(x,y,z).反之,任给一三元有序数组(x,y,z),按同样的含义,也唯一地确定了Oxyz坐标系中一个点.称这组数x,y,z为点M的坐标,并依次称x,y和z为点M的横坐标、纵坐标和竖坐标.坐标为x,y,z的点M通常记为M(x,y,z).在空间直角坐标系Oxyz的三条轴Ox,Oy,Oz的正方向依次取三个单位向量i,j,k,称其为基本单位向量.由基本单位向量的定义可知:ii=jj=kk=1,ij=ik=jk=0,ij=k,jk=I,ki=j,ji=-k,kj=-I,ik=-j,ii=jj=kk=0。23 下面指出,空间中任一向量a都可以唯一地表示成axi+ayj+azk的形
16、式,其中ax,ay,azR.定义3.5 设a是一个几何向量,若a=axi+ayj+azk.则称(ax,ay,az)为向量a关于基本单位向量 i,j,k的坐标,简称坐标(为了区分点的坐标与向量的坐标,有时将向量坐标记为ax,ay,az).由向量坐标的定义可知,ax=Prjxa,ay=Prjya,az=Prjya.243.3空间中的平面与直线 取定三维几何空间中的一个坐标系(一般取直角坐标系),任给一个平面(直线L)的方程,就是平面(直线L)上任意点M(x,y,z)的坐标(x,y,z)所满足的一个方程F(x,y,z)=0,并且满足这个方程F(x,y,z)=0的点M(x,y,z)一定在平面(直线L)
17、上.本节在空间直角坐标系中建立平面与直线的方程,讨论空间中点、直线、平面之间的一些关系.25 3.3.1空间中平面的方程 设平面通过点M0(x0,y0,z0)并且垂直于非零向量n=(A,B,C),如图(书P69 图3.20).下面建立平面的方程.称垂直于平面的非零向量n=(A,B,C)为平面的法向量.设M(x,y,z)是平面上的任意一点,则M0M与n垂直,从而nM0M=0,由M0MOMOM0=(x-x0,y-y0,z-z0),n=(A,B,C)知A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0 (1)即平面上任一点M(x,y,z)的坐标满足式(1).反之,若点(x,y,z)的坐标满足式(1)
18、,则M0M与n垂直,故点M必在平面上.从而式(1)就是平面的方程,称其为平面的点法式方程.26 将式(1)整理得 Ax+By+Cz+D=0.(2)其中D=-(Ax0+By0+Cz0+D),称方程(2)为平面的一般方程.由于任一平面都可用它上面的一点及它的法向量来确定,所以由上面的讨论可知,任一平面的方程都 可以写形如式(2)的三元一次方程的形式.反过来,当A,B,C中至少有一个不为零时,形如式(2)的每一个三元一次方程都确定一个法向量为n=(A,B,C)的平面.事实上,任取满足式(2)的一组数x0,y0,z0,刚 Ax0+By0+Cz0+D=0.(3)由式(2)及式(3)得A(x-x0)+B(
19、y-y0)+C(z-z0)=0.(4)这是通过点M0(x0,y0,z0),垂直于n=(A,B,C)的平面方程.又式(2)与式(4)同解,故当A,B,C不全为零时,任意一个形如式(2)的三员一次方程都是平面方程.27 1czbyax(6)称这样的方程为平面的截距式方程x-x0 y-y0 z-z0 x2-x1 y2-y1 z2-z1 =0(5)称这样的方程为平面的三点式方程x3-x2 y3-y2 z3-z228 3.3.2空间中直线方程 如果非零向量s平行于一条已知直线L,则称s直线L的方向向量.我们来建立过已知点M0(x0,y0,z0),并且平行于已知非零向量S=(m,n,p)的直线L的方程.设
20、点M(x,y,z)是直线上的任意一点.那么,向量M0M=(x0-x0,y0-y0,z0-z0)与向量S平行(书P72 图3.22).于是存在数t使M0M=ts于是 x=x0+mty=y0+nt (t为参数方程)(7)z=z0+pt29 消去t得 (8)易证,点M(x,y,z)在直线L上的充要条件是其坐标x,y,z满足方程(8),故方程(8)是直线L的方程.称方程(8)为直线L的标准方程,称方程(7)为直线L的参数方程.当方程(8)中m,n,p中有一个为零,例如m=0而n,p0时方程应理解为 =当m,n,p有两个为零时,m=n=0,而p0方程(8)理解为pzznyymxx000 x-x0=0y-
21、y0=0 x-x0=0y-y0 z-z0 n p30 设平面为1,2为1:A1x+B1y+C1z+D1=01:A2x+B2y+C2z+D2=0相交于一条直线L(书P72 图3.23),则直线方程为:A1x+B1y+C1z+D1=0 A2x+B2y+C2z+D2=0 (9)事实上,L上任一点M(x,y,z)既在1上又在2上,故M(x,y,z)的坐标满足方程(9).反之,若M(x,y,z)的坐标满足方程(9),是M(x,y,z)既在1上又在2上,从而必须在直线L上.称方程(9)为直线L的一般方程.31 给定一条直线L,通过直线L的平面有无限多个,在这无限多个平面中任选两个(不重合)平面,把它们的方
22、程联立起来,所得的方程就是L的一般方程.(10)称方程(10)为直线L的二点式方程.010010010zzzzyyyyxxxx32 3.3.3距离 先来考查点到平面的距离.设M0(x0,y0,z0)是平面:Ax+By+Cz+D=0外一点.在平面上任取一点M0(x1,y1,z1),作平面的法向量n=(A,B,C),则点M0到平面的距离d(书P73 图3.24)为 d=|Prjn M1M0|.设n是与n方向一致的单位向量,则 Prjn M1M0=n M1M033 但M1M0=(x0-x1,y0-y1,z0-z1)于是由M1(x1,y1,z1)在平面上,Ax1+By1+Cz1+D=0得 d=|Prj
23、nM1M0|=|nM1M0|CBACBACBACBAnnn222222222,CBACzByAxD22200034 再来看点到直线的距离.设直线L的标准方程为即L过点M(x0,y0,z0),并且方向向量为S=(m,n,p),再设M1(x1,y1,z1)是直线L外一点,则点M1到直线L的距离d(书P74 图3.25)为|sM0M1|s|(11)事实上,以它为邻边的平行四边形的面积为|sM0M1|.又因为面积=d|S|,故公式(11)成立.pzznyymxxL000d=35 最后研究两条异面直线记P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2),是L1,L2上的两点.L1,L2的方向向量S1=(
24、m1,n1,p1),S2=(m2,n2,p2)分别与L1,L2的公垂线垂直,所以L1,L2的公垂线的方向向量为S1S2如图(P75 图3.26)P1P2在S1S2上的投影的绝对值就是L1L2之间的距离d,即 d=|PrjS1S2P1P2|111111:1pzznyymxxL222222:2pzznyymxxL36 3.3.4位置关系 先讨论平面与平面间的位置关系.设有两个平面 1:A1x+B1y+C1z+D1=0,2:A2x+B2y+C2z+D2=0,称1,2的法向量的夹角为这两个平面的夹角,通常规定0,平面1与2的夹角可由公式 来确定(书P76 图3.27).2222222121212121
25、21cosCBACBACCBBAA37 1与2垂直的充要条件是其法向量n1,n2互相垂直,即A1A2+B1B2+C1C2=0.1与2平行的充要条件是其法向量n1,n2互相平行,即1与2重合的充要条件是212111CCBBBA21212111DDCCBBBA38 下面讨论两条直线间的位置关系设有两条直线称L1,L2的方向向量S1=(m1,n1,p1),S2=(m2,n2,p2)的夹角为两直线L1与L2的夹角,通常规定:0L1L2的夹角公式111111:1pzznyymxxL222222:2pzznyymxxL222222212121212121cospnmpnmppnnmm39 最后讨论直线和平
26、面间的位置关系.设有一条直线及一个平面 :Ax+By+Cz+D=0直线L与其在平面上的投影直线L1的夹角称为直线L平面的夹角(书P77 图3.28),通常规定:0 所以可由公式111111:1pzznyymxxL222222sinpnmCBApCnBmA40 3.3.5平面束 称通过给定直线L的所有平面的全体为平面束.设L的一般方程为:A1x+B1y+C1z+D1=0 (15)A2x+B2y+C2z+D2=0 (16)其中系数A1,B1,C1,与A2,B2,C2,不成比例.对两个不同时为0的参数1,2因A1,B1,C1,与A2,B2,C2,不成比例,所以三元一次方程 1(A1x+B1y+C1z
27、+D1)+2(A2x+B2y+C2z+D2)=0 (17)的系数1A1+2A2,1B1+2B2,1C1+2C2不全为零,从而(17)是平面方程.41 对直线L上任一点M(x,y,z),由于x,y,z满足式(15)和式(16),故也满足式(17),从而点M(x,y,z)在式(17)所确定的平面上.因此,式(17)表示的平面通过直线L.反之,通过直线L的任何一个平面都可以写成式(17)的形式.称方程(17)为通过直线L的平面束方程.除平面束(17)中平面 A2x+B2y+C2z+D2=0外,平面束(17)中任一平面的方程都可以写成 A1x+B1y+C1z+D1+2(A2x+B2y+C2z+D2)=0 (18)的形式,应用中常常将通过给定直线L的平面束方程写成(18)的形式.
