1、机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束一、一、问题的提出问题的提出引言引言:我们知道，求非均匀平面薄片的质量、重心我们知道，求非均匀平面薄片的质量、重心等问题是二维空间的问题，要用二元函数的等问题是二维空间的问题，要用二元函数的积分（二重积分）去解决；类似的，求非均积分（二重积分）去解决；类似的，求非均匀空间物体的质量、重心等问题是三维空间匀空间物体的质量、重心等问题是三维空间的问题，要用三元函数的积分（三重积分）的问题，要用三元函数的积分（三重积分）去解决去解决机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束【实例】【实例】.),(),(),(),(mzyxzy
2、xzyxzyx的质量的质量连续函数，欲求连续函数，欲求的的是是，设，设体密度为体密度为处的处的，其上点，其上点一空间非均匀物体一空间非均匀物体 【解决解决方法】方法】（1）分割分割nvvv ,21分为分为将将很很小小，密密度度变变化化不不大大iv 近似视为均匀近似视为均匀（2）取近似取近似iiiiv ),(类似二重积分解决问题的思想类似二重积分解决问题的思想,采用采用“分割分割,取近似取近似,求和求和,取极限取极限”),(iii iv 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 imiiiiv ),(ni,2,1（3）求和求和 niiiiiivmm1),(中中的的直直径径的的最
3、最大大者者为为各各令令iv （4）取极限取极限 niiiiivm10),(lim m精确值精确值机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束二、三重积分的概念二、三重积分的概念.叫做体积元素叫做体积元素其中其中dv机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束【说明】【说明】),(dvzyxf对于三重积分对于三重积分)(,去去划划分分dzzzzzxyzodydxdzdv(1)dV则则体体积积元元素素.dxdydz ),(),(dxdydzzyxfdvzyxf knkkkkdvf 10,lim :当当用用三三族族平平面面;,dxxxxx ;,dyyyyy 机动机动 目录
4、目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束（2）存在条件（充分性）存在条件（充分性）定定存存在在上上连连续续时时，三三重重积积分分必必在在当当 ),(zyxf（3）三重积分有与二重积分相类似的性质（三重积分有与二重积分相类似的性质（7条）条）（4）三重积分的物理意义三重积分的物理意义mzyxf ),(的的非非均均匀匀物物体体的的质质量量、占占有有空空间间区区域域表表示示体体密密度度是是（5）的的体体积积示示几几何何意意义义是是在在数数值值上上表表时时，其其当当 1),(zyxf dxdydzdvV机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束三、三重积分的计算三、三重积分的计算1
5、.1.利用直角坐标计算三重积分利用直角坐标计算三重积分 将三重积分化为三次积分将三重积分化为三次积分以下只限于叙述计算方法以下只限于叙述计算方法1.直角坐标下直角坐标下2.柱面坐标下柱面坐标下3.球面坐标下球面坐标下方法方法1.投影法投影法(“先一后二先一后二”)方法方法2.截面法截面法(切片法切片法)(“先二后一先二后一”),0),(zyxf先假设连续函数先假设连续函数 最后最后,推广到一般可积函数的积分计算推广到一般可积函数的积分计算.机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束方法方法1 1：投影法：投影法【“先一后二先一后二”】单积分单积分内先对内先对函数，在函数，在的的
6、只看作只看作将将看作定值，看作定值，先将先将zyxzyxzzzzyxfyx),(),(),(,)3(21 如图如图xyDxoy面投影为平面闭区域面投影为平面闭区域向向将空间闭区域将空间闭区域 )1(),(:),(:2211yxzzSyxzzS 作直线作直线过点过点xyDyx),()2(穿穿出出，从从穿穿入入从从 21zzz轴轴xyzo xyD1z2z2S1S),(1yxzz ),(2yxzz ab)(1xyy )(2xyy ),(yx机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 ),(),(21),(),(yxzyxzdzzyxfyxF上的二重积分上的二重积分在闭区域在闭区域计算
7、计算xyDyxF),()4(.),(),(),(),(21 xyxyDyxzyxzDddzzyxfdyxF ),()(,:21xyyxybxaDxy 得得),(yxFyx的函数的函数、结果为结果为X型域型域机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 dvzyxf),(.),()()(),(),(2121 baxyxyyxzyxzdzzyxfdydx【注意【注意 】于两点情形于两点情形相交不多相交不多的边界曲面的边界曲面直线与闭区域直线与闭区域内部的内部的轴且穿过闭区域轴且穿过闭区域这是平行于这是平行于Sz 此式称为先对此式称为先对z、次对次对y、最后对最后对x的三次积分的三次积
8、分得计算公式得计算公式（1）机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束（2）若交点多于两个，也可像处理二重积分那若交点多于两个，也可像处理二重积分那 样，将样，将分割，化为部分区域上的三重积分分割，化为部分区域上的三重积分 之之 和和.（3）也可把也可把投影到投影到yoz面或面或zox面上，便可面上，便可 把三重积分化为其它顺序的三次积分把三重积分化为其它顺序的三次积分.（要求平行于（要求平行于 x 轴或轴或 y 轴且穿过闭区域轴且穿过闭区域内内部的直线与部的直线与的边界曲面的边界曲面S相交不多于两点）相交不多于两点）.机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束
9、【例【例1】.12 所围成的闭区域所围成的闭区域及平面及平面为三个坐标面为三个坐标面，其中，其中计算计算 zyxxdxdydz【解】【解】xyzo)0,0,1(A)0,21,0(B)1,0,0(CxyD如图如图OABDxoyxy为闭域为闭域面得面得投影到投影到将将 )1(21010 xyxDxy：X型域型域xyDyx ),(作直线穿越作直线穿越内部内部穿出穿出穿入，从穿入，从从从yxzz210 yxz210 即即机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束故故 yxzxyx210)1(21010:则则 yxxxdzdydxxdxdydz210)1(21010 21010)21(x
10、dyyxxdx481)2(411032 dxxxxxyzo)0,0,1(A)0,21,0(B)1,0,0(CxyD机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束z【方法【方法】“先二后一先二后一”机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 zdxdydz,10 zDdxdyzdz0,0,1|),(yxzyxyxDz)1)(1(21zzdxdyzD xozy111(?)zDDz之面积之面积机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束xyzozD【解】【解】,2 zDccdxdydzz原式原式机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束)1(
11、)1(222222czbczadxdyzD ),1(22czab ccdzzczab222)1(.1543abc|),(yxDz 1222222czbyax 原式原式(?)Dz之面积之面积椭圆面积公式椭圆面积公式abS 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束2、利用柱面坐标计算三重积分、利用柱面坐标计算三重积分 .,sin,coszzyx 设空间一点设空间一点M(x,y,z),点点M在在xoy面上的投影面上的投影P 的极坐标为的极坐标为),(则则 称为点称为点M 的的柱面坐标柱面坐标.),(z 变化范围变化范围与直角坐标的关系与直角坐标的关系0 xz yM(,z)z Pxy
12、z ,20 ,0 z 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 .,sin,coszzyx 柱面坐标与直角坐标柱面坐标与直角坐标的关系为的关系为为为常常数数 为常数为常数z为常数为常数 如图，三组坐标面分别为如图，三组坐标面分别为圆柱面；圆柱面；半平面；半平面；平平 面面),(zyxM),(P rzxyzo机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 dxdydzzyxf),(.),sin,cos(dzddzf d xyzodz d d柱面坐标系中的体积元素为柱面坐标系中的体积元素为,dzdddv 此即柱面坐标系下的三重积分表达式此即柱面坐标系下的三重积分表达式
13、如图如图 dz 轴垂直方向的长为轴垂直方向的长为与与 d 纬线方向的宽为纬线方向的宽为dzz 轴方向的高为轴方向的高为六面体近六面体近似看作长似看作长方体方体机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束柱面坐标下的三重积分的计算柱面坐标下的三重积分的计算仍然化为三次积分来进行，积分限是根据仍然化为三次积分来进行，积分限是根据z,在积分域在积分域中的变化范围来确定的，中的变化范围来确定的，以下举例说明以下举例说明的的次次序序积积分分、后后、次次一一般般按按先先 z 先一先一先先 z后二后二、后、后次次 单积分单积分二重积分（极坐标系下计算）二重积分（极坐标系下计算）【方法方法】【适
14、用范围适用范围】1)积分域积分域表面用柱面坐标表示时表面用柱面坐标表示时方程简单方程简单 ;2)被积函数被积函数用柱面坐标表示时用柱面坐标表示时变量互相分离变量互相分离.机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束zyxyxIddd1122 所所围围锥锥面面 ,zzyx:0 xz y1DxyzIDd11dd1 2 1 1 0 22 0dd1d z)222(ln .Dxy:z 10,20 z=1锥面化为锥面化为:=z1.：下下底底：上顶上顶用柱面坐标用柱面坐标【例例4】102)d111(2 .【解解】机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束0 xz y4Dxy2【
15、例例5】利用柱面坐标计算三重积分利用柱面坐标计算三重积分 zdxdydz所所围围闭闭域域与与平平面面是是由由曲曲面面其其中中422 zyxz【解解】:Dxoy面得面得投影到投影到将将 4:22 yxD即即20,20:D),(内任取一点内任取一点在在D 轴平行的直线轴平行的直线作与作与z外外穿穿出出从从平平面面内内，穿穿入入从从曲曲面面 422zyxz机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 42020:2z 则则故故 420202 zdzdd 20420)16(21 dd 3646182062 【思考思考】本题是否可考虑用截面法来求解？本题是否可考虑用截面法来求解？dzddz
16、zdxdydz 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束3、利用球面坐标计算三重积分、利用球面坐标计算三重积分的的球球面面坐坐标标就就叫叫做做点点，个个数数面面上上的的投投影影，这这样样的的三三在在点点为为的的角角，这这里里段段逆逆时时针针方方向向转转到到有有向向线线轴轴按按轴轴来来看看自自为为从从正正轴轴正正向向所所夹夹的的角角，与与为为有有向向线线段段间间的的距距离离，与与点点点点为为原原来来确确定定，其其中中，三三个个有有次次序序的的数数可可用用为为空空间间内内一一点点，则则点点设设MrxoyMPOPxzzOMMOrrMzyxM ),(机动机动 目录目录 上页上页 下页
17、下页 返回返回 结束结束0 xz yM(r,)r Pyxz x y z cos sinr sin sinr cosr 球面坐标机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 rxzy为为常常数数 圆锥面；圆锥面；为常数为常数r球面；球面；为常数为常数 半平半平面面 rxzy 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 dxdydzzyxf),(.sin)cos,sinsin,cossin(2 ddrdrrrrf球面坐标系中的体积元素为球面坐标系中的体积元素为,sin2 ddrdrdv drxyzodr dsinr rd d d sinr如图，如图，此即球面坐标下三重
18、积分表达式此即球面坐标下三重积分表达式六面体近六面体近似看作长似看作长方体方体 rd 经线方向长为经线方向长为 drsin 纬线方向的宽为纬线方向的宽为dr 向径方向的高为向径方向的高为用三组坐标面将积分区域用三组坐标面将积分区域 分成许多小闭区域分成许多小闭区域 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束【注注】(1),(rr 其其边边界界曲曲面面方方程程为为域域，是是包包围围原原点点在在内内的的闭闭区区若若则则 ddrdrrFIsin),(2 ),(02020sin rdrrFdd球面坐标下的三重积分的计算球面坐标下的三重积分的计算 .的三次积分进行计算的三次积分进行计算、
19、最后对、最后对、次对、次对一般按照化为先对一般按照化为先对 r,r 0.20 ,0 【规定规定】机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束(3)2(1),(即得球的体积即得球的体积时，由时，由当当 zyxf 34sin302020adrrddVa (2)围成时围成时由球面由球面当当ar adrrFddI02020sin 其中其中)cos,sinsin,cossin(),(rrrfrF 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束【例例6】.所所围围立立体体的的体体积积的的内内接接锥锥面面的的球球面面与与半半顶顶角角为为求求半半径径为为 a【解解】如图建立坐标系如图
20、建立坐标系 cos2 ar 球面方程为球面方程为 锥面方程为锥面方程为 cos20020:arxoyza2rMrrvdddsind2 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束则立体体积为则立体体积为 zyxVddd cos202darr dsincos316033 a 0dsin 20d)cos1(3443 a机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束az ,cos ar222zyx ,4 ,20,40,cos0:ar机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 dxdydzyxI)(22drrdda 40cos03420sin da)0cos(
21、51sin255403.105a 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 ,:222ayxD dxdydzyxI)(22 aradzrrdrd2020 adrrar03)(254254aaa .105a 222zyx ,rz ,20,0,:arazr机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束【补充：利用对称性化简三重积分计算补充：利用对称性化简三重积分计算】使用对称性时应注意：使用对称性时应注意：、积分区域关于坐标面的对称性；、积分区域关于坐标面的对称性；、被积函数在积分区域上的关于三个坐标轴、被积函数在积分区域上的关于三个坐标轴 的的 奇偶性奇偶性机动机动
22、 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束对称性简化运算对称性简化运算六、小结六、小结zyxdddzddd dddsin2rr积分区域积分区域多由坐标面多由坐标面被积函数被积函数形式简洁形式简洁,或或坐标系坐标系 体积元素体积元素 适用情况适用情况直角坐标系直角坐标系柱面坐标系柱面坐标系球面坐标系球面坐标系变量可分离变量可分离.围成围成;机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束【思考题思考题】则则上的连续函数上的连续函数为为面对称的有界闭区域，面对称的有界闭区域，中关于中关于为为若若,),(3 zyxfxyR ;0),(,_),(dvzyxfzyxf为为奇奇函函数数时
23、时关关于于当当 1),(_),(,_),(dvzyxfdvzyxfzyxf为为偶偶函函数数时时关关于于当当.1面面上上方方的的部部分分在在为为其其中中xy zz2机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束三重积分的定义和计算三重积分的定义和计算在直角坐标系下的体积元素在直角坐标系下的体积元素dxdydzdv （计算时将三重积分化为三次积分）（计算时将三重积分化为三次积分）四、小结四、小结先一后二先一后二先二后一先二后一机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束【思考题】【思考题】选择题选择题:机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束;),()(201222 xxdzzyxfdydxA;),()(202212 xxdzzyxfdydxB;),()(201222 xxdzzyxfdydxC.),()(202212 xxdzzyxfdydxD
