1、xyo)(xfy xyo)(xfy abAB0)(xfabBA若若 在区间（在区间（a,b)上单调上升上单调上升)(xfy 若若 在区间（在区间（a,b)上单调下降上单调下降)(xfy 0)(xf一、函数的单调性0)x(f0)x(f定理定理1 1.,)(0)(),()2(,)(0)(),(1.),(,)(上上单单调调减减少少在在，那那末末函函数数内内如如果果在在上上单单调调增增加加；在在，那那末末函函数数内内如如果果在在）（内内可可导导上上连连续续，在在在在设设函函数数baxfyxfbabaxfyxfbababaxfy 1 1 单调性的判别法单调性的判别法证证),(,21baxx ,21xx
2、且且应用拉氏定理应用拉氏定理,得得)()()()(211212xxxxfxfxf ,012 xx,0)(),(xfba内，内，若在若在,0)(f则则).()(12xfxf.,)(上单调增加上单调增加在在baxfy ,0)(),(xfba内，内，若在若在,0)(f则则).()(12xfxf.,)(上单调减少上单调减少在在baxfy 函数在函数在 内单调增加内单调增加.,0解解函数的定义域为函数的定义域为 .,0，01xy例例1 1判断函数判断函数 的单调性的单调性.xlny xylnyxo1例例2 2.的单调性的单调性判断函数判断函数xeyx 函数单调减少；函数单调减少；,),0(内内在在,0
3、y.函函数数单单调调增增加加注注1:1:要用导数在区间上的符号来判定，而不能用要用导数在区间上的符号来判定，而不能用一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性解解.1 xey,)0,(内内在在,0 y).,(:D又又-3-2-11232345注注2 2：函数在定义区间上不是单调的，但在各：函数在定义区间上不是单调的，但在各个部分区间上单调个部分区间上单调1、单调区间定义:若函数在其定义域的某个区间内是单调的，则该区间称为函数的单调区间.导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间的分界点2、单调区间的划分2 2 单调区间的求法单调区间的求法.,)x(f)x(f
4、)x(f数的符号数的符号然后判断区间内导然后判断区间内导的定义区间的定义区间来划分函数来划分函数不存在的点不存在的点的根及的根及用方程用方程 0 例例3 3.31292)(23的单调区间的单调区间确定函数确定函数 xxxxf解解).,(:D12186)(2 xxxf)2)(1(6 xx得，得，解方程解方程0)(xf.2,121 xx时，时，当当1 x,0)(xf上单调增加；上单调增加；在在1,(时，时，当当21 x,0)(xf上单调减少；上单调减少；在在2,1 时，时，当当 x2,0)(xf上单调增加；上单调增加；在在),2单调区间为单调区间为，1,(，2,1).,2例例4 4.)(32的单调
5、区间的单调区间确定函数确定函数xxf 解解).,(函数的定义域为函数的定义域为)0(,32)(3 xxxf.,0导数不存在导数不存在时时当当 x,0)(xf上单调增加；上单调增加；在在),0 时，时，当当 x0时，时，当当0 x,0)(xf上单调减少；上单调减少；在在0,(单调区间为单调区间为，0,().,0 32xy 3 3 单调性的应用单调性的应用例例5 5.132,1成立成立试证试证时时当当xxx )1(111)(22 xxxxxxf则则,0)(),1(,),1)(xfxf可可导导，且且上上连连续续在在上单调增加；上单调增加；故在故在),1 ,0)1(f证证xxxf132)(设设时时，当
6、当1 x0)(xf.132,1成立成立时时当当xxx 31292)(23 xxxxf上单调增加；上单调增加；在在1,(上单调减少；上单调减少；在在2,1上上单单调调增增加加；在在),2 二、函数的极值二、函数的极值是函数的分界点是函数的分界点2121 x,x;)(f)x(f,xx均成立均成立邻域内的任何点邻域内的任何点去心去心的一个去心邻域，对此的一个去心邻域，对此因此，存在着点因此，存在着点11 ;)(f)x(f,xx均成立均成立的任何点的任何点去心邻域内去心邻域内的一个去心邻域，对此的一个去心邻域，对此存在着点存在着点22 oxyab)(xfy 1x2x3x4x5x6xoxyoxy0 x0
7、 x一般地一般地1.1.函数极值的定义函数极值的定义.)()(,)()(,;)()(,)()(,),(,),()(000000000的的一一个个极极小小值值是是函函数数就就称称均均成成立立外外除除了了点点任任何何点点对对于于这这邻邻域域内内的的的的一一个个邻邻域域如如果果存存在在着着点点的的一一个个极极大大值值是是函函数数就就称称均均成成立立外外除除了了点点任任何何点点对对于于这这邻邻域域内内的的的的一一个个邻邻域域如如果果存存在在着着点点内内的的一一个个点点是是内内有有定定义义在在区区间间设设函函数数xfxfxfxfxxxxfxfxfxfxxxbaxbaxf 定义定义函数的极大值与极小值统称
8、为极值函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点使函数取得极值的点称为极值点.31292)(23 xxxxf函数函数的的极极值值点点。是是函函数数点点和和极极小小值值有有极极大大值值)(2,1,1)2(2)1(xfxxff 注注1 1：极值是函数的局部性概念，与最值不同；：极值是函数的局部性概念，与最值不同；注注2：极大值可能小于极小值：极大值可能小于极小值,极小值可能大于极小值可能大于极大值极大值.设设)(xf在在点点 0 x处处具具有有导导数数,且且在在0 x处处取取得得极极值值,那那末末必必定定0)(0 xf.定理定理1(1(必要条件必要条件)例如例如,3xy ,00
9、xy.0不不是是极极值值点点但但 x由费马引理易得函数取得极值的必要条件，由费马引理易得函数取得极值的必要条件，.,)(是是极极值值点点但但函函数数的的驻驻点点却却不不一一定定点点的的极极值值点点必必定定是是它它的的驻驻可可导导函函数数xf注注2:2.函数极值的求法函数极值的求法注注1:的驻点.的驻点.f(x)f(x)做函数做函数的实根)叫的实根)叫0 0(x)(x)f f程程使导数为零的点(即方使导数为零的点(即方(1 1)如如果果),(00 xxx 有有;0)(xf而而),(00 xxx,有有0)(xf，则则)(xf在在0 x处处取取得得极极大大值值.(2 2)如如果果),(00 xxx
10、有有;0)(xf而而),(00 xxx 有有0)(xf，则则)(xf在在0 x处处取取得得极极小小值值.(3 3)如如果果当当),(00 xxx 及及),(00 xxx时时,)(xf符符号号相相同同,则则)(xf在在0 x处处无无极极值值.定理定理2 (2 (第一充分条件第一充分条件)xyoxyo0 x0 x0)(xf0)(xf0)(xf0)(xfxyoxyo0 x0 x0)(xf0)(xf0)(xf0)(xf求极值的步骤求极值的步骤:);()1(xf 求求出出导导数数;0)()()2(的根的根的全部驻点，即方程的全部驻点，即方程求出求出 xfxf;,)()3(判断极值点判断极值点在驻点左右的
11、正负号在驻点左右的正负号考察考察xf .)4(值值求求出出各各极极值值点点处处的的函函数数(不是极值点情形不是极值点情形)例例6 6.593)(23的的极极值值求求函函数数 xxxxf解解)3)(1(3963)()1(2 xxxxxf，令令0)()2(xf.3,121 xx得驻点得驻点极大值极大值x)1,(),3()3,1(1 3)(xf )(xf0 0 0 00极小值极小值)3(593)(23 xxxxf图形如下图形如下)3(f极小值极小值.22 )1()4(f极极大大值值,10 MN定理定理3(3(第二充分条件第二充分条件)异号，异号，与与故故xxfxxf )()(00时，时，当当0 x)
12、()(00 xfxxf 有有,0 时，时，当当0 x)()(00 xfxxf 有有,0 所以所以,函数函数)(xf在在0 x处取得极大值处取得极大值证证)1(xxfxxfxfx )()(lim)(0000,0 设设)(xf在在0 x 处具有二阶导数处具有二阶导数,且且0)(0 xf,0)(0 xf,那末那末 (1)(1)当当0)(0 xf时时,函数函数)(xf在在 0 x 处取得极大值处取得极大值;(2)(2)当当0)(0 xf时时,函数函数)(xf在在 0 x 处取得极小值处取得极小值.（2）同理可以证明当）同理可以证明当0)(0 xf函数函数)(xf在在0 x处取得极小值处取得极小值时时得
13、寸进尺：0)(0 xf？解解例例7 7.1)1()(32的极值的极值求出函数求出函数 xxf22)1(6)()1(xxxf，令令0)()2(xf.1,0,1321 xxx得得驻驻点点)15)(1(6)()3(22 xxxf06)0()4(f0)0(f故故极极小小值值 第二充分条件失效。第二充分条件失效。,)(f)(f0115;)x(fx01 左侧邻近的值时，左侧邻近的值时，取取当当;)x(fx01 右侧邻近的值时，右侧邻近的值时，取取当当点没有极值。点没有极值。在在故故1 x)x(f点也没有极值。点也没有极值。在在同理同理1 x)x(f.1)1()(32的图形如下的图形如下函数函数 xxf-2-1120.511.522.5解解例例8 8.)2(1)(32的极值的极值求出函数求出函数 xxf31)2(32)(2 xxfx时，时，当当.)(,2不存在不存在时时当当xfx 时，时，当当2 x;0)(xf时，时，当当2 x.0)(xf.)(1)2(的极大值的极大值为为xff 注注3:3:函数的不可导点函数的不可导点,也可能是函数的极值点也可能是函数的极值点.M
